第二十六章 二次函数

1、第二十六章 二次函数本章小结小结1 本章概述本章从实际问题的情境入手引出基本概念，引导学生自主探索变量之间的关系及其规律，认识二次函数及其图象的一些基本性质，学习怎样寻找所给问题中隐含的数量关系，掌握其基本的解决方法本章的主要内容有两大部分：一部分是二次函数及其图象的基本性质，另一部分是二次函数模型通过分析实例，尝试着解决实际问题，逐步提高分析问题、解决问题的能力二次函数综合了初中所学的函数知识，它把一元二次方程、三角形等知识综合起来，是初中各种知识的总结二次函数作为一类重要的数学模型，将在解决有关实际问题的过程中发挥重要的作用 小结2 本章学习重难点【本章重点】 通过对实际问题情境的分析，确

2、定二次函数的表达式，体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数的图象，能从图象中认识二次函数的性质；会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 【本章难点】 会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题 【学习本章应注意的问题】 1在学习本章的过程中，不要死记硬背，要运用观察、比较的方法及数形结合思想熟练地画出抛物线的草图，然后结合图象来研究二次函数的性质及不同图象之间的相互关系，由简单的二次函数yax2(a0)开始，总结、归纳其性质，然后逐步扩展，从yax2k，ya(xh)2一直到yax2

3、bxc，最后总结出一般规律，符合从特殊到一般、从易到难的认识规律，降低了学习难度 2在研究抛物线的画法时，要特别注意抛物线的轴对称性，列表时，自变量x的选取应以对称轴为界进行对称选取，要结合图象理解并掌握二次函数的主要特征3有关一元二次方程与一次函数的知识是学习二次函数内容的基础，通过观察、操作、思考、交流、探索，加深对教材的理解，在学习数学的过程中学会与他人交流，同时，在学习本章时，要深刻理解两种思想和两种方法，两种思想指的是函数思想和数形结合思想，两种方法指的是待定系数法和配方法，在学习过程中，对数学思想和方法要认真总结并积累经验小结3 中考透视近几年来，各地的中考试卷中还出现了设计新颖、

4、贴近生活、反映时代特点的阅读理解题、开放性探索题和函数的应用题，尤其是全国各地中考试题中的压轴题，有三分之一以上是这一类题，试题考查的范围既有函数的基础知识、基本技能以及基本的数学方法，还越来越重视对学生灵活运用知识能力、探索能力和动手操作能力的考查，特别是二次函数与一元二次方程、三角形的面积、三角形边角关系、圆的切线以及圆的有关线段组成的综合题，主要考查综合运用数学思想和方法分析问题并解决问题的能力，同时也考查计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和创造能力.知识网络结构图一元二次方程的近似解一元二次不等式的解集二次函数的最大(小)值在实际问题中的应用二次函数的概念二次函数的图象二次函数的应用

5、二次函数开口方向二次函数的性质对称轴顶点坐标增减性专题总结及应用一、知识性专题专题1 二次函数yax2bxc的图象和性质【专题解读】 对二次函数yax2bxc的图象与性质的考查一直是各地中考必考的重要知识点之一，一般以填空题、选择题为主，同时也是综合性解答题的基础，需牢固掌握 例1 二次函数yax2bxc(a0)的图象如图2684所示，则下列结论：a0；c0；b24ac0其中正确的个数是 ( ) A0个 B1个 C2个 D3个 分析 抛物线的开口向下，a0；抛物线与y轴交于正半铀，c0;抛物线与x轴有两个交点，b24ac0故正确故选C 【解题策略】 解此类题时，要注意观察图象的开口方向、与y轴

6、交点的位置以及与x轴交点的个数 例2 若yax2bxc，则由表格中的信息可知y与x之间的函数关系式是 ( )x-101ax21ax2+bx+c83Ayx24x3 Byx23x4Cyx23x3 Dyx24x8分析 由表格中的信息可知，当x1时，ax21，所以a1当x=1时，ax2bxc8，当x0时，ax2bxc3，所以c3，所以1×(1)2b×(1)38，所以b4故选A【解题策略】 本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，解决此题的突破口是x1时，ax21，x0时，ax2bxc3和x1时，ax2bxc8例3 已知二次函数yax2bx1的大致图象如图2685所示，则函数yaxb

7、的图象不经过 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 分析 由图象可知a0，0，则b0，所以yaxb的图象不经过第一象限故选A 【解题策略】 抛物线的开口方向决定了a的符号，b的符号由抛物线的开口方向和对称轴共同决定 例4 已知二次函数yax2bxc(其中a0，b0，c0)，关于这个二次函数的图象有如下说法：图象的开口一定向上；图象的顶点一定在第四象限；图象与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧其中正确的个数为 ( ) A0个 B1个 C2个 D3个 分析 由a0，得抛物线开口向上，由0，得对称轴在y轴左侧，由c0可知抛物线与y轴交于负半轴上，可得其大致图象如图2686所示，因此顶

8、点在第三象限，故正确故选C. 【解题策略】 此题考查了二次函数的开口方向、对称轴、顶点等性质，解题时运用了数形结合思想 例5 若A，B，C为二次函数yx24x5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是 ( ) Ay1y2y3 By2y1y3 Cy3y1y2 Dy1y3y2 分析 因为yx24x5的图象的对称轴为直线x2，所以x=与x的函数值相同，因为抛物线开口向上，所以当时，y2y1y3故选B 【解题策略】 此题考查了抛物线的增减性和对称轴，讨论抛物线的增减性需在对称轴的同侧考虑，因此将x=的函数值转化为x的函数值例6 在平面直角坐标系中，函数yx1与y(x1)2的图象大致是(如图268

9、7所示) ( ) 分析 直线yx1与y轴交于正半轴，抛物线y(x1)2的顶点为(1，0)，且开口向下故选D专题2 抛物线的平移规律【专题解读】 当二次函数的二次项系数a相同时，图象的形状相同，即开口方向、大小相同，只是位置不同，所以它们之间可以进行平行移动，移动时，其一，把解析式yax2bxc化成ya(xh)2k的形式；其二，对称轴左、右变化，即沿x轴左、右平移，此时与k的值无关；顶点上、下变化，即沿y轴上、下平移，此时与h的值无关其口诀是“左加右减，上加下减” 例7 把抛物线y2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是 ( ) Ay2(x1)2 By2(x1)2 Cy2x21 Dy2x21 分析

10、 原抛物线的顶点为(0，0)，向上平移一个单位后，顶点为(0，1)故选C 【解题策略】 解决此题时，可以用“左加右减，上加下减”的口诀来求解，也可以根据顶点坐标的变化来求解 例8 把抛物线yx2bxc向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为yx23x5，则 ( ) Ab3，c7 Bb6，c3 Cb9，c5 Db9，c21 分析 yx23x5变形为y5，即y，将其向左平移3个单位，再向上平移2个单位，可得抛物线y2，即yx23x7，所以b3，c7故选A 【解题策略】 此题运用逆向思维解决了平移问题，即抛物线yx2bxc向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到yx23x5，那么

11、抛物线yx23x5则向左平移3个单位，再向上平移2个单位，可得到抛物线yx2bxc专题3 抛物线的特殊位置与函数关系的应用【专题解读】若抛物线经过原点，则c0，若抛物线的顶点坐标已知，则和的值也被确定等等，这些都体现了由抛物线的特殊位置可以确定系数a，b，c以及与之有关的代数式的值 例9 如图2688所示的抛物线是二次函数yax23axa21的图象，则a的值是 . 分析 因为图象经过原点，所以当x0时，y0，所以a21=0，a±1，因为抛物线开口向下，所以a1.故填1:专题4 求二次函数的最值【专题解读】 在自变量x的取值范围内，函数yax2bxc在顶点处取得最值当a0时，抛物线ya

12、x2bxc开口向上，顶点最低，当x时，y有最小值为；当a0时，抛物线yax2bxc开口向下，顶点最高，当x时，y有最大值为 例10 已知实数x，y满足x22x4y5，则x2y的最大值为 . 分析 x22x4y5，4y5x22x，2y(5x22x)，x2y(5x22x)x，整理得x2yx2.当x0时，x2y取得最大值，为故填专题 5 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系【专题解读】 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间有着密切的联系，可以用函数的观点来理解方程的解和不等式的解集已知函数值，求自变量的对应值，就是解方程，已知函数值的范围，求对应的自变量的取值范围，就是解不等式 例11

13、 已知二次函数yax2bx的图象经过点(2，0)，(1，6) (1)求二次函数的解析式； (2)不用列表，画出函数的图象，观察图象，写出当y0时x的取值范围 分析 (1)列出关于a，b的方程组，求a，b的值即可(2)观察图象求出y0的解集解：(1)由题意可知，当x2时，y0，当x1时，y6，则解得 二次函数的解析式为y2x24x(2)图象如图2689所示，由图象可知，当y0时，x0或x2 【解题策略】 求二次函数的解析式，其实质就是先根据题意寻求方程组，并解方程组，从而使问题得到解决二、规律方法专题专题6 二次函数解析式的求法【专题解读】 用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数的解析

14、式一般需要三个独立的条件，根据不同的条件，选择不同的设法 (1)设一般式：yax2bxc(a0) 若已知条件是图象经过三个点，则可设所求的二次函数解析式为yax2bxc，将已知条件代入，即可求出a，b，c的值 (2)设交点式：ya(xx1)(xx2)(a0) 若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，则可设所求的二次函数解析式为ya(xx1)(xx2)，将第三点(m，n)的坐标(其中m，n为已知数)代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式 (3)设顶点式：ya(xh)2k(a0) 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，则可设所求的二

15、次函数解析式为ya(xh)2k，将已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式 (4)设对称点式：ya(xx1)(xx2)m(a0) 若已知二次函数图象上的对称点(x1，m)，(x2，m)，则可设所求的二次函数解析式为ya(xx1)(xx2)m(a0)，将已知条件代入，求得待定系数a,m，最后将解析式化为一般式 例12 根据下列条件求函数解析式 (1)已知二次函数的图象经过点(1，6)，(1，2)和(2，3)，求这个二次函数的解析式； (2)已知抛物线的顶点为(1，3)，与y轴的交点为(0，5)，求此抛物线的解析式； (3)已知抛物线与x轴交于A(1，0)，B(1，0)两点，且经过点M

16、(0，1)，求此抛物线的解析式； (4)已知抛物线经过(3，4)，(1，4)和(0，7)三点，求此抛物线的解析式 分析 (1)已知图象上任意三点的坐标，可选用一般式，从而得到关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值，即可得到二次函数的解析式(2)已知抛物线的顶点坐标，应选用顶点式(3)由于A(l，0)，B(1，0)是抛物线与x轴的两个交点，因此应选用交点式(4)显然已知条件是抛物线经过三点，故可用一般式，但由于(3，4)，(1，4)是抛物线上两个对称点，因此选用对称点式更简便 解：(1)设二次函数的解析式为yax2bxc 将(1，6)，(1，2)和(2，3)分别代入， 得解得 所求的二次函数

17、的解析式为yx22x5 (2)抛物线的顶点为(1，3)， 设其解析式为ya(x1)23，将点(0，5)代入 ，得5a3，a2，所求抛物线的解析式为y2(x1)23 即y2x24x5 (3)点A(1，0)，B(1，0)是抛物线与x轴的两个交点， 设抛物线的解析式为ya(x1)(x1)， 将点M(0，1)代入，得1a，a1， 所求抛物线的解析式为y(x1)(x1)， 即y=x21 (4)抛物线经过(3，4)，(1，4)两点， 设抛物线的解析式为ya(x3)(x1)4， 将点(0，7)代入，得7a·3·(1)4，a1， 所求抛物线的解析式为y(x3)(x1)4， 即yx22x7【

18、解题策略】 (1)求二次函数解析式的4种不同的设法是指根据不同的已知条件寻求最简的求解方法，它们之间是相互联系的，不是孤立的. (2)在选用不同的设法时，应具体问题具体分析，特别是当已知条件不是上述所列举的4种情形时，应灵活地运用不同的方法来求解，以达到事半功倍的效果 (3)求，函数解析式的问题，如果采用交点式、顶点式或对称点式，最后要将解析式化为一般形式 三、思想方法专题专题7 数形结合思想【专题解读】 把问题的数量关系和空间形式结合起来考查，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题来讨论，也可以把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究 例13 二次函数yax2bxc的

19、图象如图2690所示，则点A(a，b)在 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 分析 由图象开口方向向下可知a0，由对称轴的位置可知x0，所以b0，故点A在第二象限故选B【解题策略】 解决此题的关键是观察图象的开口方向以及对称轴的位置专题8 分类讨论思想【专题解读】 分类讨论是对问题的条件逐一进行讨论，从而求得满足题意的结果 例14 已知抛物线yax2bxc与y轴交于点A(0，3)，与x轴交于B(1，0)，C(5，0)两点 (1)求此抛物线的解析式； (2)若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式； (3)若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上某点(设为点E)

20、，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F)，最后运动到点A，求使点P运动的总路径最短的点E，F的坐标，并求出这个最短总路径的长 分析 (1)用待定系数法求a，b，c的值(2)用分类讨论法求直线CD的解析式(3)根据轴对称解决最短路径问题.解：(1)根据题意，得c=3，所以解得所以抛物线的解析式为yx2x3 (2)依题意可知，OA的三等分点分别为(0，1)，(0，2)， 设直线CD的解析式为ykxb， 当点D的坐标为(0，1)时，直线CD的解析式为yx1， 当点D的坐标为(0，2)时，直线CD的解析式为yx2 (3)由题意可知M，如甲2691所示， 点M关于x轴的对称点为M， 点A关于抛物线对称轴

21、x3的对称点为A(6，3)， 连接AM，根据轴对称性及两点间线段最短可知，AM的长就是点P运动的最短总路径的长 所以AM与x轴的交点为所求的E点，与直线x3的交点为所求的F点 可求得直线AM，的解析式为yx 所以E点坐标为(2，0)，F点坐标为，由勾股定理可求出AM 所以点P运动的最短总路径(MEEFFA)的长为【解题策略】 (2)中点D的位置不确定，需要分类讨论，体现了分类讨论的数学思想(3)中的关键是利用轴对称性找到E，F两点的位置，从而求出其坐标，进而解决问题专题9 方程思想【专题解读】 求抛物线与坐标轴的交点坐标时，可转化为二次函数y0或x0，通过解方程解决交点的坐标问题求抛物线与x轴

22、的交点个数问题也可以转化为求一元二次方程根的情况 例15 抛物线yx22x1与x轴交点的个数是 ( ) A0个 B1个 C2个 D3个 分析 可设x22x10，(2)24×1×10，可得抛物线yx22x1与x轴只有一个交点故选B 【解题策略】 抛物线yax2bxc(a0)与x轴交点的个数可由一元二次方程ax2bxco(a0)的根的个数来确定专题10 建模思想【专题解读】 根据实际问题中的数量关系建立二次函数关系式，再用二次函教的性质来解决实际问题 例16 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若以每箱50元的价格销售，平均

23、每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱 (1)求平均每天的销售量y(箱)与销售价x(元箱)之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润W(元)与销售价x(元箱)之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润?最大利润是多少? 分析 (1)原来每箱售价50元，价格每提高1元，平均每天少销售3箱，若提高(x50)元，则平均每天少销售3(x50)箱，所以提价后每天销售903(x50)箱，即y903(x50).(2)每天的销售利润可用(x40)903(x50)来表示(3)建立W和x之间的二次函数关系式，利用二次函数的最值求利润的最值 解：(1)y903(

24、x50)，即y3x240 (2)W(x40)(3x240)3x2360x9600， (3)a30，当x60时，W有最大值， 又当x60时，y随x的增大而增大， 当x55时，W取得最大值为1125元， 即每箱苹果的销售价为55元时，可获得1125元的最大利润 【解题策略】 求实际问题的最值时，可通过建立二次函数关系式，根据二次函数的最值来求解 例17 某公司经销某品牌运动鞋，年销售量为10万双，每双鞋按250元销售，可获利25，设每双鞋的成本价为a元 (1)试求a的值； (2)为了扩大销售量，公司决定拿出一定量的资金做广告，根据市场调查，若每年投入广告费为x(万元)，则产品的年销售量将是原销售量

25、的y倍，且y与x之间的关系如图2692所示，可近似看作是抛物线的一部分 根据图象提供的信息，求y与x之间的函数关系式； 求年利润S(万元)与广告费x(万元)之间的函数关系式，并计算广告费x(万元)在什么范围内时，公司获得的年利润S(万元)随广告费的增多而增多(注：年利润S年销售总额成本费广告费) 解：(1)由题意得a(125)250，解得a200(元)(2)依题意可设y与x之间的函数关系式为yax2bx1，则，解得 y0.01x20.2x1 S(0.01x20.2x1)×10×25010×200x, 即S25x2499x500， 整理得S=25(x9.98)229

26、90.01 当0x998时，公司获得的年利润随广告费的增多而增多 例18 某宾馆有客房100间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房会全部住满当每间客房每天的定价每增加10元时，就会有5间客房空闲(注：宾馆客房是以整间出租的) (1)若某天每间客房的定价增加了20元，则这天宾馆客房收入是 元； (2)设某天每间客房的定价增加了x元，这天宾馆客房收入y元，则y与x的函数关系式是 ； (3)在(2)中，如果某天宾馆客房收入y17600元，试求这天每间客房的价格是多少元 分析 本题是用二次函数解决有关利润最大的问题，由浅入深地设置了三个问题 解：(1)18000 (2)y=x210x18

27、000 (3)当y17600时， x210x400=0， 即x220x8000 解得x20(舍去)或x40 18040220， 所以这天每间客房的价格是220元 例19 （09·泰安）如图2693(1)所示，OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线yxm与x轴交于点E (1)求点E的坐标；(2)求过A，O，E三点的抛物线的解析式解：(1)如图2693(2)所示，过A作AFx轴于F，则OF=OAcos 60°=1，AF=OFtan 60°=， 点A(1，) 代入直线解析式，得×1m，m， y=x. 当y=0时，x=0， 解得x4，点E(4，0) (2)设

28、过A，O，E三点的抛物线的解析式为yax2bxc， 抛物线过原点，c0， 解得抛物线的解析式为yx2x. 例20 如图2694所示，在平面直角坐标系中，OBOA，且OB2OA，点A的坐标是(1，2) (1)求点B的坐标；(2)求过点A，O，B的抛物线的表达式解：(1)如图2695所示，过点A作AFx轴，垂足为点F，过点B作BEx轴，垂足为点E，则AF2，OF1 OAOB， AOFBOE90° 又BOEOBE90°， AOFOBE RtAFORtOEB 2 BE2，OE4 B(4，2) (2)设过点A(1，2)，B(4，2)，O(0，0)的抛物线的表达式为yax2bxc 则解

29、得 所求抛物线的表达式为yx2x.例21如图2696所示，已知抛物线yx2bxc经过A(1，0)，B(0，2)两点，顶点为D (1)求抛物线的解析式； (2)将OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式 解：(1)已知抛物线yx2bxc经过A(1，0)，B(0，2)两点， 解得 所求抛物线的解析式为yx23x2 (2)A(1，0)，B(0，2)，OA1，OB2， 可得旋转后C点的坐标为(3，1)当x3时，由y=x23x2得y2， 可知抛物线yx23x2过点(3，2) 将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C 平移后的

30、抛物线的解析式为yx23x1 例22 如图2697所示，抛物线yax2bx4a经过A(1，0)，C(0，4)两点，与x轴交于另一点B (1)求抛物线的解析式； (2)已知点D(m，m1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标 解：(1)抛物线y=ax2bx4a经过A(1，0)，C(0，4)两点， 解得 抛物线的解析式为yx23x4 (2)如图2698所示，点D(m，m1)在抛物线上，m1m23m4， 即m22m30，m1或m3 点D在第一象限，点D的坐标为(3，4) 由(1)得B点的坐标为(4，0)， OC=OB，CBA45° 设点D关于直线BC的对称点为点E C(0

31、，4)，CDAB，且CD3， ECBDCB45°， E点在y轴上，且CECD3 OE1，E(0，1) 即点D关于直线BC对称的点的坐标为(0，1)2011中考真题精选一、选择题1. （2011内蒙古呼和浩特，8，3）已知一元二次方程x2+bx-3=0的一根为-3，在二次函数y=x2+bx-3的图象上有三点、，y1、y2、y3的大小关系是（）A、y1y2y3 B、y2y1y3 C、y3y1y2 D、y1y3y2考点：二次函数图象上点的坐标特征；一元二次方程的解分析：将x=-3代入x2+bx-3=0中，求b，得出二次函数y=x2+bx-3的解析式，再根据抛物线的对称轴，开口方向确定增减性

32、，比较y1、y2、y3的大小关系解答：解：把x=-3代入x2+bx-3=0中，得9-3b-3=0，解得b=2，二次函数解析式为y=x2+2x-3，抛物线开口向上，对称轴为x=-1，y1y2y3故选A点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，一元二次方程解的意义关键是求二次函数解析式，根据二次函数的对称轴，开口方向判断函数值的大小2. （2011黑龙江牡丹江，18，3分）抛物线y=ax2+bx3过点（2，4），则代数式8a+4b+1的值为（）A、2B、2C、15D、15考点：二次函数图象上点的坐标特征；代数式求值。分析：根据图象上点的性质，将（2，4）代入得出4a+2b=7，即可得出答案解答：

33、解：y=ax2+bx3过点（2，4），4=4a+2b3，4a+2b=7，8a+4b+1=2×7+1=15，故选：C点评：此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征以及代数式求值，根据题意得出4a+2b=7是解决问题的关键二、解答题1. （2011泰州，27，12分）已知二次函数y=x2+bx3的图象经过点P（2，5）（1）求b的值并写出当1x3时y的取值范围；（2）设P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P（m+2，y3）在这个二次函数的图象上，当m=4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边

34、的长，请说明理由考点：二次函数图象上点的坐标特征；三角形三边关系。专题：计算题。分析：（1）把（2，5）代入二次函数y=x2+bx3，求出b，根据图象的对称轴即可得出y的范围；（2）不能，因为代入求出y1=5，y2=12，y3=21，不符合三边关系定理；求出y1+y2y3的值即可解答：（1）解：把（2，5）代入二次函数y=x2+bx3得：5=42b3，b=2，y=x22x3=（x1）24，抛物线的开口方向向上，对称轴是直线x=1，把x=1代入得：y=4，把x=3代入得：y=0，当1x3时y的取值范围是4y0，答：b的值是2，当1x3时y的取值范围是4y0（2）答：当m=4时，y1、y2、y3不

35、能作为同一个三角形三边的长理由是当m=4时，P1（4，y1）、P2（5，y2）、P（6，y3），代入抛物线的解析式得：y1=5，y2=12，y3=21，5+1221，当m=4时，y1、y2、y3不能作为同一个三角形三边的长理由是：（m1）24+（m+11）24（m+21）24=（m2）2，m5，（m2）20，当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长点评：本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能正确根据定理进行计算是解此题的关键一、选择题1. （2011江苏宿迁，8，3）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象

36、如图，则下列结论中正确的是（）A、a0B、当x1时，y随x的增大而增大 C、c0D、3是方程ax2+bx+c=0的一个根考点：抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系。专题：计算题。分析：根据图象可得出a0，c0，对称轴x=1，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；根据抛物线的对称性另一个交点到x=1的距离与1到x=1的距离相等，得出另一个根解答：解：抛物线开口向下，a0，故A选项错误；抛物线与y轴的正半轴相交，c0，故B选项错误；对称轴x=1，当x1时，y随x的增大而减小；故C选项错误；对称轴x=1，另一个根为1+2=3，故D选项正确故选D点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题以及二次函数

37、的图象与系数的关系，是基础知识要熟练掌握2. （2011江苏无锡，9，3分）下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点（0，1）的是（）Ay=（x2）2+1 By=（x+2）2+1 Cy=（x2）23 Dy=（x+2）23考点：二次函数的性质。专题：计算题。分析：采用逐一排除的方法先根据对称轴为直线x=2排除B、D，再将点（0，1）代入A、C两个抛物线解析式检验即可解答：解：抛物线对称轴为直线x=2，可排除B、D，将点（0，1）代入A中，得（x2）2+1=（02）2+1=5，错误，代入C中，得（x2）23=（02）23=1，正确故选C点评：本题考查了二次函数的性质关键是根据对称轴，点的

38、坐标与抛物线解析式的关系，逐一排除3. （2011江苏无锡，10，3分）如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式+x2+10的解集是（）Ax1Bx1 C0x1D1x0考点：二次函数与不等式（组）。专题：数形结合。分析：根据图形双曲线y=与抛物线y=x2+1的交点A的横坐标是1，即可得出关于x的不等式+x2+10的解集解答：解：抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，关于x的不等式+x2+10的解集是1x0故选D点评：本题主要考查了二次函数与不等式解答此题时，利用了图象上的点的坐标特征来解双曲线与二次函数的解析式4. （2011江苏镇江常州，8，2分

39、）已知二次函数yx2x，当自变量x取m时对应的值大于0，当自变量x分别取m1m+1时对应的函数值为y1y2，则y1y2必须满足（）Ay10y20By10y20Cy10y20Dy10y20考点：抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征专题：计算题分析：根据函数的解析式求得函数与x轴的交点坐标，利用自变量x取m时对应的值大于0，确定m1m+1的位置，进而确定函数值为y1y2解答：解：令yx2x=0，解得：x=，当自变量x取m时对应的值大于0，m，m1，m+1，y10y20故选B点评：本题考查了抛物线与x轴的交点和二次函数图象上的点的特征，解题的关键是求得抛物线与横轴的交点坐标5. （2011

40、山西，12，2分）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是（ ）A B方程的两根是 C D 当x > 0时，y随x的增大而减小Ox1 3第12题y考点：二次函数的图象及性质专题：二次函数分析：由二次函数的图象知， ，所以故A错由，知C错由二次函数的图象知当x > 1时，y随x的增大而减小，所以D错，故选B解答：B点评：此题是针对学生的易错点设计的掌握二次函数的图象及性质是解题的关键6.（2011陕西，10，3分）若二次函数的图像过三点，则大小关系正确的是（ ）A B C D考点：二次函数图象上点的坐标特征。专题：函数思想。分析：根据二次函数图象上点的坐标特征，将

41、分别代入二次函数的解析式y=x26x+c求得y1，y2，y3，然后比较它们的大小并作出选择解答：解：根据题意，得y1=1+6+c=7+c，即y1=7+c； y2=412+c=8+c，即y2=8+c； y3=9+2+6186+c=7+c，即y3=7+c；878，7+c7+c8+c，即y1y3y2故选B点评：本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征（图象上的点都在该函数的图象上）解答此题时，还利用了不等式的基本性质：在不等式的两边加上同一个数，不等式仍成立7. 抛物线y=-（x+2）2-3的顶点坐标是（）A、（2，-3） B、（-2，3） C、（2，3） D、（-2，-3）考点：二次函数的性质专题

42、：计算题分析：已知抛物线解析式为顶点式，根据顶点式的坐标特点求顶点坐标解答：解：抛物线y=-（x+2）2-3为抛物线解析式的顶点式，抛物线顶点坐标是（-2，-3）故选D点评：本题考查了二次函数的性质抛物线y=a（x-h）2+k的顶点坐标是（h，k）8. （2011四川广安，10，3分）若二次函数当l时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ） Al B>l Cl Dl考点：二次函数的性质专题：二次函数分析：二次函数的开口向上，其对称轴为直线，顶点坐标为，在对称轴的左侧，当时，随的增大而减小因为当l时，随的增大而减小，所以直线应在对称轴直线的左侧或与对称轴重合，则解答：C点评：解决该题的关键是

43、掌握二次函数的图象与性质，利用性质判断图象的增减规律来进行判断，要注意直线与抛物线的对称轴之间的位置关系，这是解决问题的突破口9.（2011台湾19，4分）坐标平面上，二次函数y=x26x+3的图形与下列哪一个方程式的图形没有交点（）A、x=50B、x=50 C、y=50D、y=50考点：二次函数的性质。专题：计算题。分析：用配方法判断函数y的取值范围，再对x、y的取值范围进行判断解答：解：y=x26x+3=（x3）266，而函数式中，x可取全体实数，二次函数图象与方程y=50无交点故选D点评：本题考查了二次函数的性质关键是运用配方法求y的取值范围10. （2011台湾28，4分）如图为坐标平

44、面上二次函数y=ax2+bx+c的图形，且此图形通（1，1）、（2，1）两点下列关于此二次函数的叙述，何者正确（）A、y的最大值小于0B、当x=0时，y的值大于1C、当x=1时，y的值大于1D、当x=3时，y的值小于0考点：二次函数图象上点的坐标特征。专题：数形结合。分析：根据图象的对称轴的位置在点（1，1）的左边、开口方向、直接回答解答：解：A、由图象知，点（1，1）在图象的对称轴的右边，所以y的最大值大于0；故本选项错误；B、由图象知，当x=0时，y的值就是函数图象与y轴的交点，而图象与y的交点在（1，1）点的右边，故y1；故本选项错误；C、二次函数y=ax2+bx+c的图象经过（1，1）

45、、（2，1）两点，该函数图象的对称轴x=0，ab+c=1；而当x=1时，y=a+b+c1；故本选项错误D、当x=3时，函数图象上的点在点（2，1）的右边，所以y的值小于0；故本选项正确；故选D点评：本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征解答此题时，须熟悉二次函数图象的开口方向、对称轴、与x轴的交点等知识点11. （2011台湾，6，4分）若下列有一图形为二次函数y2x28x6的图形，则此图为（）AB CD考点：二次函数的图象。专题：函数思想。分析：根据二次函数的解析式y2x28x6求得函数图象与y轴的交点及对称轴，并作出选择解答：解：当x0时，y6，及二次函数的图象经过点（0，6）；二次函数

46、的图象的对称轴是：x2，即x2； 综合，符合条件的图象是A；故选A点评：本题考查了二次函数的图象解题时，主要从函数的解析式入手，求得函数图象与y轴的交点及对称轴，然后结合图象作出选择12. （2010重庆，7，4分）已知抛物线yax2bxc(a0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( )O1xy7题图A a>0 B b0 C c0 D abc>0考点：二次函数图象与系数的关系分析：根据抛物线的开口方向判断a的正负；根据对称轴在y轴的右侧，得到a，b异号，可判断b的正负；根据抛物线与y轴的交点为（0，c），判断c的正负；由自变量x=1得到对应的函数值为正，判断a+

47、b+c的正负解答：解：抛物线的开口向下，a0；又抛物线的对称轴在y轴的右侧，a，b异号，b0；又抛物线与y轴的交点在x轴上方，c0，又x=1，对应的函数值在x轴上方，即x=1，y=ax2+bx+c=a+b+c0；所以A，B，C选项都错，D选项正确故选D点评：本题考查了抛物线y=ax2+bx+c（a0）中各系数的作用：a0，开口向上，a0，开口向下；对称轴为x=，a，b同号，对称轴在y轴的左侧；a，b异号，对称轴在y轴的右侧；抛物线与y轴的交点为（0，c），c0，与y轴正半轴相交；c0，与y轴负半轴相交；c=0，过原点13. 已知函数 y=(x-1)2-1(x3)(x-5)2-1(x3)，若使y

48、=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A、0 B、1 C、2 D、3考点：二次函数的图象专题：数形结合分析：首先在坐标系中画出已知函数 y=(x-1)2-1(x3)(x-5)2-1(x3)的图象，利用数形结合的方法即可找到使y=k成立的x值恰好有三个的k值解答：解：函数 y=(x-1)2-1(x3)(x-5)2-1(x3)的图象如图：， 根据图象知道当y=3时，对应成立的x有恰好有三个， k=3 故选D点评：此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题14. （2011河池）把二次函数y=x2的图象沿着x轴向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到的函数图象的解析式为（）A、y=（x+2）2+3B、y=（x2）2+3C、y=（x+2）23D、y=（x2）23考点：二次函数图象与几何变换。专题：动点型