基本群的研究

1、目 录1引言12基本群的相关概念与定理12.1 定义12.2 定理与命题23同伦与基本群33.1 映射的同伦33.2 构造基本群64基本群的计算124.1 的基本群124.2 时，单连通164.3 的基本群174.4 连通图的基本群184.5 van-Kampn定理185结论216结束语21参考文献22致谢23基本群的研究摘 要:基本群是代数拓扑学的基本概念，由它可以决定一些拓扑空间的拓扑结构，然而基本群的计算比较困难。本文详细介绍了拓扑空间的基本群的构造，以及与之相关的命题、定理等，如拓扑空间的直积、Van-Kampen定理等。在此基础上介绍了基本群在拓扑学中的一些应用。关键词：拓扑，同伦，

2、基本群。Fundamental groupAbstract: Fundamental group is one of the basic concepts of the algebraic topology, which can decide the topological structure of some topological space, but the calculation of fundamental group is difficult. This paper introduces the structure of the fundamental group, and intr

3、oduces related theorems,proposition and so on, such as the direct product of topological spaces, van-Kampen theorem and so on. And then, the paper introduces some applications in the topology of the fundamental group. Key words: topology , homotopy, fundamental group.1引言拓扑学是数学中一个重要的、基础性的分支。拓扑学发展到今天，

4、在理论上已经十分明显分成了两个分支。一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫作点集拓扑学。另一个分支是偏重于用代数方法来研究的，叫作代数拓扑学。现在，这两个分支又有统一的趋势。它在泛函分析、微分几何、微分方程等其它许多数学分支中都有广泛的应用。拓扑学主要研究互不同胚的拓扑空间有多少类。在研究过程中，人们引入了各种拓扑不变量，用来区分不同胚的拓扑空间，基本群就是一个重要的拓扑不变量。在研究拓扑空间时它起到了很重要的作用，但是与一个拓扑空间相联系的基本群不太好确定。基本群是代数拓扑最基本的概念之一，是一维同伦群，他是拓扑学中最简单，用途最广的部分。这个概念最早是由庞加莱提出并加以研究。基本群的应用

5、已经渗入到数学的各个分支。著名的庞加莱猜想也和基本群有关。基本群是在道路及其运算(逆和乘积)的基础上建立的，基本群是拓扑不变量，同胚的(道路连通)空间具有同构的基本群，若基本群不同构，则其一定不同胚，可见基本群对于拓扑学有着重要的意义。在本论文中，介绍了拓扑学相关内容，系统地阐述了同伦与基本群的定义以及与之相关的命题、定理等，给出了确定基本群的一些方法，比如Van-Kampen定理以及空间直积等都可以用来确定基本群。最后计算了一些拓扑空间的基本群，并在此基础上相应地介绍了基本群的几点应用。2基本群的相关概念与定理2.1 定义定义1 我们说，一个不空集合对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，

6、假如(1) 对于乘法来说是封闭的；(2) 结合律成立：，对于的任意三个元都对；(3) 里至少存在一个左单位元能让 对于的任何元都成立；(4)对于的每一个元，在里至少存在一个左逆元，能让 .定义2 定义映射，按照法则，由于，可知为同态，我们称为所诱导的同态。 定义3 如果一一对应，并且及其逆都是连续的，则称是一个同胚映射（或称拓扑变换或同胚），当存在时，就称与同胚。定义4 记是包含映射，(即)。定义5 设是上的两条道路，如果，则称与定端同伦。显然它的一个必要条件是与有相同的起终点。定义6 设是从到的一个同伦，则 (1)； (2)； (3). 设是的子空间，连续映射如果满足上述三个条件(1)(2)

7、(3)，就称是到的一个形变收缩。定义7 到的一个形变收缩如果保持中的点不动，即形变收缩定义中的条件(3)改成 ()则称是一个强形变收缩核，称是的强形变收缩核。2.2 定理与命题粘接引理 设是的一个有限闭覆盖，如果映射在每个上的限制都是连续的，则是连续映射。命题 设，并且,则.3 同伦与基本群3.1 映射的同伦定义 同伦：设为连续映射，若存在连续映射,使得, . 对一切成立，则称同伦于,叫作从到的同伦，记作.如果与在的某个子集上相同，形变到的过程中，在上的值始终不变。这个情形，就是要求从到的同伦还满足添加的条件：，对一切，.如果这样的同伦存在，我们就说相对于，同伦于，记作.例1 设为欧氏空间内的

8、凸集，为连续映射，其中是任意拓扑空间。对于的任意点，连结与的线段包含在内，我们可以让沿着这些直线段滑动而定义从到的一个同伦。确切地说，定义为，则，故为一个同伦。注意若与在的某一子集上相同，则这个同伦是一个相对于的同伦。同伦叫作一个直线同伦。例2 设为连续映射，并且对一切，与永不为对径点(即一条直径的两个端点)。取为的单位球面，并且把，看作映入的映射，则有一个从到的直线同伦。 由于与不是对径点，它们的连接线段不通过原点。因此我们可定义为 ，则 ，故这个映射是从到的同伦。 例3 设，使得，则.连结和的一个同伦可构作如下：把看作复平面上的单位圆周，其上点用单位复数表示，令，则，故是一个同伦。直观上看

9、，是把绕原点转角。引理3.1.1 在从到的全体连续映射的集合上，关系“同伦”是一个等价关系。证明 (1)自反性 设, 令，.则(常同伦)。(2)对称性 设，规定，.则 （称为的逆）。(3)传递性 设,规定与的乘积为 当时，所以.引理 在从到，并且在子集上相同的连续映射全体所成的集合上，关系“相对于的子集同伦”是一个等价关系。证明 如果所涉及的映射都在上相同，则前面所定义的同伦都是相对于的同伦。引理 同伦映射的迭合仍然是相互同伦的。证明 (1)设有连续映射若,则（作为从到的映射）。(2)又若给连续映射若对于的子集有，则通过同伦有.3.2 构造基本群所谓空间内的一条闭路是指一个满足的连续映射,并且

10、说闭路是以为基点的。若与是以的同一点为基点的两条闭路，定义乘积为由下列公式给出的闭路公式中是从分成了两个区间，但实际上，可以从处分，对应的公式为设为拓扑空间，选取一点作为基点而考虑内以为基点的闭路全体(相对于的同伦是这个集合的一个等价关系)。我们称这些等价类为同伦类，闭路的同伦类记作.闭路的乘积诱导了同伦类的乘积:.验证 若，则， ，于是有，从而, 这里故有，可见这样的定义是有意义的。定理 内以为基点的闭路同伦类的全体在乘积之下构成一个群。证明 (1)显然此集合对于乘法是封闭的。(2)定义连续映射其中是从到的连续映射。由于是凸集，且，有直线同伦相对于从到恒等映射。按引理有 ， = 所以有，即结

11、合律成立。(3)单位元素由点处常值闭路的同伦类担任，的定义是 ，.定义映射 ,因此，所以.(4)定义同伦类的逆为，这里，定义映射 .由于，于是，其中，.所以，故有.综合(1)(2)(3)(4),集合构成一个群。补充：若(2)中的是从处分的，由公式有从而 又由公式有从而 下求.设.(1)当时，显然有.(2)当时，有(3)当时，有综合(1)(2)(3)有所以有 也就是说，并不是一定要从处分开，只是一般都习惯那样分，而实际上从分也是可以的。定义 定理所构造出的群，叫作基于点的基本群。记作.定理 若为道路连通，则对于任何两点，同构于.补充 假设，是空间内两条道路，且满足，则根据乘积公式可得到一条新道路

12、。由此可验证下列事实。(a)若，则.(b)若为任意三条道路，满足，则有.(c)若定义为，则相对于同伦于在处常值道路。同理，相对于同伦于处常值道路。定理的证明 选取一条道路，以为起点，为终点。(因是道路连通的，故这样一条道路一定存在)。若是一条基于的闭路，则是一条基于的闭路。于是定义 利用上面补充的(a)(b)(c),可验证有意义，且是一个同态，且具有逆同态，因此，是一个同构。定理 对于迭合映射有.精确表达：选定基点， 并且说是迭合同态.特别当为同胚时，可将定理应用于 与，得 很明显，恒等映射所诱导的是恒等同态，因此，是同构。所以同胚的（道路连通）空间具有同构的基本群。4 基本群的计算4.1 的

13、基本群将看作复平面上的单位圆，取作基点。设是基点为的闭路，当从变到时，从出发在上运动，并回到. 规定连续映射为 设是一个拓扑空间，连续，到的连续映射如果满足，即下面的映射图表可交换，则称是的一个提升。 引理4.1.1 如果不满，使得，则存在的提升，使得.证明 由于不满，可取则由于，存在整数，使得（下图）. 规定， 这里是包含映射。于是 可知. 引理 设是上的道路，使得，则存在的唯一提升，使得证明 存在性 取自然数，将分成个小区间：,其中 ，使得不满。由引理，顺次规定的提升，使得由粘接引理，由各个并合成的映射是连续的，它是的提升，并且.唯一性 设都是的提升，作 ,有，因此是整数。但是连续的，连通

14、，因此它一定是常值函数。如，则，从而，即于是.定义 圈数：设是的任一提升，是基点为的闭路，称为的圈数。其中说明 (1)同一道路的两个提升与相差一个常数，因此即，故与提升的选择无关，完全由决定。(2)因与都是整数，所以是整数。引理 设是上基点为的两条闭路，使得，则证明 取和的提升和，使得规定，则是上的连续函数，若，不妨设 则是自然数，从而有,使得，即.于是，与条件矛盾。引理 设是上基点为的闭路，则.证明 设，记是的切片，由于是一致连续的，存在，使得时， 由引理，于是不依赖于，即 作是的提升，使得则因此是上有相同起终点的道路，从而，.定理 是自由循环群。证明 设，规定，得到映射.设.作的提升和，使

15、得，则是的提升。它的起终、点为和，于是 .这说明保持运算，是同态。引理说明是单同态。记为，显然，.对任何正整数，因此又是满同态，从而是同构。于是，是由生成的自由循环群。4.2 时，单连通命题 设是的开集，其中是单连通的，并且非空，道路连通。则有是满同态，这里是包含映射，.推论 若是它的两个单连通开集的并集，并且非空，道路连通，则也单连通。当时，取上两点.记，则是单连通的，是道路连通的。用推论，得出是单连通的。4.3 的基本群定理 设，则（右边“”表示群的直积.）证明 规定，其中和分别是到和的投射。显然是同态。是满同态 ，作中的闭路为，则；同样地.于是.是单同态 设，.于是，.记，.规定为.因

16、可知.（为处的点道路），因此.应用此定理到上，得到 对任何正整数，有.推论 与不同构。证明 基本群是拓扑不变量，而与不同构，因此与不同构。4.4 连通图的基本群例1 试求下图左边图形的基本群。 左边图形与右边图形是同伦的，由推论可得 .例2 试求下图左边图形的基本群。同理可解得.由此可归纳整理得，连通图交点，边数，有同构图形数目，基本群为.4.5 Van-Kampn定理定理4.5.1 如果拓扑空间可分解为两个开集与之并，并且非空，道路连通。则，有，其中是包含映射。定理要求都是开集，在许多情况下不方便，下面给出它的替代形式。定理 如果定理中都改为闭集，并且是它的一个开领域的强形变收缩核，其它条件

17、不变，则结论仍成立。定理的两种特殊情形：(1)是单连通的，这时结论简化为 ；(2) 是单连通的，则，特别当有生成元组时，.例1 圆束的基本群。 设.则是的闭子集，是某个开领域的强形变收缩核(上图)。用特殊情形(1),得到 .记是处沿走一圈的闭路，则 .一般地，在中，记是在各圆交点处沿走一圈的闭路，则 ，是秩为的有限生成自由群。例2 计算闭曲面的基本群。 以Klein瓶为例。矩形按上图所示方式粘接两对邻边，得到的商空间是Klein瓶。设是由的边界粘合成的子集，它是两个圆的圆束，记交点为.取中的一个圆盘，记作.记,则对可用定理的特殊情形(2)，得到 其中(是一圆周），是处沿走一圈的闭路。是的形变收

18、缩核，从而包含映射导出同构.利用例1的结果推出 ，分别是图中所示闭路在中的闭路类。取是中从到的道路类，则同构把映为.于是.用同样办法计算任何闭曲面的基本群，得到 是型， 是型.5结论同胚的空间具有同构的基本群。区别某两个道路连通的拓扑空间，可设法算出他们的基本群，并且检验这两个群是否同构。如果不同构，这两个空间就不能同胚。6结束语通过本次论文写作，使我了解了一些拓扑学中的基本内容，比如同伦、基本群的概念及其相关的命题、定理等，从而学会了一些计算基本群的简单方法。这些内容也是数学领域中的一部分，它的学习也会使我对数学有了一个新的认识，我会在以后的有关学习中很好地运用相关内容。参考文献1 周建伟.代数拓扑讲义M.北京:科学出版社,2007,7.2 曼克勒斯.拓扑学M.北京:机械工业出版社,2004,9. 3 M.A.Armstrong.Basic TopologyM.北京:世界图书出版公司,2008,1. 4 张建华,姜杨.拓扑学的代数工具-基本群J.伊犁师范学院学报,2006,9(3):2729.5 尤承业.基础拓扑学讲义M.北京:北京大学出版社,1980,36 陈吉象.代数拓扑基础讲义M.北京:高等教育出版社,1987,6.致谢在忻