高中数学 线面角与面面角复习讲义 新人教A版必修4（高二）

1、高二数学（下）复习讲义（1）线面角与面面角一、知识与方法要点：1斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。若垂足的位置难以确定，可考虑用其它方法求出斜线上一点到平面的距离。2二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关键是找到或作出它的平面角(要证明)。作二面角的平面角经常要用三垂线定理，关键是过二面角的一个面内的一点向另一个面作垂线，并确定垂足的位置。若二面角的平面角难以作出，可考虑用射影面积公式求二面角的大小。3判定两个平面垂直，关键是在一个平面内找

2、到一条垂直于另一个平面的直线。两个平面垂直的性质定理是：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面二、例题例1正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为C1D1中点(1)求证：AC1平面A1BD(2)求BM与平面A1BD成的角的正切值解： (1)连AC，C1C平面ABCD， C1CBD又ACBD， AC1BD同理AC1A1BA1BBD=BAC1平面A1BD(2)设正方体的棱长为，连AD1，AD1交A1D于E，连结ME，在D1AC1中，MEAC1，AC1平面A1BDME平面A1BD连结BE，则MBE为BM与平面A1BD成的角在中，例2如图，把等腰直角三角形ABC以斜边A

3、B为轴旋转，使C点移动的距离等于AC时停止，并记为点P （1）求证：面ABP面ABC；（2）求二面角C-BP-A的余弦值证明（1）  由题设知APCPBP点P在面ABC的射影D应是ABC的外心，即DABPDAB，PD面ABP，由面面垂直的判定定理知，面ABP面ABC（2）解法1  取PB中点E，连结CE、DE、CDBCP为正三角形，CEBDBOD为等腰直角三角形，DEPBCED为二面角C-BP-A的平面角又由（1）知，面ABP面ABC，DCAB，AB面ABP面ABC，由面面垂直性质定理，得DC面ABPDCDE因此CDE为直角三角形设，则，例3如图所示，在正三棱柱中，截面侧面

4、(1)求证：；(2)若，求平面与平面所成二面角(锐角)的度数证明：在截面A1EC内，过E作EGAC，G是垂足，如图，面AEC面AC，EG侧面AC取AC的中点F，分别连结BF和FC，由ABBC得BFAC面ABC侧面AC，BF侧面AC，得BFEGBF和EG确定一个平面，交侧面AC于FGBE侧面AC，BEFG，四边形BEGF是 ，BEFGBEAA，FGAA，AACFGC解：(2)分别延长CE和C1B1交于点D，连结ADBACBCA60°，DACDABBAC90°，即 DAACCC面ACB，由三垂线定理得DAAC，所以CAC是所求二面角的平面角且ACC90°CCAAABA

5、C，CAC45°，即所求二面角为45°说明：如果改用面积射影定理，则还有另外的解法三、作业： 1已知平面a的一条斜线a与平面a成q角，直线bÌa，且a,b异面，则a与b所成的角为（A）A有最小值q，有最大值B无最小值，有最大值。C有最小值q，无最大值D有最小值q，有最大值p-q。2下列命题中正确的是（D）A过平面外一点作该平面的垂面有且只有一个B过直线外一点作该直线的平行平面有且只有一个C过直线外一点作该直线的垂线有且只有一条D过平面外的一条斜线作该平面的垂面有且只有一个3一条长为60的线段夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别为 45°

6、和30°，这条线段的两个端点向平面的交线引垂线，则垂足间的距离是（A）A30B20C15D124设正四棱锥SABCD的侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角是（C）A30°B45°C60°D90°5正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为，则它的侧棱与底面所成的角为6A是BCD所在平面外的点，BAC=CAB=DAB=60°，AB=3，AC=AD=2. （）求证：ABCD； （）求AB与平面BCD所成角的余弦值.7正四面体ABCD中，E是AD边的中点，求：CE与底面BCD所成角的正弦值解 过A，E分别作AH面BCD，EO面BCD，H，O为垂足，AH 2OE，AH，OE确定平面AHD，连结OC，ECO即为所求AB=AC=AD，HB=HC=HDBCD是正三角形，H是BCD的中心，连结DH并延长交BC于F，F为BC的中点， ，在RtADH中，8在四面体ABCD中，DA面ABC，ABC90°，AECD，AFDB求证：（1）EFDC；（2）平面DBC平面AEF证明  如图1-83（1）AD面ABCADBC又ABC90°BCABBC面DABDB是DC在面ABD内的射影AFDBAFCD（三垂