数值计算方法试题集和答案

1、计算方法期中复习试题、填空题:1、已知f（1）1。f（2） 12 f（3） 1.3,则用辛普生（辛卜生）公式计算求得31 f(x)dx,用三点式求得f （1）2、f（1）1，f（2）2，f（3） 1 ,则过这三点的二次插值多项式中x2的系数为拉格朗日插值多项式为11答案：-1,L2(x)2(x 2)(x 3) 2(x 1)(x 3)2(x 1)(X 2)3、近似值x* 0.231关于真值x 0.229有（2 ）位有效数字;4、设f （x）可微，求方程x f（x）的牛顿迭代格式是（）xn 1 xn答案xn f(xn)1 f (xn)5、对 f(x)x3x 1,差商 f0,1,2,3 ( 1 ),

2、f0,1,2,3,4(6、计算方法主要研究（7、用二分法求非线性方程截断）误差和（舍入）误差；f （x）=0在区间（a, b）内的根时，二分n次后的误差限为8、已知 f(1) =2, f(2) =3,f （4）=,则二次Newton插值多项式中x2系数为（）11、两点式高斯型求积公式11 .13 1'310 f(x)dx=( 0f(x)dx 2f(17T) f(lTT)），代数精1012、为了使计算4(x 1)26（x 1）3的乘除法次数尽量地少,应将该表一，一y 10达式改写为(3(4,为了减少舍入误差，应将表达式“2001 V1999 改写为2001 .1999313、用二分法求方

3、程f(x)x x 1 °在区间0,1内的根，进行一步后根的所在区间为，1 ,进行两步后根的所在区间为,。i14、计算积分0.5，xdx,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ，用辛 卜生公式计算求得的近似值为 ,梯形公式的代数精度为 工，辛卜生公式的代 数精度为/。15、设 f(0)0，f(1)16, f (2) 46,则 l1(x) l1(x) x(x 2)_, f(x)的二次牛顿 插值多项式为_N2(x) 16x 7x(x 1)_。bnf (x)dxAkf(xk)16、求积公式ak 0的代数精度以(高斯型)求积公式为最高，具有(2n 1 )次代数精度。517、 已知 f

4、(1)=1, f (3)=5, f (5)=-3,用辛普生求积公式求 1 f(x)dx=(12 ) c18、 设 f (1)=1 , f (2)=2 , f (3)=0 ,用三点式求 f (1)()。19、如果用二分法求方程x3 x 4 0在区间1,2内的根精确到三位小数，需对分(10)次。x30 x 1S(x)1(x 1)3 a(x 1)2 b(x 1) c 1 x 320、已知 2是三次样条函数，则a=( 3) , b= ( 3), c= (1)。21 |0(x),|1(x),，院(刈是以整数点x0,x1, ,4为节点的Lagrange插值基函数，则nnlk(x)xklj(xk)k 0(1

5、), k 0( xJ ), 当 n 2 时n(x4 x23)lk(x)4222、区间a,b上的三次样条插值函数 数。23、改变函数f(x)八k 0( x x 3)。S(x)在a,b上具有直到 2阶的连续导(x 1)的形式，使计算结果较精确24、若用二分法求方程f x 0在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分10 次。Sx2- x 125、设x ax bx c, 1 x 2是3次样条函数，则a= 3 , b= -3 , c= 1 1exdx 626、若用复化梯形公式计算0,要求误差不超过10 ,利用余项公式估计，至少用477个求积节点。1 2 .1f (x)dx -f( 1) 98

6、f (0) f (1)的代数精度为27、若 f(x) 3x4 2x 1,则差商 f2,4,8,16,3228、数值积分公式2。选择题1、三点的高斯求积公式的代数精度为(B )A . 2B. 5 C . 3 D 2、舍入误差是(A ) 产生的误差。A,只取有限位数B.模型准确值与用数值方法求得的准确值C.观察与测量D.数学模型准确值与实际值3、是冗的有(B ) 位有效数字的近似值。A . 6B. 5 C . 4 D . 74、用1 + x近似表示ex所产生的误差是(C ) 误差。A.模型 B .观测C.截断 D .舍入x35、用1 + 3近似表示寸1 x所产生的误差是(D )误差。A.舍入 B

7、.观测 C .模型 D.截断6、-324. 7500是舍入得到的近似值，它有(C ) 位有效数字。A . 5 B . 6C. 7 D . 87、设f (-1)=1, f (0)=3, f (2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为(A )。A.-0. 5 B .0.5 C . 2 D . -28、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C)。A . 3 B . 4C. 5 D . 29、( D )的3位有效数字是X 102。(A) X 103 (B) X10- 2 (C)(D) X 10-110、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x= (x),则f(x)=0 的根是(B)

8、。(A) y= (x)与x轴交点的横坐标(B) y=x与y= (x)交点的横坐标(C) y=x与x轴的交点的横坐标(D) y=x 与y= (x)的交点11、拉格朗日插值多项式的余项是(B ),牛顿插值多项式的余项是(C )(A) f(x,x0,x1,x2,xn)(x x1)(x x2) - (x xn 1)(x xn),Rn(x)f(x)Pn(x)-(n 1)()(B)(n 1)!(C)f(x,x0,x1,x2,xn)(x x0)(x x1)(x x2)(x xn 1)(x xn),(D)Rn(x) f(x) Pn(x)f (n 1) ()(n 1)!n 1(X)12、用牛顿 切线法解 方程f

9、(x)=0,选初始值x0满足(A ),则它的解数列xnn=0,1,2,一定收敛到方程f(x)=0 的根。(A) f (x0)f (x) 0(B)f(4)f(x) 0(C)f(%)f(x) 0(D)f(x0)f(x) 013、为求方程x3x21=0在区间口内的一个根,把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )(A)(B)(C)(D),，迭代公式：xk 1x 14,迭代公式：xk1 x2 xkx2,迭代公式：xk 1x2,迭代公式：xk 114、在牛顿-柯特斯求积公式:(12,1/3 xk)2xkxkbf(x)dx a(ba)Ci(n)f(xi)中，当系数Ci是负值时,

10、 )时的牛顿-柯特斯求积公式不x012f(x)一-2-12(4) n 6,所确定的插值多项式的次数是(0(1)二次;(2)三次;(4)五次公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当( 使用。(1) n 8,(2) n 7, n 10,23、有下列数表15、取出1.732计算x (石1)(3)四次;4,下列方法中哪种最好(1616(A) 28 163 ；S(x)26、已知(B) (4 2圾2;( C)x3032(x 1)3 a(x 2) b 2(4 2场2 .x 2(D)(石 1)4 0x 4是三次样条函数，则a，b的值为Xi123f(Xi):-1(A) 5；Aif(Xi) A2f(X2) A3f

11、(X3)()(A)6, 6;(B)6, 8;(C)8, 6;(D)8, 8。16、由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是(B)ba f(x)dx4；(C)3；( D 2。17、形如度为(A) 9；(B)7；( C)18、计算百的Newton迭代格式为(xk(A)Xk1万3 xkxk ； (B)Xk5；)32xk ; (C)19、用二分法求方程4x210则对分次数至少为()(A)10;(B)12(C)8的高斯(GausS)型求积公式的代数精(D)3。xk 1xk 2xk ； (D)xkXk 33Xk 。0在区间1,2内的实根，要求误差限为10 3(D)9。20、设1i(x

12、)是以 xk k(k9kli(k)0,1,L为节点的Lagrange插值基函数，则k 0(A) x；33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式,(C) i ;(D) 1。至少具有()次代数精度(A)5;(B)4(C)6S(x)21、已知 (A)6, 6;35、已知方程()3 x2(x1)3 a(x(B)6 x3 2x2) b (C)8(D)30 x2 x24是三次样条函数，则(D)8, 8。a，b的值为(0在x 2附近有根，下列迭代格式中在x02不收敛的是xk 123Xk ； ( C) xk 1 xk xk 5 ；xk(D)2x3 53x2 20X01234f(x)1243-5确定的唯一插值多项式的

13、次数为()(C)1(D)3。(A) Xk 1 J2Xk 5 ; (B)22、由下列数据(A) 4;(B)223、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为()(A)8;(B)9;(C)10(D)11。三、是非题(认为正确的在后面的括弧中打，否则打 )1、已知观察值(xi，yi)(i0,1,2，m)，用最小二乘法求n次拟合多项式Pn(x)时,Pn(x)的次数n可以任意取。2x2、用1- 2近似表示cosx产生舍入误差。()(x X0 )( x X2 )3、(x1 x0)(x1 x2)表示在节点xi的二次(拉格朗日)插值基函数。()4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前

14、一次插值的结果。()3112535、矩阵A=1 答案：f(x) 1，x，x是精确成立，即5具有严格对角占优。()四、计算题：1 1 1f (x)dx A f( 1) f (1) Bf ( -) f (-)1、求A、B使求积公式1 ' '2，2'的代数精度尽量高，并求其代数精度；利用此公式求(保留四位小数)。2A2A2B1B 21f(x)dx求积公式为19f(1)f(1)8f(2)1f(-)当f(x) x3时，公式显然精确成立；当f(x)1右=3 。所以代数精度为3。ft1 x2x1dt -1t 391 3972、已知0.69286140xi1345f(xi)2654分别

15、用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(x)的三次插值多项式p3(x),并求f(2)的近似值(保留四位小数)。(x 3)(x 4)(x 5) (x 1)(x 4)(x 5)L3( x) 2 6:案.(1 3)(1 4)(1 5)(3 1)(3 4)(3 5)(x1)(x3)( x5)(x1)(x3)( x4)5 4(41)(43)(45)(51)(53)(54)差商表为xiyi一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-10#41P3(x)N3(x)2 2(x 1) (x 1)(x 3) (x 1)(x 3)( x 4)4f(2)P3(2) 5.55、已知xi-2-1012f(xi)4213

16、5求f(x)的二次拟合曲线P2(X),并求f (0)的近似值答案：解：ixiyi2 xi3 xi4 xixi yi2xi yi0-244-816-8161-121-11-22201100r 0P 0013131113342548161020015100343415a° 10a2 1510a13正规方程组为P2(X)10311 2x x7 1014a010P2(x)103, a21011x7f (0)P2(0)310111410a0 34a2 416、已知sinx区间,的函数表xiYi如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小并求该近似值。答案：解： 应选三

17、个节点，使误差M 3|R2(x)| 康| 3(x)|尽量小，即应使| 3(x)|尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点0.5，06，0.7最好，实际计算结果Sin0.63891 0.596274,sin 0.638910.59627413 (0.638910.5)(0.63891 90.6)(0.63891 0.7)0.55032 107、构造求解方程ex 10x 2 0的根的迭代格式xn 1(xn),n 012 ，讨论其收敛4性，并将根求出来，氏 1 xn| 10 o答案：解：令 f(x) ex 10x 2, f(0)2 0,f (1) 10 e 0且 f (x) ex 10

18、0 对 x (),故f(x) 0在(0,1)内有唯一实根.将方程f(x) 0变形为1x (210则当x (0,1)时(x) 110(2 a 1(x)|x e10故迭代格式xn 1(2 e n)106且满足 |x7 x6 1 0.000 000 95 10 .所以 x收敛。取x。0.5 ,计算结果列表如下:n0123xn127 872424 785877 325n4567xn595 993517 340525 950525 008*0.090 525 00810、已知下列实验数据xif(Xi)1口 exdx且0试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。解：当0<x<1时,f (x)

19、ex,则有一位整数.要求近似值有5位有效数字，只须误差Ri(n)(f)10 4Ri(n)(f)(b a)312n2Ri(n) (ex)e12n2e12n210 4即可，解得e 102 67.30877,6所以 n 68,因此至少需将0,1 68 等份。12、取节点x00，xi0.5，x21，求函数f（x）e ”在区间0，1上的二次插值多项式P2（x），并估计误差Pz(x) e 解：f（x） e x,f又故截断误差14、给定方程f（x）0 (x 0.5)(x 1)0.5 (x 0)(x 1)e (0 0.5)(0 1)(0.5 0)(0.5 1)1 (x 0)( x 0.5)e (1 0)(1

20、0.5)2(x 0.5)(x 1) 4e 0.5x(x 1) 2e 1x(x 0.5)(x) e x,M 3 max | f (x)| 1 x 0,1|R2(x)| |e x P2(x)| -|x(x 0.5)( x 1)|3!(x 1)ex 1 01）分析该方程存在几个根；2）用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字；3）说明所用的迭代格式是收敛的。解：1）将方程（x 1）ex 1 0（1）改写为xx 1 e（2）x*作函数f1（x） x 1, f2（x） e的图形（略）知（2）有唯一根X （1,2）2）将方程（2）改写为x 1 e xxk 11 e xk构造迭代格式x。L5（k 0，1,2，

21、）计算结果列表如下：k123456789xk3)(x) 1 e x ,(x) e x当 x 1,2时，(x) (2), (1)1,2,且1I (x)| e 1 1所以迭代格式xk 1(xk) (k 0,1,2,)对任意 xo 1,2均收敛。15、用牛顿(切线)法求J3的近似值。取x0=,计算三次，保留五位小数。解：声是f(x) x2 30的正根,f (x) 2x，牛顿迭代公式为xn 1 xn16、已知 f (-1)=2 , f (1)=3 , 近似值，取五位小数。解:L2(x)2 (x 1)(x 2)(1 1)( 12)3 (x 1)(x 2) 4 (x 1)(x 1) (1 1)(1 2)(

22、2 1)(2 1)i(x 1)(x2)34/ 1)(x 2) 91n123xn取xo=,列表如下:x232xnxn 1 当 t3- (n 0,1,2,)2 2xnf (2)=-4 ,求拉格朗日插值多项式L2(x)及f (1 , 5)的.1f(1.5)L2(1.5)0.041672417、n=3,用复合梯形公式求1exdx0的近似值(取四位小数)，并求误差估计。解:；exdx T3 Ue002 3c, 1 32(e2 31e ) e 1.7342f (x) ex, f (x) ex, 0x 1 时，1f(x)I e|R| |exe0.0250.05108xi19253038至少有两位有效数字。2

23、0、(8分)用最小二乘法求形如y2a bx的经验公式拟合以下数据:解:AT1192解方程组其中*2、span 1, x 111252 312 382AT AC AT yATA433913391 352960319.0ATy32.3 49.0 73.3173.6179980.7C解得：0.92555770.0501025 所以0.9255577,b 0.050102521、（15 分）用 n 项估计其误差。用 值。8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算n 8的复化梯形公式（或复化1e Xdx0e时，试用余Simpson公式）计算出该积分的近似|RTf解：T(8) hf(a)25)112

24、1 0.00130276872 g f(b) k 111 2 (0.88249690.77880080.606530660.53526140.472366550.41686207) 0.367879470.632943422、（15分）方程x30在x 1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式 （1）%x 1对应迭代格式Xn1对应迭代格式Xn 13 Xn3 xnT对应迭代格式Xn1 3 ;10判断迭代格式在X。13的收敛性，选一种收敛格1.5附近的根，精确到小数点后第三位。解：（1）1、2(x) (x 1) 33 ，(1.5)0.18 1 ,故收敛;(3)选择(X)(X)(1)：2x13x2

25、X01.5x ,(1.5)(1.5)3 1.520.17 1,故收敛;X5Xi1.324761.3572 X2x61.324721 ,故发散。1.3309 X3 1.3259 乂 1.3249? ? ?25、数值积分公式形如1oxf(x)dx S(x) Af (0) Bf(1) Cf (0) Df试确定参数A,B,C,D使公式代数精度尽量高；(2)设f(x)c4°,1,推导余项公式R(x)10xf(x)dx S(x)并估计误差。23,一 A解：将f(x) 1,x,x ,x分布代入公式得：20，b20，b3o，d120H3(K) f(K)构造Hermle插值多项式H3(x)满足H3(x

26、) f (xi) i 0,1其中x。0,x11则有:1o xH3 (x)dx S(x)£fN ) 22f(x) H3(x)二宣* DR(x)10xf(x) S(x)dxf(4)()4!(x 1)2dx g4! 604!f(4)x3 (x 1)2dx144027、(10 分)已知数值积分公式为:.h2 .'.,f (x)dx - f (0) f (h) h f (0) f (h)21 ' l试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。解：f(x) 1显然精确成立；f(x)f(x)f(x)所以,28、f (x)2x时,3 x时,4x时,x时,h

27、 2x dx0h 3 x dx0hx4dx0其代数精确度为hxdx0h33 h44h553。h22h 020h 02020h20 h h 122. 2._h h 0 2h1；h32 h2112 ；h3 h20 3h212；h4 h20 4h3126 ；(8分)已知求 嘉(a 0)的迭代公式为:1 , xk 1-(xkx00 k0,1,2xk是单调递减的,证明：对一切k 12 从而迭代过程收敛。证明:1axk 1 二 d -)2xkaxk 一 xk、,a k0,1,2故对一切k 1,2, , Xk axk 11q-(1又xk2迭代过程收敛12(11)所以xk1 xk,即序列xk是单调递减有下界，

28、从而29、(9分)数值求积公式 精度是多少解：是。因为f(x)在基点f(x)dx 3f f(2)_2是否为插值型求积公式为什么其代数x 2x 1P(x)f (1) f(2)1、2处的插值多项式为122 133 .0 P(x)dx J f(2)其代数精度为1。30、(6分)写出求方程4x 敛性。cos X1在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收(6分)xn 1xn114cos xn，n=0,1,2,sin对任意的初值a 0，1,迭代公式都收敛。14432、(10分)用复化Simpson公式计算积分1 sin xdx的近似值，要求误差限为31、(12 分)以 100,121,144为插值节点，用插值法计算了5的近似值，并利用余项估计误差用Newton插值方法：差分表:100101211114412,115 10+(115-100)(115-100)(115-121)f''' xf'''R 115 100 115 121 1153!_ 50.5 10