弧齿锥齿轮传动系统的耦合振动分析

1、第2章 弧齿锥齿轮传动系统的耦合振动分析齿轮传动系统包括齿轮副、齿轮轴及轴承，其作为一种弹性的机械系统，在动态激励作用下会产生动态响应，动态激励是系统的输入。齿轮系统的动态激励有内部激励和外部激励两类，其中与一般机械系统的主要不同之处在于它的内部激励。由于同时啮合齿对数的变化、轮齿的受载变形、齿轮和轮齿的误差等引起了啮合过程的轮齿动态啮合力，因而即使外部激励为零（或为常值），齿轮系统也会受这种内部的动态激励而产生振动。在齿轮传动系统中，啮合轮齿间均存在着一定的齿侧间隙，因而在高速且频繁启动的情况下，就会导致轮齿间接触状态发生变化而出现轮齿间接触分离再接触这样的重复冲击的现象，使齿轮系统的动力学

2、行为和性态产生质的变化。齿轮系统间隙非线性动力学的研究已成为当今齿轮动力学研究的一个热点。齿轮啮合动态激励是齿轮系统产生振动和噪声的基本原因，研究齿轮啮合过程中动态激励的基本原理，确定动态激励的类型和性质，是研究齿轮传动系统振动和噪声的首要问题1-4。在目前有关齿轮传动的非线性动力学研究文献中，多数都集中在直齿圆柱齿轮传动动力学的研究中，锥齿轮传动动力学的研究目前几乎是一个空白。因此，以锥齿轮传动系统为研究对象，考虑齿侧间隙、时变啮合刚度等非线性因素，建立锥齿轮传动系统非线性动力学模型，深入研究锥齿轮传动系统的非线性动态特性，既具有重要的理论意义，也具有重大的实际应用价值。这方面的研究将不仅为

3、实现重量轻、高效率的齿轮系统的设计提供有益的理论依据和有效手段。而且对于进一步探究齿轮系统的动态特性、降低齿轮系统的振动、噪声具有重要的实用指导意义5-9。2.1 非线性振动模型与方程建立齿轮系统的理论分析模型是有效地对齿轮系统进行分析和动态设计的基础，目前常用的建模方法主要有传递矩阵法、集中参数法和有限元法等。对弧齿锥齿轮传动系统的建模，本文是采用集中参数法建立齿轮传动系统（齿轮、轴和轴承）的动力学模型，并将轴的质量向齿轮中心简化，对啮合齿用弹簧和阻尼器进行模拟，得到传动系统的振动常微分方程10-13。图2-1 弧齿锥齿轮系统动力学模型Fig.2-1 The vibration dynami

4、cs model of spiral bevel gear弧齿锥齿轮副非线性动力学模型如图2-1所示。为弹性支撑下锥齿轮传动的动力学模型。在该模型中，以两锥齿轮的轴线在理论位置时交点为原点，建立图示的全局坐标系（设两轮轴线间夹角为）。支承两齿轮的轴段被等效处理为作用与齿轮的齿宽中点，沿三个坐标方向的移动和轮体绕其轴线的传动，即式中，分别是主被动齿轮轴心沿轴、轴和轴横向振动位置；分别为主被动齿轮绕转动轴的扭转振动位移。两锥齿轮齿面啮合点间因振动和误差而产生的沿啮合点法线方向的相对位移为， （2-1）式中：分别为主被动锥齿轮节锥角法面压力角两轮啮合点半径齿轮副的法向静态传动误差，啮合频率误差的阶偕

5、波幅值初相位为了便于分析，对大齿轮作受力分析，且将坐标系绕轴旋转如图2-2所示。锥齿轮副在啮合时的法向动态啮合力及其沿各坐标方向的分力分别为： （2-2）图2-2 弧齿锥齿轮轮齿受力分析Fig.2-2 Force analysis of the spiral bevel gear由于扭摆振动对系统的影响较小,为分析方便，本文忽略扭摆振动，弧齿锥齿轮传动系统等效处理为八自由度但考虑齿轮时变啮合刚度和齿侧间隙共存的非线性动力学模型，图2-1所示的弧齿锥齿轮传动系统振动方程为 （2-3）式中：，主被动锥齿轮的集中质量和转动惯量。，分别为主被动锥齿轮沿、轴方向的平移阻尼和刚度系数。作用在主被动齿轮上的

6、驱动力矩，它由不变部分和变化部分组成。 作用在主被动齿轮上的阻抗力矩。锥齿轮齿宽中点相当基圆、节圆半径。式(2-3)是八自由度的半正定、变参数、非线性二阶微分方程组。在式(2-3)中引入相对位移作为新的自由度,将两扭转振动位移消去,使系统的自由度数由8 个降为7个，处理后得9-11: （2-4）式中： 齿轮副的等效质量，。主动锥齿轮所受圆周力的不变部分和变化部分，。外载激励频率外载荷的阶谐波幅值初相位将上述振动方程进行量纲一化处理，可得 （2-5）式中： 式中 上式中的为描述了具有齿侧间隙时轮齿实际变形的非解析函数，如图2-3所示，可将分段函数表示为 (2-6)图2-3 齿轮副的间隙非线性描述

7、函数Fig.2-3 The nonlinear backlash function of gear pair按照国标GB10095-88的规定，侧隙定义为: 装配好的齿轮副，当一个齿轮固定时，另一个齿轮的圆周晃动量，以分度圆上的弧长计算14。侧隙可以用沿节圆啮合或啮合线测得的线值来表示，也可以用在齿轮中心测得的角度值来表示。在齿轮动力学的模型中，由于是基于啮合线上的运动来分析，本文所说的侧隙都是指在啮合线上度量的侧隙,齿侧间隙为。 (2-7)式中：考虑齿侧间隙时轮齿的综合变形。 2.2 间隙非线性函数的多项式拟合实际上为了计算方便，可以将间隙非线性描述函数进行多项式拟合。拟合多项式的次数越高，

8、则拟合精度也随之提高。多项式拟合曲线与理论间隙非线性描述函数的对比如图2-4所示。可以看出，当多项式的次数为3时，已经足够刻划间隙非线性描述函数的总体变化趋势了。当多项式的次数大于7次以后，拟合精度的提高并不显著。图2-4 间隙非线性描述函数的7次多项式拟合结果Fig.2-4 fitted degree 7 polynomial result of the nonlinear backlash function因此 (2-8)2.3 齿轮系统的刚度激励在齿轮啮合过程中，由于啮合综合刚度的时变性而引起动态激励的现象称为齿轮啮合的刚度动态激励，简称刚度激励。啮合轮齿综合刚度是指在整个啮合区中，参与

9、啮合的各对啮合轮齿刚度的综合效应，它主要与单齿的弹性变性、单对轮齿的综合弹性变形(综合刚度)以及齿轮的重合度有关。单齿的弹性变形是单个轮齿的啮合齿面在载荷作用下的弹性变形，其中包括弯曲变形、剪切变形和接触变形等。对于综合啮合刚度，则应当考虑多对啮合，轮齿综合啮合刚度是多对轮齿的单对齿的综合刚度的叠加b。在齿轮啮合过程中，单、双齿啮合交替出现。在单齿对啮合区，齿轮的啮合综合刚度小，啮合弹性变形大；在双齿啮合区，由于是两对齿同时承受载荷，因此齿轮的啮合综合刚度较大，啮合弹性变形小。在齿轮副连续运转过程中，由于单、双齿对啮合是交替出现的，从而导致轮齿啮合综合刚度周期性变化。由于齿轮传动过程中啮合综合

10、刚度是时变的，刚度激励具有周期性，所以可将齿轮啮合刚度展开成傅立叶级数 (2-9)式(2-9)可以改写成5次谐波的形式，即 (2-10)式中：平均啮合刚度（N/m）；齿轮副的啮合频率，即 (2-11)式中： 、主、被动齿轮的齿数；、主、被动齿轮的转速（rpm）。相位角。 第阶谐波的幅值，本文通过PRO/E建立弧齿锥齿轮的三维图形，并将其装配后导入成IGES格式，在有限元分析软件ANSYS中划分网格，在ANSYS中运行分析，求得齿轮啮合变形曲线和啮合刚度曲线，具体流程如图2-5所示。图2-5 齿轮啮合综合刚度有限元程序框图Fig.2-5 The finite element model prog

11、ram diagram of the meshing stiffness根据式（2-10）把啮合刚度曲线拟合成Fourie级数的形式，经计算该齿轮副的实际刚度和用Fourie级数表示的近似刚度，前五阶近似刚度的各阶谐波参数列入表2-1中： 表2-1齿轮啮合刚度数值（×107）Table 2-1 The numerical value of gear meshing stiffness谐波次数()线性啮合刚度（N/m）幅值相角(rad)018.80340.785410.11673.129321.52316.084730.12147.311240.031610.691650.192420

12、.0621当按7次多项式来拟合齿侧间隙非线性描述函数时，根据式(2-5)，可以得到齿轮系统的动力学方程为 （2-12）2.3 Gear方法求解齿轮系统动力学微分方程概述公式(2-12)是一个非线性时变微分方程组，若直接寻求其解析解是非常困难的。目前在实际工程中所遇到的常微分方程中，也只有极少数是较简单和典型的常微分方程，比如线性常系数微分方程能够用初等方法求得解析解。而对于绝大多数的变系数微分方程的求解则变得非常困难，更不用说式(2-12)所描述的复杂非线性微分方程了。对于复杂的微分方程，多数情况下只能采用数值方法求解。对于微分方程组的求解，最好采用自适应的变步长数值求解方法。因为对于定步长的

13、求解方法来说，如果步长选择不当，会给求解带来以下2个方面的问题，如果步长选择过大，则会使得截断误差过大，导致求解精度降低，甚至有可能出现计算溢出现象；如果步长选择太小，则随着截断误差的减小，又会使舍入误差迅速增加。目前Gear方法是求解复杂非线性微分方程组最有效的通用数值求解方法。与其他数值求解方法相比，Gear算法具有以下4个方面的突出优点：（1） Gear方法是一个自适应变步长的求解方法，即能够自动起步，可以自动地选择步长和相应地变阶；（2） Gear方法尤其适用于求解大型微分方程组，能够应用高阶和高稳定的计算格式；（3） 因预报公式是特殊的Pascal三角矩阵，利用加法运算就可以实现矩阵

14、和向量的乘法运算，可以节省内存，且每前进一个步长求解隐式方程组所需要的计算工作量比较小，从始点积分到终点，Gear方法所需函数值的计算次数比其他大多数变步长方法要少；（4） Gear方法不仅可以求解一般的常微分方程初值问题，而且对刚性常微分方程的数值求解也有很好的效果，因而Gear方法是求解常微分方程初值问题的一个通用算法。为便于分析一般的常微分方程，假设有一初值问题 (2-13)对式(2-12)进行数值微分，即利用最简单的向前差商来近似代替，即可得到求解一般常微分方程初值问题的Euler方法 (2-14)Gear方法则是通过构造更加精确的数值积分公式来提高式(2-14)的求解精度，对于式(2

15、-13)所描述的初值问题，记，设有3组数据如下： (2-15) (2-16) (2-17)则Gear方法利用式(2-15)和(2-16)中的结点值构造的次Lagrange插值多项式，设在区间上有阶连续导数，记余项为，则有 (2-18)将式(2-18)代入式(2-13)中，两边同乘，并取，则有 (2-19)舍去余项，并用代替，得到计算格式 (2-20)式中 为了便于计算，可将式(2-20)改写为 (2-21)式中 式(2-21)即为著名的步Gear方法的迭代格式。2.4 齿轮系统力学方程的数值计算由于前面所建立的描述齿轮系统振动的微分方程式(2-12)是一无量纲化的数学表达式，即式(2-12)不

16、依赖于具体的物理量纲，只具有数学形式上的特点，因此在研究齿轮系统动力学特性时分析式(2-12)更具有广泛性和代表性。计算时两齿轮参数分别为：, , , , , , , , , , , , , , , , , , , 2.4.1 系统的基本性质计算得到主从动齿轮沿各坐标轴方向上和沿啮合线方向上的振动位移的仿真结果见图2-6图2-11，图2-6、图2-8中编号(a)、(b)、(c)、(d) 、(e)、(f)分别为与,与,与的时间历程图、相平面图、Poincaré映射图和FFT频谱图，图2-7、图2-9中编号(a)、(b)、(c)、(d) 、(e)、(f)分别为、六个无量纲位移与时间的变化

17、关系图。 a) b) c) d) e) f)图2-6 频率为0.8时的与,与,与,相图, Poincare截面图, Fourier频谱图Fig.2-6 /,/,/, phase plane plot,Poincaré & frequency response a) b) c) d) e) f)图2-7 、与时间的变化关系图Fig.2-7/,/,/, phase plane plot,Poincaré & frequency response a) b) c) d) e) f)图2-8 频率为0.25时的与,与,与,相图, Poincare截面图, Fouri

18、er频谱图Fig.2-8 /,/,/, phase plane plot,Poincaré & frequency response a) b) c) d) e) f)图2-9 、与时间的变化关系图Fig.2-9 /,/,/, phase plane plot,Poincaré & frequency response a) b) e) f)图2-10 频率为0.15时的与,与,与,相图Fig.2-10 /,/,/, phase plane plot a) b) e) f)图2-11 频率为0.15时的与,与,与,相图Fig.2-11 /,/,/, phas

19、e plane plot 2.4.2 系统的基本性质工作转速与响应幅值之间的关系当两齿轮参数为：模数1mm，螺旋角35°，齿数92和37，齿宽10mm时，则该齿轮副系统工作转速与响应幅值之间的关系曲线如图2-12所示。从图中可以看出在工作转速接近主共振频率（3200r/min）时其响应幅值最大 。图2-12 工作转速与响应幅值之间的关系Fig.2-12 The relation of working rotation speed and response amplitude2.5 本章小结1 本章首先在齿轮副单自由度非线性动力学模型的基础上，用集中参数法建立了弧齿锥齿轮的8自由度非线

20、性动力学模型，模型中综合考虑了齿轮副的齿侧间隙、时变啮合刚度和齿轮副传动误差。通过引入传动误差，将两个扭转方向上振动位移变换为在一个沿啮合线方向上的振动位移，把8自由度非线性动力学模型缩减为7自由度非线性动力学模型，并推导了该7自由度非线性动力学模型的微分方程和无量纲统一微分方程。2 分析了齿轮系统的刚度激励原因，并将刚度激励展开成5次谐波的形式，并给出了描述间隙非线性函数的拟合多项式。 3 讨论了利用Gear数值积分方法对推导出的弧齿锥齿轮的无量纲统一微分方程的求解，并分析了对非线性系统的动态响应常采用的分析方法：动态响应时间历程、相平面图、Poincaré映射图和FFT频谱图,

21、给出了工作转速与响应幅值之间的关系曲线。1 李绍彬. 高速重载齿轮传动热弹变形及非线性耦合动力学研究.重庆大学博士论文. 2003, 37392 Gosselin C, Cloutier L, Nguyen Q D. Ageneral Formulation for the calculation of the load sharing and transmission error under load of spiral bevel and hypoid gears. Mech. Mach. Theory, 1995,30(3): 4334503 Theodossiades S, Natsi

22、avas S. Nonlinear dynamics of gear pair system with periodic stiffness and blacklash. Journal of Sound and Vibration, 2000,229(2):2873104 Kahraman A, Blankenship G W. Experiments on non-linear dynamic behavior of an oscillator with clearance and periodically time-varying parameters. Journal of Applied Mechanics, 1997,64:2172265 郭伟超. 某航空发动机中心轴弧齿锥齿轮传动系统的动力学特性研究