三、频率与概率

1、三三 、 频频 率率 与与 概概 率率1） 频率的定义和性质频率的定义和性质 定义定义: 在相同的条件下，进行了在相同的条件下，进行了n 次试验，次试验， 在这在这 n 次试验中，事件次试验中，事件 A 发生的次数发生的次数 nA 称为称为 事件事件 A 发生的频数。比值发生的频数。比值 n A / n 称为事件称为事件 A 发生的频率，并记成发生的频率，并记成 fn(A) 。第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念（第二讲）（第二讲）1 随机事件的概率退 出前一页后一页目 录)()()()(2121AfnAfnAfnAAAfkkn ;1)(2 Sfn则则是是两两两两互互不不相相容容事事

2、件件，若若kAAA,321第一章 概率论的基本概念 它具有下述性质它具有下述性质:;1)(01 Afn1 随机事件的概率退 出前一页后一页目 录2 ） 频率的稳定性频率的稳定性 实实 验验 者者 德德摩根摩根 蒲蒲 丰丰K 皮尔逊皮尔逊K 皮尔逊皮尔逊 n nH fn(H) 2048 40401200024000 1061 2048 6019120120.51810.50960.50160.5005第一章 概率论的基本概念1 随机事件的概率退 出前一页后一页目 录频频 率率 稳稳 定定 值值 概率概率 事件发生事件发生的频繁程度的频繁程度事件发生事件发生的可能性的大小的可能性的大小频率的性质频

3、率的性质概率的公理化定义概率的公理化定义第一章 概率论的基本概念1 随机事件的概率退 出前一页后一页目 录3） 概率的定义概率的定义定义定义 设设 E 是随机试验，是随机试验，S 是它的样本空间，对于是它的样本空间，对于 E 的每一个事件的每一个事件 A 赋予一个实数，记为赋予一个实数，记为 P(A), 称为事件称为事件 A 的概率，要求集合函数的概率，要求集合函数 P( . ) 满足满足下列条件下列条件： ;1)(20 SP;)(010AP )()()(2121APAPAAP则则是是两两两两互互不不相相容容事事件件若若,3201AA第一章 概率论的基本概念1 随机事件的概率退 出前一页后一页

4、目 录4 ） 概率的性质与推广概率的性质与推广;0)(1 P性质性质则则是是两两两两互互不不相相容容事事件件若若性性质质,221AAAn)()()()(2121APAPAPAAAPnn )()()()()(3APBPAPBPABPBA 性质性质SAB第一章 概率论的基本概念)(ABAB 1 随机事件的概率 退 出前一页后一页目 录;)(1)(5APAP 性质性质;1)(4 AP性质性质。性性质质)()()()(6ABPBPAPBAP SABSAAB 第一章 概率论的基本概念)(ABBABA 1 随机事件的概率退 出前一页后一页目 录)()()()()()()()(7ABCPBCPACPABPC

5、PBPAPCBAP 性性质质)()()(8ABPBPABP 性性质质SBA第一章 概率论的基本概念1 随机事件的概率ABBAB 退 出前一页后一页目 录性质性质 9有有个事件个事件对任意对任意,21nAAAn第一章 概率论的基本概念 niiAP1 niiAP1 njijiAAP1 nkjikjiAAAP1 nnAAAP2111 1 随机事件的概率要求：熟练掌握概率的性质。要求：熟练掌握概率的性质。退 出前一页后一页目 录第一章 概率论的基本概念1）加法原理：）加法原理：完成某件事有两类方法，第一类有完成某件事有两类方法，第一类有n种，第二类有种，第二类有m种，则完成这件事共有种，则完成这件事共

6、有n+m种方法。种方法。3） 排列：排列：(1)有重复排列有重复排列:在有放回选取中，从在有放回选取中，从n个不同元素中取个不同元素中取r个元素进行排列，称为有重复排列，其总数为个元素进行排列，称为有重复排列，其总数为 。rn四、排列组合公式四、排列组合公式2）乘法原理：）乘法原理：完成某件事有两个步骤，第一步有完成某件事有两个步骤，第一步有n种方法，第二步有种方法，第二步有m种方法，则完成这件事共有种方法，则完成这件事共有nm种方法。种方法。1 随机事件的概率退 出前一页后一页目 录第一章 概率论的基本概念 4）组合：）组合：（1）从）从 n 个不同元素中取个不同元素中取 r 个元素组成一组

7、，不考个元素组成一组，不考虑其顺序，称为组合，其总数为虑其顺序，称为组合，其总数为 （2）选排列：在无放回选取中，从）选排列：在无放回选取中，从 n 个不同元素中个不同元素中取取 r 个元素进行排列，称为选排列，其总数为个元素进行排列，称为选排列，其总数为 )1()1( rnnnPrn)!( !)1()1(rnrnrrnnnrnCrn 1 随机事件的概率说明说明 ：如果把如果把 n 个不同元素分成两组，一组个不同元素分成两组，一组r个，个，另一组另一组n-r个，组内元素不考虑顺序，那么不同个，组内元素不考虑顺序，那么不同分法有分法有 种。种。)!( !rnrn 退 出前一页后一页目 录第一章

8、概率论的基本概念（2）多组组合：把）多组组合：把n个不同元素分成个不同元素分成k组组 ,使第使第 组有组有 个元素，个元素， ，若组内元素不考，若组内元素不考虑顺序，那么不同分法有虑顺序，那么不同分法有 种。种。)1(nk iinnnkii 1!1knnn（3）常用组合公式：）常用组合公式：.2,0011nniinkiikminkmnknknknknnknCCCCCCCCC 1 随机事件的概率说明：说明：熟练运用排列组合公式对求概率问题是很重要的熟练运用排列组合公式对求概率问题是很重要的退 出前一页后一页目 录2 等可能概型等可能概型等可能概型（古典概型）第一章 概率论的基本概念退 出前一页后

9、一页目 录 生活中有这样一类试验，它们的共同特点是：生活中有这样一类试验，它们的共同特点是： 样本空间的元素只有有限个；样本空间的元素只有有限个； 每个基本事件发生的可能性相同。每个基本事件发生的可能性相同。 一、一、 等可能概型（古典概型）等可能概型（古典概型） 我们把这类实验称为我们把这类实验称为等可能概型等可能概型，考虑到它在概，考虑到它在概 率论早期发展中的重要地位，又把它叫做率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型古典概型。第一章 概率论的基本概念2等可能概型等可能概型退 出前一页后一页目 录设设 S =e1, e2, en , 由古典概型的等可能性，得由古典概型的等可能性，得.

10、21ne=PePeP又由于基本事件两两互不相容；所以又由于基本事件两两互不相容；所以,121nePePePSP .,2,1,1ninePi 第一章 概率论的基本概念2等可能概型等可能概型退 出前一页后一页目 录若事件若事件 A 包含包含 k 个基本事件，即个基本事件，即 A =e1, e2, ek , 则有则有 ： .)(中中基基本本事事件件总总数数包包含含的的基基本本事事件件数数SAnkAP 第一章 概率论的基本概念2等可能概型等可能概型退 出前一页后一页目 录 例例 1 把一套把一套4卷本的书随机地摆放在书架上，问：卷本的书随机地摆放在书架上，问： 恰好排成序（从左至右或从右至左）的概率是

11、多少？恰好排成序（从左至右或从右至左）的概率是多少？ 解：解：第一章 概率论的基本概念2等可能概型等可能概型将书随机地摆放在书架上，每一种放法就是一将书随机地摆放在书架上，每一种放法就是一个基本事件，共有放法个基本事件，共有放法4！种。！种。把书恰好排成序有两种放法。把书恰好排成序有两种放法。所以，所求概率为所以，所求概率为0833. 0! 42 p退 出前一页后一页目 录 例例 2 将将 n 只球随机的放入只球随机的放入 N (N n) 个盒子中去，个盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限）。设盒子的容量不限）。,种种放放法法nNNNN 解：解：

12、 将将 n 只球放入只球放入 N 个盒子中去个盒子中去, 共有共有而每个盒子中至多放一只球而每个盒子中至多放一只球, 共有共有,)1() 1(种种放放法法nNPnNNN .)1()1(nnNnNPNnNNNp 故故第一章 概率论的基本概念思考：思考：某指定的某指定的n 个个盒子中各有一球的概率。盒子中各有一球的概率。2等可能概型等可能概型退 出前一页后一页目 录 此例可以作为许多问题的数学模型，比如用此公式可此例可以作为许多问题的数学模型，比如用此公式可以得出：以得出： “在一个有在一个有64人的班级里，至少有两人生日相同人的班级里，至少有两人生日相同”的的概率为概率为 99.7%。np20

13、23 30 40 50 64 1000.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997 经计算可得下述结果：经计算可得下述结果：第一章 概率论的基本概念等可能概型2等可能概型等可能概型退 出前一页后一页目 录例例3 同时掷同时掷 5 颗骰子，试求下列事件的概率：颗骰子，试求下列事件的概率： A = 5 颗骰子不同点颗骰子不同点 ； B = 5 颗骰子恰有颗骰子恰有 2 颗同点颗同点 ； C = 5 颗骰子中有颗骰子中有 2 颗同点，另外颗同点，另外 3 颗颗 同是另一个点数同是另一个点数；4630. 0 5635625PCBP 所所以以所所含含样样本本点

14、点数数为为事事件件 B AP所所以以个个共共有有颗颗骰骰子子，所所有有可可能能结结果果同同时时掷掷565第一章 概率论的基本概念2等可能概型等可能概型解：解：5656P ，35625PC 退 出前一页后一页目 录03858. 0 562625PCCP 所所以以，所所含含样样本本点点数数为为事事件件 C第一章 概率论的基本概念等可能概型2等可能概型等可能概型，2625PC 退 出前一页后一页目 录 例例4 设有设有 N 件产品，其中有件产品，其中有 M 件次品，今从中任件次品，今从中任取取 n 件，问其中恰有件，问其中恰有 k ( k D ) 件次品件次品的概率是多少的概率是多少?种，种，nNC

15、又又 在在 M 件次品中取件次品中取 k 件，所有可能的取法有件，所有可能的取法有 种，种，knMNC 在在 N-M 件正品中取件正品中取 n-k 件件, 所有可能的取法有所有可能的取法有种种，kMC 解：解：在在 N 件产品中抽取件产品中抽取 n 件，取法共有件，取法共有不放回抽样不放回抽样1）第一章 概率论的基本概念等可能概型2等可能概型等可能概型退 出前一页后一页目 录于是所求的概率为：于是所求的概率为：nNknMNkMCCCp 此式即为此式即为超几何分布超几何分布的概率公式。的概率公式。由乘法原理知：在由乘法原理知：在 N 件产品件产品 中取中取 n 件，其中恰有件，其中恰有 k件次品

16、的取法共有件次品的取法共有 种种，knMNkMCC 第一章 概率论的基本概念等可能概型2等可能概型等可能概型退 出前一页后一页目 录2） 有放回抽样有放回抽样而在而在 N 件产品件产品 中取中取 n 件，其中恰有件，其中恰有 k 件次品的件次品的取法共有取法共有 于是所求的概率为：于是所求的概率为：knkknMNMC )(从从 N 件产品中有放回地抽取件产品中有放回地抽取n 件产品进行排列，件产品进行排列，可能的排列数为可能的排列数为 个，将每一排列看作基本事个，将每一排列看作基本事件，总数为件，总数为 。nNnNknkknnknkknNMNMCNMNMCP )1()()(此式即为此式即为二项

17、分布二项分布的概率公式。的概率公式。第一章 概率论的基本概念等可能概型2等可能概型等可能概型退 出前一页后一页目 录 例例 5 某厂家称一批数量为某厂家称一批数量为1000件的产品的次品率件的产品的次品率为为5%。现从该批产品中有放回地抽取了。现从该批产品中有放回地抽取了30件，经件，经检验发现有次品检验发现有次品5件，问该厂家是否谎报了次品率？件，问该厂家是否谎报了次品率？解：解：第一章 概率论的基本概念2等可能概型等可能概型 假设这批产品的次品率为假设这批产品的次品率为5%，那么，那么1000件产品件产品中有次品为中有次品为50件。这时有放回地抽取件。这时有放回地抽取30件，次品有件，次品

18、有3件的概率为件的概率为455530)1000501()100050( Cp014. 0 退 出前一页后一页目 录人们在长期的实践中总结得到人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的在一次实验中几乎是不发生的”（称之为称之为实际推实际推断原理断原理）。现在概率很小的事件在一次实验中竟）。现在概率很小的事件在一次实验中竟然发生了，从而推断该厂家谎报了次品率。然发生了，从而推断该厂家谎报了次品率。第一章 概率论的基本概念等可能概型2等可能概型等可能概型退 出前一页后一页目 录例例 6 将将 n个男生和个男生和m个女生个女生(mn) 随机地排成一列随机地排成一

19、列,问：任意两个女生都不相邻的概率是多少？问：任意两个女生都不相邻的概率是多少？ 解：解：第一章 概率论的基本概念2等可能概型等可能概型任意两个女生都不相邻时，任意两个女生都不相邻时， 首先首先n个男生的排法有个男生的排法有n!种，种，每两个相邻男生之间有一个位置可以站女生，还有每两个相邻男生之间有一个位置可以站女生，还有队列两侧各有一个位置可以站女生，这样队列两侧各有一个位置可以站女生，这样m个女生个女生共有共有n+1个位置可以站，个位置可以站，所以，所以，任意两个女生都不相邻这一事件的概率为任意两个女生都不相邻这一事件的概率为)!(!1mnCmnpmn n+m个学生随机地排成一列共有排法个学生随机地排成一列共有排法(n+m)!种种!1mCmn 总共排法有总共排法有 种。种。mmnmnCC 1退 出前一页后一页目 录思考题：思考题：如果这如果这n+m个学生不是排成一列，而是排个学生不是排成一列，而是排成一个圆状，首尾相接，这时，成一个圆状，首尾相接，这时，任意两个女生都不任意两个女生都不相邻的概率是多少？相邻的概率是多少？ 第一章 概率论的基本概念2等可能概型等可能概型)/(1mmnmnCC 退 出前一