弹性力学用极坐标解平面问题

1、第四章 用极坐标解平面问题4.1.极坐标中的平衡微分方程工程上常常可以遇到圆形、环形、楔形或扇形类的结构物。在这些情况下，用直角坐标描述边界条件会变得相当复杂，由于极坐标使得结构的边界与坐标线一致，因而使边界条件的描述更加简单，使问题更易于求解。图4.2单元体上的应力图4.1极坐标下的应力符号首先我们定义极坐标中的应力分量和体积力分量。用夹角为的两条极径和两条半径相差为的同心圆弧截取一个微元体（图4.1）。圆弧截面称为面。面的法向沿径向而且指向增加方向，这一圆弧面称为正面，反之称为负面。极径截面称为面。面的法向沿环向而且指向增加方向，这一极径截面称为正面。反之称为负面。面上的正应力用表示，剪应

2、力用表示。面上的正应力用表示，剪应力用表示。用表示体积力在径向的分量,用表示体积力在环向的分量。应力的符号规定与直角坐标下的规定完全相同：正面上指向正向（坐标增加的方向）的应力为正值应力，负面上指向负向（坐标减小的方向）的应力亦为正值应力，反之，为负值的应力。体积力符号规定也与直角坐标下的规定相同，指向坐标轴正向（坐标增加的方向）的体积力为正值，反之，为负值。直角坐标和极坐标之间具有严格的变换关系。从理论上说，我们完全可以通过坐标变换的方法由直角坐标的基本方程导出极坐标下的相应方程。但是，为了加深对极坐标下平衡方程物理意义的理解，我们仍然通过极坐标下的微分单元体的平衡导出极坐标下的平衡微分方程

3、。我们取一个微分单元体研究，各个面上的应力分量和体积力如图4.2所示。负面上的正应力为，剪应力为；正面的坐标比负面增加了，所以正面的应力和负面相比，应力产生了一个增量，分别为和。负面上的正应力为，剪应力为；正面的坐标比负面增加了，所以正面的应力和负面相比，应力产生了一个增量，分别为和。由于微分单元体厚度是1，所以负面的面积为，正面的面积为；正、负面的面积均为。体力为和。各面的合力对形心求矩，可以再次证明剪应力互等定理。 （4.1）取各面上的力在方向上的平衡，有：（a）由于是个微量，所以有和成立。把它们用于（a）式并略去高一阶的无穷小量。利用剪应力互等定理并在方程两边同除以,整理后得 （b）再考

4、察各面上的力在方向上的平衡，同理可得： （c）（b）式和（c）式联立得到一组平衡微分方程： （4.2）这个方程组中包含了、和三个独立的未知函数，方程本身比直角坐标下的相应方程复杂得多。一般情况下，它的求解也复杂得多。4.2. 极坐标中的几何方程及物理方程在4.1节中我们导出了三个应力分量应该满足的平衡微分方程。但是仅仅通过两个方程求解三个未知函数是不够的，必须找到一个补充方程，也就是说要考虑变形几何关系。首先要定义在极坐标中的应变分量与位移分量。比照在直角坐标中的应变分量的定义办法，我们定义与应力相对应的应变，表示径向线段的线应变（径向正应变），表示环向线段的线应变（环向正应变），表示径向线段

5、和环向线段之间的直角改变量（剪应变）。位移分量是按照位移的方向定义的，表示径向位移，表示环向位移。图4.3径向位移变形几何方程是描述位移和应变之间关系的一组方程。欲研究平面弹性体在极坐标下的变形，要选取相互正交的径向线段和环向线段。径向线段，环向弧线所含的弧度为，弧长。线段端点及其坐标分别为，和。由于极坐标中正交线段的位移可以看作沿径向的位移和沿环向位移的合成。在分析位移与应变关系时我们分两步完成，第一步先考察正交线段仅发生径向移动（不考虑环向位移）所产生的位移与应变分量间的关系（图4.3）。正交线段的径向移动使点移动到点，位移为，点移动到点，由于、两点极角相同，点极径比点的极径增加了，所以其

6、径向位移产生一个由于变化带来的函数增量，点的位移为，这两点的环向位移，的转角为零。线段的伸长量可以通过两个端部、两点的位移差计算，产生的径向线应变为，即 （a）正交线段的径向移动同时使点移动到点，由于、两点极径相同，点极角比点的极角增加了，所以其径向位移产生一个由于变化带来的函数增量，点的径向位移为，这两点的环向位移也有。同理，弧所产生的环向线应变为，即 （b）由于、两点径向位移不同，就使得产生了一个转角， （c）故剪应变为 （d）图4.4环向位移第二步是在第一步的基础上研究径向位移后的两条线段端点、和只发生环向位移而不发生径向位移（图4.4）。正交线段的环向移动使点移动到点，位移为，点移动到

7、点。点极径比点的极径增加了，所以其环向位移产生一个由于变化带来的函数增量，点的环向位移为， （e）这两点的径向位移。线段位移到后，其伸长量可以视为零，所以其径向线应变 （f）正交线段的径向移动使点移动到点，由于点极角比点的极角增加了，其环向位移产生一个由于变化带来增量，点的环向位移为：弧所产生的环向线应变为，也就是即 （g）由图4.5可以看出，线段位移到所转过的角度包含两部分，一部分是径线转动到的位置时刚体转动角， （h）另一部分是环向位移使线段转动到位置时转过的角度，只有这一部分转角才是正交线段的直角改变量，可以这样计算 （i） （j）把两种位移产生的径向应变、环向应变和剪应变叠加 （k）把

8、（a）、（b）、（d）、（f）、（g）和（j）式代入（k）式后得到总的径向应变、环向应变和剪应变与位移之间的关系，即几何方程如下： （4.3）式中是由径向位移产生的环向应变，是由环向位移产生的刚体转动角度。所得到的平衡微分方程描述的力学量之间的关系，几何方程描述的是几何量间的关系。几何方程要作为补充方程，必须把几何量转化为力学量，物理方程就为完成这种转变提供了依据。物理方程是描述力和变形之间的关系的，在弹性力学中描述的是应力和应变之间的关系。由于极坐标也是正交坐标系，微分单元体和直角坐标是一致的，所以力和变形之间所遵循的规律是完全一致的，因此物理方程形式不变。在平面应力状态下物理方程的极坐标形

9、式为 （4.4）写成矩阵的形式为 （4.）按照与2.4节相同的做法，可以得到用应变表示应力的平面应力状态下物理方程的极坐标形式 （4.5）其矩阵形式为 （4.）将（4.4）式中的和分别用和代换，可以得到平面应变状态下物理方程的极坐标形式 （4.6）它的矩阵形式为 （4.）至此，我们已经得到两个独立的平衡微分方程，三个几何方程和三个物理方程，计八个方程，含有需要求解的八个未知函数，具备了求解的基本条件。4.3极坐标中的应力函数与相容方程图4.6极坐标下的方向角在平面直角坐标系求解问题时，采用应力函数是一种行之有效的方法，我们在用极坐标求解时也试图采用同样的方法，为此我们需要导出极坐标下用应力函数

10、求解的基本方程。这里仅考虑体积力为常量的情况。首先把用直角坐标表示的拉普拉斯方程转化为极坐标表示。通过两个坐标系的转换很容易的得到应力函数从直角坐标系到极坐标的转化，。下面我们用求在极坐标下对和的方向导数的方法导出极坐标下用应力函数描述的相容方程。和之间的夹角为（图4.6），所以在极坐标下对的方向一阶导数为 （a）把整体视为新函数，再求对它对的一阶导数，即用它代替（a）式中的得到 (b)所以有 (c)由于方向导数比x方向的角度增加了，所以求应力函数在极坐标下对方向一阶导数时仅需把对x方向求导的(c)式右边各项中用代换即可。因此有即 （d）按照与推导（b）式相似的做法可以得到应力函数对、的混合导

11、数所以有 （e）把(c)式和（d）式相加得出拉普拉斯算子的极坐标表达式 （f）由于，所以用应力描述的变形相容方程为 （4.）（4.）式可以写成 （4.7）把(c)式和（d）式代入应力函数表示的相容方程中就可以得到极坐标下的相容方程。 （4.8）把（4.6）市展开为 （4.）由此可以看出，用极坐标解答平面问题时，也和直角坐标一样，只需选择某一个应力函数，求出各应力分量，并要求它们能满足所给弹性体所有的边界条件即可。4.4.应力的坐标变换在4.3节我们已经导出用极坐标描述的直角坐标应力、和，只要完成用直角坐标应力表示极坐标下的应力，把前面所得到的结果代入，不难导出极坐标下应力的应力函数表达式。这里

12、我们通过坐标变换完成两种坐标系下的应力变换。图4.6面上的应力变换在数学中可以用坐标变换矩阵给出坐标轴旋转后一点的坐标与旋转前的坐标之间的关系： （a）即 （b）如果直角坐标下的应力单元体斜截面的法向正好是极坐标中的径向（图4.6），利用（2.）式可以得到斜截面上应力在向和向的分量为 （c）图4.7面上的应力变换那么斜截面上应力在向和向的分量正是极坐标下的正应力和剪应力，由坐标变换可以得到它们与的关系： （d）把（c）式代入（d）式得到： （e）如果直角坐标下的应力单元体斜截面的法向正好是极坐标中的切向（图4.7），那么截面上应力在向和向的分量为 （f）那么斜截面上应力在向和向的分量正是极坐标

13、下的剪应力和正应力，由坐标变换可以得到它们与的关系： （g）把（f）式代入（g）式得到： （h）把（e）式和（h）式分别扩展为矩阵，而后相加就得到直角坐标应力分量变换成极坐标下的应力分量。 （4.9）用矩阵符号表示为 （i）式中 极坐标下的应力矩阵； 直角坐标下的应力矩阵；二维的坐标变换矩阵；二维的坐标变换矩阵的逆矩阵。把（4.9）式展开得到从直角坐标到极坐标下的应力变换公式 （4.10）通过对（i）式作矩阵运算可以求出从极坐标到直角坐标下的应力变换矩阵式 （j）把（j）式展开则得到从极坐标到直角坐标下的应力变换公式 （4.11）从理论上讲，把4.3节导出的用极坐标描述的直角坐标应力，和代入到

14、（4.10）式中去，就可以得到极坐标下的应力与应力函数间的关系。这需要作一些烦琐的运算。为简单起见，我们给出4.3节导出的描述直角坐标应力的（c）式、（d）式和（e）式如下： （4.3c） （4.3d）（4.3e）把（4.3c）式、（4.3d）式与（4.11）式相比较，很容易得到 （4.12）可以证明:当时,(4.12)能满足平衡微分方程(4.2)式。在极坐标下略去体积力分量而按应力求解平面问题时，可归结为根据（4.8）式求出应力函数，然后根据（4.12）求出各应力分量，再使它们满足边界上的应力边界条件，同时要满足位移单值条件。4.5轴对称问题的一般解图4.8深埋的压力管道在工程上有一些结构是

15、旋转体，而且他们所承受的荷载及约束又是关于轴截面对称的，如架空的或埋置较深的地下管道（图4.8）、隧道以及机械上紧配合的轴套等。像这类构件的几何形状、受力及约束关于通过轴的平面对称而且无体积力作用的弹性力学问题简称为轴对称问题。取形心为极坐标的原点。由于弹性体内的各力学量都是关于任意通过原点的轴为对称的，所以同一圆周上的任意两个单元体都是对称的，其应力一定也是对称的。换句话说，轴对称问题的应力仅仅是极径的函数，而与无关。由于在一个截面上是反对称的应力，在轴对称的情况下必不可能存在，即。同样。可见，在轴对称问题中仅仅存在和两个应力分量，而且它们只是的函数，。我们首先求轴对称问题的应力分量。由于不

16、考虑体积力，而且应力分量中不含，所以在轴对称的条件下平衡微分方程（4.2）式中的第二式自然满足。这样一来，独立的平衡微分方程只有一个： （4.13）其相容方程为 （4.14）（4.14）式可以写成 （a）将（a）式积分两次得到 （b）平衡微分方程（4.13）式改写为把它与（b）式相加， （c）方程（c）的特解和相应的非其次方程的通解分别为， （d）由此得到径向正应力和周向正应力分别为 （e）由于应力是有界的，所以必有。把（e）式中的常数重新命名得到： （4.15）此后，我们再求轴对称问题的位移分量。由于并不知道坐标原点的约束情况，一般情况下位移是与极角有关的。把（4.15）式代入物理方程（4.

17、4）求出各应变分量，而后再用几何方程（4.3）将应变分量用位移表示，则有 （f）由（f）第一式积分得 （g）把（g）式代入（f）式中的第二式，经整理有把此式积分求得 （h）把（g）式（h）式代入（f）式中的第三式，得到 （i）对于两个独立的变量要保持（i）式恒成立，必须有 （k）由此得出 （j） （l）求解方程(j)，（j）式为线性微分方程，可用分离变量法求解:其通解为 （m）（l）式对求导，得出 （n）解之得 （p）把（p）式代入（l）式，运算后可求得 （q）把（p）式代入（g）式得把（m）式和（q）式代入（h）式得由此我们得出极坐标下轴对称问题的位移解： （4.16）式中A、C、F、I、K

18、都是任意常数，其中F、I、K和2.3节中的w、u0、v0一样，代表刚体位移(由位移边界确定)。如果是平面应变问题，则仅需把式（4.16）做换成、换成的代换即可求得其位移分量。4.6受压圆环或圆筒的解图4.9承受内压和外压的圆环深埋地下的受压管道可以简化为轴对称的力学模型，截取单位厚度的薄片就可以视为平面应变问题。为了简单起见我们首先分析平面应力问题，而后可以通过弹性系数的代换得到平面应变的解。单位厚度的厚壁圆筒内半径,外半径，承受均布的内压力，外压力（图4.9）。该问题简化为轴对称问题，的内边界应力边界条件为 （a）的外边界应力边界条件为 （b）根据4.5节，轴对称的应力分量为 （4.17）显

19、然，和自然能够满足。利用边界条件（a）式和（b）式， （c）求解关于和的方程组（c）得到，把和的值代入（4.17）式，即得拉梅（Lame）解: （4.18）4.5节给出了轴对称问题的位移分量为 （4.16）若适当给定约束条件，不仅弹性体无刚性位移，对称面上亦无沿周向的位移，则图4.10圆筒受内压，根据（4.18）式的结果讨论几种特例。1.只受内压（，）这是压力容器最常见的受力方式，其应力为 （4.19）沿轴向受压应力作用，沿环向受拉应力作用，分布状态见图4.10。最大压应力和最大拉应力均在内壁。，。图4.11圆筒受外压2.只受外压（，）这是深埋管道的受力方式，其应力为 （4.20），均为压应力

20、，分布状态见图4.11。径向最大压应力在外壁，而环向最大压应力在内壁。，当远达于时，内壁，3.无限域开圆孔在内压用下当时图4.12圆孔的应力集中 （4.20）验证圣维南原理：由图4.12可以看出，在处，应力很小，可以不计，即在内压作用下，在处圆孔的影响可略而不计。4.针孔问题（应力集中）在含有针孔的大板受均匀分布的外压时，在内径时可见，孔径虽然很小，但孔边应力却提高了近2倍，这就是应力集中现象。工程实际中常在孔边发生开裂，就是这个原因。4.7压力隧洞（无限大弹性体内的内压圆筒）像埋置较深的地下输送液体或气体的管道、带有内衬的地下巷道或隧道等结构物，在研究内层管道本身的应力与变形的同时，常常需要

21、考虑外层材料的受力与变形。对这类问题的分析需要利用两个弹性体在接触面上的变形协调关系，所以它也是一种接触问题。按接触条件可以把接触问题分为两大类：一类是完全接触，即两弹性体的接触面保持紧密接触，不发生相对滑动。（a）在接触面上的应力条件是正应力相等，剪应力也相等；（b）在接触面上的位移条件是径向位移相等，环向位移也相等。另一类是非完全接触，即两弹性体的接触面是光滑的，但接触面依然保持紧密接触。（a）在接触面上的应力条件是正应力相等，剪应力等于零；（b）在接触面上的位移条件是径向位移相等，而环向位移不相等（相对滑动）一般来说压力隧洞属于完全接触。设圆管埋置的深度远大于其直径，可以视为圆筒是埋在无

22、限大弹性体中，管内部受均匀分布的压力（图4.13）。管道材料的弹性常数、，弹性体材料的弹性常数、，求管道和外层弹性体的各应力分量。显然这是一个轴对称问题，它们的应力分布也是轴对称的，所以4.5节和4.6节的结果（4.15）式和（4.16）式仍然适用。图4.13压力隧洞分别给出圆筒、无限大弹性体的应力与位移表达式，但须注意它们具有不同的材料弹性常数及积分常数。圆筒的各应力分量为： （4.17）无限大弹性体的各应力分量为 （4.21）在两组方程中有四个待定常数。根据圣维南原理，当时无穷远处应力近乎为零，所以在（4.21）式中有： （a）由此得出。要确定另三个待定常数还需要三个条件。利用圆筒内表面的

23、边界条件有 （b）无限大弹性体和圆筒的接触面上，它们的面力是作用力与反作用力的关系，所以径向面力相等：，把代入即有 （c）要确定还要利用两个部分的变形连续条件。由于这里取出的单位厚度的薄片属于平面应变问题，所以求圆筒的位移需要对（4.16）式进行换成、换成的代换，变为 （4.22）无穷远处的弹性体内各点位移为零，而且两弹性体是完全接触，所以约束可看作是轴对称的，故有，也就是说，仅有存在。平面应变状态下圆筒外边界的径向位移为： （d）同理，含圆孔的无限大体的位移为 （4.23）同样，无限大体的位移中，即所以有。注意到，平面应变状态下无限大体内的径向位移为 （e）在无限大体内圆孔边界的径向位移为

24、（g）由于两物体接触面的径向位移相等，即 （h）由第（h）式整理： （i）令,（i）式改写成 （j）（b）式、（c）式和（h）式联立 （k）求解关于A、C、A 的三元一次方程组（k）式求得 （k）把A、A 、C、C 回代到应力分量表达式（4.15）和（4.21）式中，得到各应力分量为：图4.14压力隧洞应力分布（4.24）当nr）。这就将薄板直边界转换为圆边界（图4.16），从而可以采用极坐标研究。在半径为的圆周上各点受力状态都是均匀拉伸状态，即，由坐标变换式（4.10）式求得边界上极坐标下的应力分量，以此作为无限远处的应力边界条件。图4.16新建的边界 （a）圆孔的边界条件为：, （b）根据

25、无限远处应力边界条件可以看出：和的分布是关于轴和轴对称的，是周期为的函数，而是关于轴和轴反对称，也是周期为的函数。为此，设板内各点的三个应力分量函数形式具有与远处应力相类似的形式，分别为： （c）把（c）式分别代入平衡微分方程（4.2）式和相容方程（4.7）式可得 (d)要使（d）式中关于自变量的函数sin2或cos2的多项式恒为零，得到两组方程：第一组方程 (e)比照4.5节中方程（4.12）式的解法，同样利用应力的有界性，由方程组（e）解得 （f）第二组方程 （g）（g）式中的第三式是关于的欧拉方程，它的特征根，所以它的解为 (h)（g）式中的第一式减去第二式，把（h）式代入其中后可以得到

26、 (i) (j)(h)式和(j)式相减得到 （k）代入方程（g）式中的第二式即 （l）方程（l）的一个特解为方程（l）的通解是 把h代入（j）式和（k）式中，得到 由于应力是有界的，所以。由此得出应力的函数表达式 （m）利用应力边界条件确定常数，的外边界的应力边界条件（a）为 （n）由此确定出常数和，。利用的内边界上的应力边界条件,则有 （p）由此得出,。含圆孔的无限大板单向均匀拉伸下的解为 (4.25)在的孔边，环向应力圆周上环向应力几个重要的数据列于表4-1：表4-1圆周上几个重要的应力数据在的径线上环向应力的径线上环向应力几个重要的数据列于表4-2：表4-2径线上几个重要的应力数据图4.

27、17给出了三条径线上环向应力的分布情况。研究圆孔边的应力分布可以看出，孔边附近的局部区域应力发生应力增大的现象，我们称之为应力集中。孔边的最大应力与无孔时应力的比值称为应力集中系数。在的圆周上，时，有最大值 (4.26)孔边的最大应力比无孔时提高了2倍。圆孔的应力集中系数。图4.17孔边的应力分布当时，在轴上应力已接近于均匀分布。说明时圆孔的影响已经很小，这再次验证了圣维南原理的正确性。沿着的轴方向环向应力为处，；在处，（图4.17）。在的区间内，压应力的合力为换言之，当圆孔处于压应力作用下时，在孔边也会产生最大值为的拉应力。对于抗拉性能较差的材料来说特别应该注意。所得到的单向均匀拉伸应力场中

28、圆孔的解可以很容易用于求解双向均匀拉伸圆孔（图4.18）的应力分析中去。把(4.25)式中的角度用代替，就得到向拉伸的解。如果向分布力的集度为（图4.18b），向分布力的集度为（图4.18c），那么用叠加法可求得双向均匀拉伸情况下圆孔边的应力解（图4.18a）（a） （b） （c）图4.18两向均匀拉伸情况下应力场的叠加 （q）即使在任意平面应力状态下，只要应力变化梯度不大而且圆孔直径又足够小。可以先求出该区域内的主应力、（或）。令，（或），再利用（q）式计算圆孔的应力集中。严格地说这样做是有误差的，但其结果仍可以给出有实用价值的初步估算。4.9平面楔顶部受力.半无限平面受法向力4.9.1.平

29、面楔顶部受力有一单位厚度的平面楔，楔体的中心角为2，下端当作无限延伸。在楔顶部单位厚度上受方向沿对称轴的集中荷载F作用（图4.19），不计体积力，计算楔形体中的应力。图4.19a平面楔受集中力我们采用主应力坐标系求解该问题较为简单。为此，我们首先建立主用力坐标系并导出拉梅麦克斯韦尔方程。所谓主应力坐标系是指由两个主力的迹线所构成的坐标系。弹性体内的主应力、正交，主应力的迹线为，主应力的迹线为。规定由转到逆时针向为正，而且增加时应力矢量逆时针向转时为正向（图4.20）。在主应力坐标系下，每个以两组平行的坐标面截得的微单元体上仅有正应力和作用，而没有剪应力作用。令， (a)图4.20主应力坐标系根

30、据斜方向上的应力公式可以得到、方向的应力分别为 (4.27) 把（4.27)式代入平衡微分方程（2.2）式的第一式，注意到、和都是、的函数。那么主应力坐标系下的平衡微分方程为 （b）为了简单起见，现在就主应力迹线恰好与方向一致，而且主应力迹线也恰好与方向一致的特殊情况导出主应力迹线坐标下的平衡微分方程。由于我们并不确知单元体上两个主应力的大小，这里把和方向一致的主应力作为，和方向一致的主应力作为并不影响对问题的讨论。显然，时，所以（b）式可以写成 （c）把（a）式代入（c）式，正是主应力迹线曲率，用曲率半径表示为，所以有 （d）做与此相同的推导，可以把平衡微分方程（2.2）的第二式也写成用主应

31、力及其迹线的曲率表示的形式，由此得出主应力坐标下的平衡微分方程拉梅麦克斯韦尔方程。 （4.28）楔顶部受集中荷载F的边界条件为，显然，的直线都是主应力迹线。由于本问题属于对称问题，所以的对称面上没有剪应力作用，直线也是一条主应力迹线。显然三条主应力迹线交于一点。根据主应力迹线的性质可以推断：三条主应力迹线的交点就是这种主应力迹线的一个交汇点，也就是说的主应迹线是汇聚于的射线族。另一组主应力迹线与该射线族中各条主应力迹线正交，故必为一组以为圆心的同心圆弧。可见主应力迹线坐标系的坐标线正是极坐标的极径线，而坐标线正是环线，即，。这时曲率半径有，而且，。方程（4.28）作如上代换，主应力迹线坐标系极

32、坐标系下的平衡微分方程变为 (e)由(e)式中的第二式积分得到根据边界条件，所以 (f)把(f)式代入（e）式的第一式，得出解此方程得到 (g)把(f)式和(g)式代入应力表示的相容方程（4.7）式 (h)由（h）式得为自变量，所以有解之得到代入（g）式，有 （i）式中I、J是待定常数，要确定I、J 必须利用顶部的合力条件。取半径为的部分楔体，利用隔离体在向和向的平衡：解得，半无限楔体顶部单位厚度上受方向沿对称轴的集中荷载F作用下的应力解为 （4.26）图19b平面楔顶受集中力如果平面楔顶受任意集中力，可以把集中力分解为沿对称面x向的Fx和y向的Fy(图3)。平面楔顶仅受Fy作用又可以转化受两

33、个作用的反对称问题，其应力也必然是反对称的。如果x轴截面存在剪应力，根据剪应力互等定理知道圆弧面上的剪应力分布违背了反对称规律。可知x面上，同样得出主应力迹线坐标系与极坐标系是等价的结论。可按上述解法，只需将边界条件改为这样可得解为 （11）由此不难得到受斜任意集中力F作用时的解，通常称为密切尔解。4.9.2.半无限平面受法向集中力图4.21半无限平面受法向力如果，则上述问题转化成半无限平面受法向力（图4.21）。单位厚度上的力为F ，边界条件为，。在（4.26）式中令，则得到半无限平面受法向集中力的解 （4.27）由（4.27）式的第一式得出 (k)(k)式表明，直径圆上各点，应力是相等的，

34、此时应力解可以表示成 （4.）4.9.3.半无限平面受法向力的位移计算（4.27）式代入物理方程（4.4）式，得出位移分量 （l）把（l）式代入几何方程（4.3）式得到 （m）由（m）式的第一式对积分得到径向位移 (n)把（n）式代入（m）式的第二式，经运算可以得到 （o）该式对积分得到环向位移 （p）把（n）式和（p）式代入（m）式的第三式，得到 这是一个分别以和为自变量的两个函数构成的恒等式，由此可以得到关于函数和函数的两个方程。第一个方程是 （q）即求解得到 （r）第二个方程是 （s）方程（s）是积分方程，对求导得到微分方程 （t）方程（t）对应的齐次方程的通解为方程（t）的一个特解为所

35、以方程（t）的解为 （u）把（u）式代入（s）式，可以得出 （v）把（u）式、（v）式和（r）式分别代入(n)式和（p）式得出半无限平面内各点的位移分量把和带入到（p）式可得到，得到的位移分量写成 （w）式中、和为待定常数。根据对称性知道，在处，环向位移，即由此得出。把它们代入（w）式便得到半无限平面的位移解 （4.28）式中表示刚体位移，必须利用约束条件才能确定。对称轴上各点的位移为半无限平面边界上各点的位移为 （x）我们把半无限平面边界上各点沿向的位移称作沉降量。由于无法确定，所以只能选取一个足够远的基点作为相对位移的参考点。把要求点的位移相对基点的差值作为相对沉降量（图4.22）。基点距

36、荷载作用点的距离为，极角，其位移为 （y）到荷载作用点的距离为，极角的点M,其位移为图4.22沉降量的计算 （z）边界上M点相对于基点的沉降量为由此得出沉降量公式 （4.29）4.10 半无限平面体在边界上受分布力图4.23 应力影响线在工程中，常常遇到半无限平面所承受的荷载分布范围较大，已不宜作为集中荷载处理。这时我们则把这种情况简化为半无限平面受分布力作用，可以通过对半无限平面受集中荷载解的积分得到新问题的解。半无限平面直角坐标下的应力分量可通过对（4.9）式进行坐标变换得到展开后得到 （a）半无限平面受集中力作用，直角坐标下的应力分量为 （4.30）集度为的面力作用于半无限平面的边界上，

37、现在要求任意一点处的应力分量。为此，我们以应力为例，介绍应力影响线的概念。（4.30）式给出了在点作用的一个单位的法向集中力所产生的应力，它的分布如图4.23中关于轴对称的曲线，在M处的应力为纵坐标的值。同样，如果一个单位的法向集中力作用于M点所对应的A点，那么它所产生的应力分布如图4.23中关于直线对称的曲线。这两个集中力所产生两条分布曲线是对称图形。可以看出，O点的力在M处产生的应力等与A点的力在处产生的应力。换句话说，O点的力在M处产生的应力等与A点的力所产生的应力分布曲线上O点下方的线段，即可见，A点作用力的应力分布曲线就是O点的力在M处产生的应力的影响线。作用于处微段上的所引起的各应

38、力分量在M点的值是下方应力影响线下曲边梯形的面积。 （b）对（b）式进行积分就可以得到整个分布荷载在点M所产生的应力值 （4.31）如果分布在到间的荷载的集度为常量，则各应力分量为 （4.32）设单位力均匀分布在半无限平面边界从到间的一段边界上，分布的集度为，求离分布力中心I点为的一点K的沉降量。我们根据位移互等定理建立K点沉降量的影响线（图4.23）。边界A点处的单位力在K点产生的沉降等于K点的力在A点的沉降量，所以把单位力作用于K点产生的沉降曲线作为K点沉降量的影响线。那么引起的K点沉降可由（4.30）式计算图4.23 K点的沉降影响线 （c）式中 为到K点的距离；与基点B的距离。由于随变

39、化，为了简化上式，设基点B的距离取得很远，则，积分时将视为常数。若K点在荷载分布区间之外，则K点沉降量为 （d）所以 （4.33）式中 （e）若K点在荷载分布区间的中点，则 （4.34）积分结果仍为（4.33）式，常数仍由（e）式计算。但。当为整数时（含）可以由表（4-3）查出的数值。如果是平面应变问题，则需要做和代换。表4-3半无限平面沉陷公式中的值0123456789100-3.296-4.751-5.574-6.154-6.602-6.967-7.726-7.544-7.780-7.99111121314151617181920-8.181-8.356-8.516-8.664-8.802-8.931-9.052-9.167-9.275-9.378习 题4-1 试比较极坐标和直角坐标中的平衡微分方程、几何方程和物理方程，指出哪些项是相似的，哪些项是极坐标中特有的?并说明产生这些项的原因。4-2 试导出