材料力学学生习题解答

1、2-1 试绘出下列各杆的轴力图。2FFNF2FFN2-2 求下列结构中指定杆内的应力。已知(a)图中杆的横截面面积A1=A2=1150mm2；AECDBFAFB 解：（1）分析整体，作示力图：（2）取部分分析，示力图见（b）CFAqFCyFCxFN2(b)：（3）分析铰E，示力图见（c）：EFN1FN3FN2(c)2-3 求下列各杆内的最大正应力。ABC12.012.0FN (kN)（3）图(c)为变截面拉杆，上段AB的横截面积为40mm2，下段BC的横截面积为30mm2，杆材料的g=78kN/m3。解：1.作轴力图，BC段最大轴力在B处AB段最大轴力在A处杆件最大正应力为400MPa，发生在

2、B截面。2-4 一直径为15mm，标距为200mm 的合金钢杆，比例极限内进行拉伸试验，当轴向荷载从零缓慢地增加58.4kN 时，杆伸长了0.9mm，直径缩小了0.022mm，确定材料的弹性模量E、泊松比。解：加载至58.4kN时，杆件横截面中心正应力为线应变：弹性模量：侧向线应变：泊松比：2-6图示短柱，上段为钢制，长200mm，截面尺寸为100×100mm2；下段为铝制，长300mm，截面尺寸为200×200mm2。当柱顶受F力作用时，柱子总长度减少了0.4mm，试求F值。已知E钢=200GPa，E铝=70GPa。解：柱中的轴力都为F，总的变形（缩短）为：2-7 图示等

3、直杆AC，材料的容重为g，弹性模量为E，横截面积为A。求直杆B截面的位移B。解： AB段内轴力 BC段内轴力 B点位移为杆BC的伸长量： 2-8 图示结构中，AB可视为刚性杆，AD为钢杆，面积A1=500mm2，弹性模量E1=200GPa；CG为铜杆，面积A2=1500mm2，弹性模量E2=100GPa；BE为木杆，面积A3=3000mm2，弹性模量E3=10GPa。当G点处作用有F=60kN时，求该点的竖直位移G。解：（1）求、杆轴力 由平衡方程可以求出: （2）求杆的变形（压缩）（拉伸）（压缩）（3）由几何关系：（下降）2-11 图示一挡水墙示意图，其中AB杆支承着挡水墙，各部分尺寸均已示

4、于图中。若AB杆为圆截面，材料为松木，其容许应力=11MPa，试求AB杆所需的直径。解：（1）求水压力的合力： （2）作示力图（a）由平衡方程求轴力（3）由强度条件，设计截面尺寸：2-12 图示结构中的CD杆为刚性杆，AB杆为钢杆，直径d=30mm，容许应力=160MPa，弹性模量E=2.0×105MPa。试求结构的容许荷载F。解：（1）求AB杆的轴力FN ： （2）由强度条件求 3-1 试作下列各杆的扭矩图。10010Mx(Nm)Mx1(kNm)5323-2 一直径d=60mm的圆杆，其两端受外力偶矩T=2kN·m的作用而发生扭转。试求横截面上1，2，3点处的切应力和最大

5、切应变，并在此三点处画出切应力的方向。(G=80GPa)。解：横截面上切应力大小沿半径线性分布，方向垂直半径3-3 从直径为300mm的实心轴中镗出一个直径为150mm的通孔而成为空心轴，问最大切应力增大了百分之几?解：实心轴空心轴最大切应力增大了3-4 一端固定、一端自由的钢圆轴，其几何尺寸及受力情况如图所示（空心处有两段，内径10mm，外径30mm）,试求：(1)轴的最大切应力。(2)两端截面的相对扭转角(G=80GPa)。解：（1）作扭矩图，AB段中最大切应力603040ABCD CD段中最大切应力所以轴中，（2）相对扭转角分四段计算3-5 一圆轴AC如图所示。AB段为实心，直径为50m

6、m；BC段为空心，外径为50mm，内径为35mm。要使杆的总扭转角为0.12°，试确定BC段的长度a。设G=80GPa。解：（1）作扭矩图 （2）杆件A、C截面相对扭转角分两段计算100N·mMxAC 3-8 传动轴的转速为n=500转/分，主动轮输入功率P1=500kW，从动轮2、3分别输出功率P2=200kW，P3=300kW。已知=70MPa，=1°/m，G=8×10MPa。(1)确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。(2)若AB和BC两段选用同一直径，试确定直径d。解：（1）由输入和输出功率求等效力偶，作扭矩图5.739.55MxABC由强度条

7、件： 由刚度条件： 为满足强度和刚度条件，AB段的直径d取91mm；BC段的直径d取80mm。（2）若AB和BC两段选用同一直径，直径d取91mm。A-2 试求图形水平形心轴z的位置，并求影阴线部分面积对z轴的面积矩Sz。解：分三块计算 A2A3hA1zz'形心轴位置A-3 试计算(b)图形对y，z轴的惯性矩和惯性积。解：查型钢表得20a号工字钢几何性质：h 故 yzhC 由对称性，A-8 计算图示（a）图形的形心主惯性矩。解：1.首先求形心位置：2.求惯性矩4-1 求下列各梁指定截面上的剪力和弯矩。FA解：（b）自右向左分析：1-1截面，弯矩；2-2截面，弯矩（c）支座反力（铅直向上

8、），自左向右分析：1-1截面，弯矩；2-2截面，弯矩4-2 写出下列各梁的剪力方程、弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。解：支座反力，自左向右分析：FBFA剪力方程：5ql/2FQ3ql/2Mql225ql2/16弯矩方程：由方程作图。注意标出最大弯矩所在截面位置及最大弯矩值。4-3 利用剪力、弯矩与荷载集度之间的关系作下列各梁的剪力图和弯矩图。12345FQFMF3Fl3.5Fl4Fl解：(a)自左向右分析（这样不需要计算固定端反力）梁分3段，5个控制面；(b)支座反力梁分3段，6个控制面；123465FAFB6FQ/kNM/kNm11/313/34216/34/3169/36位置距离右端5-1

9、图(a)所示钢梁(E=2.0×105MPa)具有(b)、(c)两种截面形式，试分别求出两种截面形式下梁的曲率半径，最大拉、压应力及其所在位置。zh解：（b）截面 （上拉下压） （c）截面 形心位置： 5-4 求梁指定截面a-a上指定点D处的正应力，及梁的最大拉应力和最大压应力。ABzh解：1.求弯矩支座反力：a-a截面弯矩最大弯矩：2.求形心轴截面a-a上指定点D：5-5 图示梁的横截面，其上受绕水平中性轴转动的弯矩。若横截面上的最大正应力为40MPa，试问：工字形截面腹板和翼缘上，各承受总弯矩的百分之几?解：设工字形截面腹板上最大正应力1，其承受的弯矩h/2d翼缘上最大正应力2，其

10、承受的弯矩，故腹板上承受总弯矩的百分比为即翼缘上承受总弯矩的百分比为5-6 一矩形截面悬臂梁，具有如下三种截面形式：(a)整体；(b)两块上、下叠合；(c)两块并排。试分别计算梁的最大正应力，并画出正应力沿截面高度的分布规律。正应力分布规律解：(a) 固定端弯矩最大最大正应力位于该截面正应力分布规律(b)根据变形协调，上下两块梁上作用的分布荷载集度均为q/2(c) 两块并排时正应力分布规律两块梁上作用的分布荷载集度均为q/25-8 一槽形截面悬臂梁，长6m，受q=5kN/m的均布荷载作用，求距固定端为0.5m处的截面上，距梁顶面100mm处b-b线上的切应力及a-a线上的切应力。z'z

11、y解： 根据切应力公式，需确定横截面剪力、面积矩、形心惯性矩（1）剪力（2）形心位置、形心惯性矩，如图 （3）b-b处切应力（4）a-a处切应力由于a-a位于对称轴y轴上，故5-9 一梁由两个18B号槽钢背靠背组成一整体，如图所示。在梁的a-a截面上，剪力为18kN、弯矩为55kN·m，求b-b截面中性轴以下40mm处的正应力和切应力。hbC解：b-b截面的剪力、弯矩分别为18B号槽钢的几何性质，,由正应力公式切应力公式5-10 一等截面直木梁，因翼缘宽度不够，在其左右两边各粘结一条截面为50×50mm的木条，如图所示。若此梁危险截面上受有竖直向下的剪力20kN，试求粘结层

12、中的切应力。zzc解：求中性轴位置和Iz 5-11 图示一矩形截面悬臂梁，在全梁上受集度为q的均布荷载作用，其横截面尺寸为b、h，长度为。（1）证明在距自由端为x处的横截面上的切向分布内力dA的合力等于该截面上的剪力；而法向分布内力dA的合力偶矩等于该截面上的弯矩。（2）如沿梁的中性层截出梁的下半部，如图所示。问截开面上的切应力沿梁长度的变化规律如何?该面上总的水平剪力FQ有多大?它由什么力来平衡？解：（1）取x截面左边部分，由其平衡，（2）沿梁长度剪力是线性分布的，该梁为等截面梁，因此横截面中性轴上切应力沿梁长度也是线性分布，由切应力互等，截开面上的切应力沿梁长度是线性分布。沿梁长度剪力方程

13、，横截面中性轴上切应力大小沿梁长度变化规律为，宽度方向均匀分布，故总的水平剪力，它由固定端约束力平衡。5-12 试画出图示各截面的弯曲中心的大致位置，并画出切应力流的流向，设截面上剪力FQ的方向竖直向下。AAyzzyAzy解：5-14 图示铸铁梁，若=30MPa,=60MPa,试校核此梁的强度。已知764×10m。CD解：(1)计算支座反力，作弯矩图(2)校核强度（该梁截面中性轴不对称，正负弯矩最大截面均是可能危险截面）C截面正弯矩最大D截面负弯矩最大符合强度要求5-15 一矩形截面简支梁，由圆柱形木料锯成。已知F=8kN,a=1.5m，=10MPa。试确定弯曲截面系数为最大时的矩形

14、截面的高宽比h/b，以及锯成此梁所需要木料的最d。5-16 截面为10号工字钢的AB梁，B点由d=20mm的圆钢杆BC支承，梁及杆的容许应力=160MPa，试求容许均布荷载q。解：这是一个拉杆强度和梁的强度计算问题（1）对于BC拉杆ABFQMAB所受轴力由强度条件得（2）对于AB梁其剪力弯矩图如图工字钢横截面中性轴对称,危险截面为弯矩绝对值最大的截面由强度条件得从而确定容许均布荷载6-1 用积分法求下列各梁指定截面处的转角和挠度。设EI为已知。解：（1）支座反力计算FAyFB，（2）列弯矩方程，（3）将弯矩方程代入挠曲线近似微分方程，（4）积分一次，（5）再积分一次，（6）边界条件、连续光滑条

15、件由得；得由得；得（7）从而；6-2 对于下列各梁，要求：(1)写出用积分法求梁变形时的边界条件和连续光滑条件。(2)根据梁的弯矩图和支座条件，画出梁的挠曲线的大致形状。解：（a）（1）边界条件和连续光滑条件（2）梁的挠曲线的大致形状如图（前后两段为直线，无弯矩；中间段为曲线，正弯矩，下部受拉）l（d）（1）边界条件和连续光滑条件；（2）梁的挠曲线的大致形状如图6-3 用叠加法求下列各梁指定截面上的转角和挠度。解：查表得F单独作用下，Fl单独作用下，叠加得到，6-4 图示悬臂梁，容许应力=160MPa，容许挠度w=l/400，截面为两个槽钢组成，试选择槽钢的型号。设E=200GPa。解：（1）

16、根据强度条件选择槽钢横截面中性轴为对称轴M/kNm悬臂梁弯矩图如图查表，2个10号槽钢截面满足要求。（2）刚度条件自由端挠度近似看作最大挠度，则由叠加法从而由刚度条件得，查表，2个14a号槽钢截面满足要求综合看选择2个14a号槽钢。7-1 单元体上的应力如图所示。试用解析公式法求指定方向面上的应力。解：由平面应力状态斜截面应力公式（a），从而（d），从而7-3 单元体上的应力如图所示。试用应力圆法求单元体的主应力大小和方向，再用解析公式法校核，并绘出主应力单元体。解：（c），其应力圆绘制：在O坐标系里描出D1（x，x）、D2（y，y），连接D1、D2两点与轴交点C，以C为圆心，C D1或C D

17、2为半径，做圆即为该点应力状态的应力圆。D1(80,30)D2(-20,-30)CO20从图上可知， 公式校核： （d），7-5 图示A点处的最大切应力是0.9MPa，试确定F力的大小。解：A点所在截面剪力为F、弯矩M=0.2F由切应力公式、正应力公式该点主应力分别为从而最大切应力，得7-7 求图中两单元体的主应力大小及方向。解：用应力圆法在O坐标系里描出D1（，）、D2（，），从D1面转到D2面，单元体逆时针转了240o则在应力圆上逆时针转480o，即它们所夹圆心角120 o，其应力圆如图D1(2,)C(1,0)O120 oD2(2,-)由图可知，即为图中单元体x方向。7-9 在一体积较大的

18、钢块上开一个立方槽，其各边尺寸都是1cm，在槽内嵌入一铝质立方块，它的尺寸是0.95×0.95×1cm3(长×宽×高)。当铝块受到压力F=6kN的作用时，假设钢块不变形，铝的弹性模量E=7.0×104MPa，=0.33，试求铝块的三个主应力和相应的主应变。0.95cm0.95cm1cmF解：F沿高度方向作用，若铝快的变形填充整个立方槽则由广义胡克定律得到，显然是不可能为拉应力的。故铝快的变形未能填充整个立方槽从而即，相应的主应变7-10 在图示工字钢梁的中性层上某点K处，沿与轴线成45°方向上贴有电阻片，测得正应变=-2.6×

19、;10-5，试求梁上的荷载F。设E=2.1×105MPa，=0.28。K45o解：K点处于纯切应力状态，所在截面剪力为A支座反力由，查表得28a号工字钢，故K点切应力根据该点应力状态，由斜截面应力公式求±45o方位面上正应力由广义胡克定律，从而得出7-11 图示一钢质圆杆，直径D=20mm。已知A点处与水平线成70°方向上的正应变70°=4.1×10-4。E=2.1×105MPa，=0.28,求荷载F。解：横截面应力： 由广义Hooke定律 y70o-20o可得： 7-12 用电阻应变仪测得受扭空心圆轴表面上某点处与母线成45

20、6;方向上的正应变=2.0×10-4。已知E=2.0×105MPa,=0.3，试求T的大小。解：该点处于纯切应力状态切应力根据该点应力状态，由斜截面应力公式45o求±45o方位面上正应力由广义胡克定律，从而得出7-13 炮筒横截面如图所示。在危险点处，t=60MPa，r=-35MPa，第三主应力垂直于纸面为拉应力，其大小为40MPa，试按第三和第四强度论计算其相当应力。 解：第三强度理论相当应力第四强度理论相当应力这里 ，故7-20 已知钢轨与火车车轮接触点处的正应力1=-650MPa，2=-700MPa，3=-900MPa。如钢轨的容许应力=250MPa，试用第

21、三强度理论和第四强度理论校核该点的强度。解：第三强度理论相当应力第四强度理论相当应力这里，故，所以该点满足强度要求。7-24 图示两端封闭的薄壁圆筒。若内压p=4MPa，自重q=60kN/m，圆筒平均直径D=1m，壁厚=30mm，容许应力=120MPa，试用第三强度理论校核圆筒的强度。解：内压产生轴向应力和环向应力分别为'+"'"自重作用下，下部将产生轴向拉应力，上部将产生轴向压应力危险点位于中间截面最下部，该点自重产生的轴向拉应力为故该点，根据第三强度理论，所以该点满足强度要求。8-4 图示悬臂梁在两个不同截面上分别受有水平力F1 和竖直力F2 的作用。若

22、F1=800N，F2=1600N， l =1m，试求以下两种情况下，梁内最大正应力并指出其作用位置：(1)宽b=90mm，高h=180mm，截面为矩形，如图(a)所示。(2)直径d=130mm 的圆截面，如图(b)所示。yzMzMyM合AB解：（1）在F1 和F2共同作用下梁固定端截面内侧上角点为危险点(拉应力最大)或外侧下角点为危险点(压应力最大)，最大拉应力和最大压应力大小数值相同，为（2）在F1 和F2共同作用下梁固定端截面为危险截面，该截面合弯矩（如图）为右侧A点为危险点(拉应力最大)或左侧B点为危险点(压应力最大)，最大拉应力和最大压应力大小数值相同，为8-6 图(a)和图(b)所示

23、的混凝土坝，右边一侧受水压力作用。试求当混凝土不出现拉应力时，所需的宽度b。设混凝土的材料密度是2.4×103kg/m3。解：（a）如图，AB面为危险截面B点为危险点，取单位坝段（1m长）分析AB面上内力FNMBWA令得FNMABW（b）如图，AB面为危险截面B点为危险点，取单位坝段（1m长）分析AB面上内力令得8-10 短柱承载如图所示，现测得A 点的纵向正应变A=500×10-6，试求F 力的大小。设E=1.0×104MPaFMyMz解：短柱发生偏心压缩变形，A点所在截面内力，A点处于单向应力状态，从而8-12 试确定图示各截面图形的截面核心。解：（a） （b

24、） （c）8-13 图示一水平面内的等截面直角曲拐，截面为圆形，受到垂直向下的均布荷载q 作用。已知：l=800mm，d=40mm，q=1kN/m， =170MPa。试按第三强度理论校核曲拐强度。解：通过内力分析，曲拐BC段发生平面弯曲，最大弯矩，AB段发生弯扭组合变形，危险截面为A截面，该截面内力该截面上顶点（或下底点）为危险点，上顶点应力状态如图，大小为由第三强度理论强度条件，曲拐安全8-15 圆轴受力如图所示。直径d=100mm，容许应力 =170MPa。(1)绘出A、B、C、D 四点处单元体上的应力；(2)用第三强度理论对危险点进行强度校核。解：（1）A、B、C、D四点处所在截面内力(

25、不考虑剪力):A 、B、C、D四点应力分别为:（2）校核危险点:该轴是安全的。9-2 图示压杆的截面为矩形，h=60mm，b=40mm，杆长l=2.0m，材料为Q235钢，E=2.1×105MPa。两端约束示意图为：在正视图(a)的平面内相当于铰支；在俯视图(b)的平面内为弹性固定，采用=0.8。试求此杆的临界力Fcr。解：（a）（b）故，为细长杆。9-5 图示根圆杆组成的正方形结构。a=1m，各结点均为铰接，杆的直径均为d=35mm，截面类型为a 类。材料均为235 钢，=170MPa，试求此时的容许荷载F。又若力F 的方向改为向外，容许荷载F 又应为多少?解：（1）外围4根受压情

26、况相同的压杆，内部1根拉杆由受力分析AB杆 ，截面类型为a 类查表内插得折减因数则稳定条件得，由拉杆，故（2）外围4根受拉情况相同的压杆，内部1根压杆由受力分析BD杆 ，截面类型为a 类查表内插得折减因数则稳定条件得，由拉杆，故9-7 图示结构是由同材料的两Q235钢杆组成。AB杆为一端固定，另一端铰支的圆截面杆，直径d=70mm；BC杆为两端铰支的正方形截面杆，边长a=70mm，AB和BC两杆可各自独立发生弯曲、互不影响。已知l=2.5m，稳定安全因数nst=2.5。E=2.1×105MPa。试求此结构的最大安全荷载。解：结构由两根压杆构成AB杆 ，Q235钢的故AB杆为细长压杆，

27、其临界力BC杆 ，Q235钢的故BC杆为细长压杆，其临界力故结构最大安全荷载9-8 图示一简单托架，其撑杆AB为TC17圆截面杉木杆，直径d=200mm。A、B两处为球形铰，材料的容许压应力=11MPa。试求托架的容许荷载q。解：由受力分析知即已知容许压应力，采用折减因数法计算压杆AB，TC17杉木的折减因数则稳定条件故得9-10 图示托架中AB杆的直径d=40mm，两端可视为铰支，材料为235钢。p=200MPa，E=200GPa。若为中长杆，经验公式cr=a-b中的a=304MPa，b=1.12MPa。(1) 试求托架的临界荷载Fcr。(2) 若已知工作荷载F=70kN，并要求AB杆的稳定

28、安全因数nst=2，试问托架是否安全?解：（1）AB杆，AB杆为细长杆。（2），托架不安全。9-11 图示结构中钢梁AB及立柱CD分别由20b号工字钢和连成一体的两根63×63×5的角钢制成。立柱截面类型为b类， 均布荷载集度q=39kN/m，梁及柱的材料均为235钢，=170MPa，E=2.1×105MPa。试验算梁和柱是否安全。解：C截面为危险截面。 ，梁AB安全。立柱CD：，立柱CD不安全。9-12 图示梁杆结构，材料均为Q235 钢。AB 梁为16 号工字钢，BC 杆为d=60mm 的圆杆。已知E=200GPa， p=200MPa， s=235MPa，强度安全因数n=2， 稳定安全因数nst=3，求容许荷载值。解：（1）由压杆BC稳定条件确定