第四章 习题解

1、第四章 习题解4.2 设一维两类模式满足正态分布，它们的均值和方差分别为，m1=0，s1=2，m2=2，s2=2，p(x) N(m,s)，窗函数P(1)= P(2)，取0-1损失函数，试算出判决边界点，并绘出它们的概率密度函数曲线；试确定样本-3，-2，1，3，5各属哪一类。解：1x已知， 由Bayes最小损失判决准则：如果，则判，否则判。如果，则判，否则判。-3，-2属于1；1，3，5属于2。4.7 在图像识别中，假定有灌木丛和坦克两种类型，分别用1和2表示，它们的先验概率分别为0.7和0.3，损失函数如表3.1所示。现在做了四次试验，获得四个样本的类概率密度如下： ：0.1，0.15，0.

2、3， 0.6x1 x2 x3 x4 x：0.8，0.7，0.55， 0.3（1）试用贝叶斯最小误判概率准则判决四个样本各属于哪个类型；（2）假定只考虑前两种判决，试用贝叶斯最小风险准则判决四个样本各属于哪个类型；（3）将拒绝判决考虑在内，重新考核四次试验的结果。表3.1类型损失判决12a1 (判为1)0.52.0a2 (判为2)4.01.0a3 (拒绝判决)1.51.5解：（1）两类问题的Bayes最小误判概率准则为如果，则判，否则判。由已知数据，q12=0.3/0.7=3/7，样本x1： l12（x1）=0.1/0.8q12=3/7 x12样本x2： l12（x2）=0.15/0.7q12=

3、3/7 x31样本x4： l12（x4）=0.6/0.3q12=3/7 x41（2）不含拒绝判决的两类问题的Bayes最小风险判决准则为如果，则判，否则判。由已知数据，q12=0.3（2 - 1）/0.7（4 - 0.5）=3/24.5，样本x1： l12（x1）=1/8q12=6/49 x11样本x2： l12（x2）=3/14q12=6/49 x21样本x3： l12（x3）=6/11q12=6/49 x31样本x4： l12（x4）=6/3q12=6/49 x41（3）含拒绝判决的两类问题的Bayes最小风险判决准则为其中条件风险：后验概率：记 (4.7-1)则，含拒绝判决的两类问题的B

4、ayes最小风险判决准则为对四个样本逐一列写下表，用(4.7-1)式计算r(aj|x)。样本x1：l(aj|i) 类型损失判决1p(x|1)P(1)=0.10.7=0.072p(x|2)P(2)=0.80.3=0.24r(aj|x)a1 (判为1)0.52.00.5*0.07+2*0.24=0.515a2 (判为2)4.01.04*0.07+1*0.24=0.52a3 (拒绝判决)1.51.51.5*0.07+1.5*0.24=0.465因为r(a3|x1)=0.465最小，所以拒绝判决；样本x2：l(aj|i) 类型损失判决1p(x|1)P(1)=0.150.7=0.1052p(x|2)P(

5、2)=0.70.3=0.21r(aj|x)a1 (判为1)0.52.00.5*0.105+2*0.21=0.4725a2 (判为2)4.01.04*0.105+1*0.21=0.63a3 (拒绝判决)1.51.51.5*0.105+1.5*0.21=0.4725因为r(a1|x2)=0.4725最小，所以判x21，即灌木丛，或拒绝判决；样本x3：l(aj|i) 类型损失判决1p(x|1)P(1)=0.30.7=0.212p(x|2)P(2)=0.550.3=0.165r(aj|x)a1 (判为1)0.52.00.5*0.21+2*0.165=0.435a2 (判为2)4.01.04*0.21+

6、1*0.165=1.005a3 (拒绝判决)1.51.51.5*0.21+1.5*0.165=0.5625因为r(a1|x3)=0.435最小，所以判x31，即灌木丛；样本x4：l(aj|i) 类型损失判决1p(x|1)P(1)=0.60.7=0.422p(x|2)P(2)=0.30.3=0.09r(aj|x)a1 (判为1)0.52.00.5*0.42+2*0.09=0.39a2 (判为2)4.01.04*0.42+1*0.09=1.77a3 (拒绝判决)1.51.51.5*0.42+1.5*0.09=0.765因为r(a1|x4)=0.39最小，所以判x41，即灌木丛。4.9 假设两类二维

7、正态分布参数为m1=(-1，0)，m2=(1，0)，先验概率相等。（1）令S1=S2=I，试给出负对数似然比判决规则；（2）令 试给出负对数似然比判决规则。解：Bayes最小误判概率似然比判决规则为如果，则判，否则判。相应的负对数似然比判决规则为如果，则判，否则判。对于正态分布（1）由已知，故，如果则判，否则判。（2）， ，即，补充题1：假设两类一维模式的概率密度函数为 先验概率相等。（1）求Bayes判决函数（用0-1损失函数）；（2）求总的误判概率。解：（1）当用0-1损失函数且先验概率相等时，Bayes最小损失判决规则为：如果，则判，否则判。即，则判，否则判。代入本题类概率密度函数得：如果x1.5，则判x1，否则判x2。故，Bayes判决函数为d(x)=1.5-x 。（2）误判概率0 1 1.5 2 3 x1p(x|1)p(x|2)补充题2：在目标识别中，假定类型w1为敌方目标，类型w2为诱饵（假目标），已知先验概率P(w1)=0.2和P(w2)=0.8，类概率密度函数如下： （1）求贝叶斯最小误判概率准则下的判决域，并判断样本x=1.5属于哪一类；（2）求总错误概率P(e)；（3）假设正确判断的损失l11=l22=0，误判损失分别为l12和l21，若采用最小损失判决准则，l12和l21满足怎样的关系时，会使上述对x=1.5的