方程组的应用

1、11.方程组的应用-解读课标-方程组也是刻画现实数量关系的有效模型，在代数式的化简求值求值、解实际问题等方面有广泛的应用。 一些代数式化简求值问题，运用相关性质、概念，对题意的理解等，常可以转化为方程组求解或利用方程组探寻字母间的关系。 列方程组解应用题的关键是找到能够表示问题中全部含义的等量关系，即在相等关系中，问题所给的条件既要不遗漏地重复使用，又不能把同一条件重复利用。许多实际问题既可用列方程求解，又可以用列方程组求解，列方程组求解常比单独设一个未知数建立一元一次方程更容易表达数量关系，但是解方程组稍繁，这是他们的各自优缺点。-问题解决-例1. 若（a-2b+3c+4）2+（2a-3b+

2、4c-5）20，则6a-10b+14c-3= （2012希望杯邀请赛）试一试 由不等推倒相等，未知数个数多于方程个数怎么办？例2. 小明的爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：时刻12：0013；0014:30碑上的数是一个两位数，数字之和是6个位数字与十位数字与12:00看到的正好颠倒了。比12:00看到的两位数之间多一个0则12:00看到的两位数是（） （湖北恩施市中考题）A. 24 B.42 C.51 D.15试一试 理解形势路程与里程碑上数的关系是解题关键想一想：有一次，一位美国心理学家出了这样一道题来测验爱因斯坦的智力:把一个正方形分成16个小

3、正方形，每个小方格内分别有苹果、梨、菠萝、香蕉四种水果，小方格的右面和下面分别是4行小方格和4列小方格水果的重量，要求很快算出左边第一列的水果重量，爱因斯坦很快得出结果，你能解答吗？例3.如图，长方形ABCD中放置了9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图，单位：厘米），求图中阴影部分的面积为。（）时代学习报数学文化节试题试一试 大长方形ABCD由小长方形拼接而成，求阴影部分的面积，需求出小长方形的长与宽。例4 韦武家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司，合做需6周完成，需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，需工钱4.8万元，若只选一个公司单独完成，

4、从节约开支角度考虑，韦武家是选甲公司、还是乙公司请你说明理由（广西竞赛题）试一试 只有先求出每个公司的工效、需要的工钱，才能进行正确的经济决策，因此，解本例需解两次方程组。例5已知x1，x2，x3，xn中每一个数值只能取-2，0，1中的一个，且满足x1+x2+xn=-17，x12+x22+xn2=37，求x13+x23+xn3的值（华罗庚杯香港中学数学竞赛）P=1q=9p-2q=-17P+4q=37 分析 因x1，x2，x3，xn中每一个数值只能取-2，0，1中的一个，故只需求出相应值的个数，将问题转化为解方程组。 解 设有p个xi取1，q个xi取-2，由 得 ，故原式=1×13+9

5、×（-2）3=-71例6 小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆公交车假设每辆公交车行驶速度相同，而且公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是多少分钟？（数学周报杯全国竞赛题） 分析 本例是一个既含有相遇又含有追击的综合型问题，有下列隐含的等量关系： 迎面驶来两车距离=3（车速+人速） 背后开来两车距离=6（车速-人速） 迎面驶来两车距离=背后开来两车距离 同向两车距离=车速×发车间隔时间解法一 设公交车的速度为x米/分,小王行走的速度为y米/分，发车间隔为t分钟。3（x+y）=6（x-y） ）6(x-y)=xt 则 解得

6、t=4即公交车总站发车的间隔时间为4分钟。解法二 设同向行驶的相邻两车的间距为s米，发车间隔的时间为t分钟，小王行走相距两车间距为s米所用的时间为m分钟。即 解得t=4即公交车总站发车间隔的时间为4分钟。视野窗 对“匀速”、“间隔”等关键词的分析可挖掘隐含的多个等量关系，这是生成不同解法的基础，而恰当引入辅助未知数，化难为易、化隐为显是不同解法的共同特点。数学冲浪-知识技能广场-1.如果 ，那么x+y= （呼和浩特市中考题 ）2. 由图给出的信息，可求得每件件T恤衫和每瓶矿泉水的价格为 （吉林省中考题） 第2题图第3题图3.如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨

7、1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地已知公路运价为1.5元/（吨千米），铁路运价为1.2元/（吨千米），这两次运输共支出公路运费15 000元，铁路运费97 200元，请计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？(1) 根据题意,甲乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：1.5（20x+10y）=1.2（110x+120y）=甲： 乙： 根据甲乙两名同学所列方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在等式右边的方框内内补全甲乙两名同学所列的方程组。甲：x表示的 ,y表示 乙：x表示的 ,y表示 （2012呼和浩特中

8、考）4.利用两块长方体木块测量一张桌子的高度首先按图方式放置，再交换两木块的位置，按图方式放置测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）（2009烟台中考）A. 73cm B. 74cm C. 75cm D. 76cm5.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文已知某种加密规则为：明文a，b对应的密文为a-2b，2a+b例如，明文1，2对应的密文是-3，4，当接收方收到密文是-5，5时，解密得到的明文是 （ ）（四川眉山中考题）A. -1,1 B. 1,3 C. 3,1 D. 1,16. 已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁乙是甲现在的年龄时，甲

9、25岁，则甲现在的年龄比乙现在的年龄（ ） A. 甲比乙大5岁 B. 甲比乙大10岁 C. 乙比甲大10岁 D. 乙比甲大5岁7.某超市为“开业三周年”举行了店庆活动对A、B两种商品实行打折出售打折前，购买5件A商品和1件B商品需用84元；购买6件A商品和3件B商品需用108元而店庆期间，购买50件A商品和50件B商品仅需960元，这比不打折少花多少钱？（2009乌鲁木齐）8. 某旅行社拟在暑假期间面向学生推出“林州红旗渠一日游”活动，收费标准如下：人数m0m100100m200m200收费标准（元/人）9085751、 乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动，已知甲校报名参加的学生人数多

10、于100人，乙校报名参加的学生人数少于100人经核算，若两校分别组团共需花费16875元，若两校联合组团只需花费16575元（1）两所学校报名参加旅游的学生共有多少人？（2）两所学校报名参加旅游的学生各有多少人？（河南中考）9.（2012龙岩）已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？（2）请你帮该物流公司设计租车方案；（3）若A型车每辆需租金100元

11、/次，B型车每辆需租金120元/次请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费思维方法天地10. 美国篮球巨星乔丹在一场比赛中（包括罚球次数）24投14中，拿下28分，其中三分球三投三中，那么乔丹两分球投中 球，罚球投中 球（第17届江苏竞赛题）11. 在一条笔直的公路上，某一时刻，有一辆客车在前，一辆小轿车在后，一辆回车在客车与小轿车正中间同向行驶，过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；此后再过t分钟，货车追上了客车，则t= （2012希望杯邀请赛）12已知a，b，c是三个实数，且a与b的平均数是127，b与c的和的三分之一是78，c与a的和的四分之一是52，那么a，b

12、，c的平均数是 （河南竞赛题）13. （全国初中数学联赛） 14. 放成一排的2005个盒子中共有4010个小球，其中最左端的盒子中放了a个小球，最右端的盒子中放了b个小球，如果任何相邻的12个盒子中的小球共有24个，则（ ）（希望杯邀请赛）Aa=b=2 Ba=b=1 Ca=1，b=2 Da=2，b=115. 买20枝铅笔、3块橡皮擦、2本日记本需32元；买39枝铅笔，5块橡皮擦、3本日记本需58元；则买5枝铅笔、5块橡皮擦、5本日记本需（ ）元 A20 B25 C30 D35（16）16. 如图，从左上角标注2的圆圈开始，顺时针方向按an+b的规律（n表示前一个圆圈中的数字，a，b是常数）转

13、换后得到下一个圆圈中的数，则标注问号的圆圈中的数应是？（时代学习报数学文化节试题）17. （天津市竞赛题）yx302528(18)18. 如图，正方形中的每个小图表示一个数字，相同的图形表示相同的数字，不同的图形表示不同的数字，正方形外的数字表示该行（或列）的数字的和，求x 、y的值 (第二十届希望杯邀请赛)应用探究乐园19. （2010湖南株洲）老师布置了一个探究活动作业：仅用一架天平和一个10克的砝码测量壹元硬币和伍角硬币的质量（注：同种类的每枚硬币质量相同）聪明的孔明同学找来足够多的壹元和伍角的硬币，经过探究得到以下两个探究记录： 记录天平左边天平右边状态记录一5枚壹元硬币，一个10克的

14、砝码10枚伍角硬币平衡记录二15枚壹元硬币20枚伍角硬币，一个10克的砝码平衡请你用所学的数学知识计算出一枚壹元硬币多少克，一枚伍角硬币多少克？20. 涵涵游园记函函早晨到达上海世博园D区入口处等待开园，九时整开园，D区入口处有10n条安全检查通道让游客通过安检入园，游客每分钟按相同的人数源源不断到达这里等待入园，直到中午十二时D区入口处才没有排队人群，游客一到就可安检入园九时二十分函函通过安检进入上海世博园时，发现平均一个人通过安全检查通道入园耗时20秒排队的思考（1）若函函在九时整排在第3000位，则这时D区入口安检通道可能有多少条？（2）若九时开园时等待D区入口处的人数不变：当安检通道是

15、现有的1.2倍且每分钟到达D区入口处的游客人数不变时，从中午十一时开始游客一到D区入口处就可安检入园；当每分钟到达D区入口处的游客人数增加了50%，仍要求从十二时开始游客一到D区入口处就可安检入园，求这时需要增加安检通道的数量（2010宜昌）视野窗 第20题的模型源于著名的牛顿问题-牛吃草问题。 这个问题涉及的量有：原有的草量，单位时间内生长的草量，单位时间内每头牛吃掉的草量，多重设元，整体求解是解决这类问题的关键。微探究借助图形思考 数学是研究数量关系与空间关系的科学，数与形，以及数与行的关联与转化，这事数学研究的永恒主题。当代美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么

16、思维就整体地把握了问题，并能创造性的思考问题”。现阶段借助图形思考主要体现为：通过构造图形或拼图解与数量关系相关联的问题。例1.A、B、C、D、E、F六个足球队进行循环比赛当比赛进行到某一天时，统计出A、B、C、D、E五队已经分别比赛了5、4、3、2、1场球，则还没有与B队比赛的球队是 试一试 用算数或代数方法解，易陷入困境，用六个点表示.A、B、C、D、E、F这6个球队，若两队已经 赛过一场，就在相应的两点间连一条线，这样用图形辅助解题，形象而直观。例3. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数比如：他们研究过图1中的1、3、6、10、，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；

17、类似地，称图2中的1、4、9、16、这样的为正方形数下列数中既是三角形又是正方形：A289 B1024 C1225 D1378试一试 分析三角形数、正方形数的特征，并用 n的代数式表示 例3. 有足够多的长方形和正方形的卡片，如图如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）（1）请画出如图这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间关系说明这个长方形的代数意义这个长方形的代数意义是 （2）小明想用类似的方法拼成了一个边长为a+3b和2a+b的矩形框来解释某一个乘法公式，那么小明需用2号卡片 张，3号卡片 张（浙江衢州中考题）试一试 为避拼图的盲目性，从整式的乘法入手。视野窗拼图，即把所给的图形以不同方式拼成新的图形，把图形面积用不同形式的代数式表示，若拼拼图前后的面积相等，则相应的代数式的值也相当等。拼图形象的揭示了代数式的关系，其直观作用体现为：（1） 验证乘法公式（2） 证明几何定理例4. 一只小渔船在海上遇到台风，触到礁石上，船身撞出一个窟窿,如果不把它堵上，渔船就有沉没的危险，船中只有一块边长是8cm的正方形木板，但是和船的窟窿相比，木板的面积少了1cm2，怎么办好呢？8×8=64cm213&#