Euler法和改进的Euler法实验报告

1、用Euler法和改进的Euler法求u' =-5u(0wt01), u(0)=1的数值解，步 长h=， ，并比较两个算法的精度。解：1)当步长卜二时编写程序如下所示 clf clear clc%直接求解微分方程y=dsolve( 'Dy=-5*y' , 'y(0)=1' , 't' )%Euler 法h=;t=0:h:1;n=length(t);u=zeros(1,n);u(1)=1;zbu(1,1)=t(1);zbu(2,1)=u(1);for i=2:nf=-5*u(i-1);u(i)=u(i-1)+h*f;zbu(1,i)=t(i)

2、;zbu(2,i)=u(i);endzbu%改进的Euler 法v=zeros(1,n);v0=zeros(1,n);v(1)=1;zbv(1,1)=t(1);zbv(2,1)=v(1);for i=2:nf=-5*v(i-1);v0(i)=v(i-1)+h*f;v(i)=v(i-1)+h/2*(f-5*v0(i);zbv(1,i)=t(i);zbv(2,i)=v(i);endzbvplot(t,u,'r*' , 'markersize',10)hold on,plot(t,v,'r.', 'markersize',20)hold

3、 on, ezplot(y,0,1)hold on,title( 'Euler法和改进的Euler法比较(h=), grid onlegend( 'Euler 法'，'？改进的 Euler 法，解析解')哪单真值 h=;t=0:h:1;n=length(t);for i=1:n%通过第一部分程序直接解得的解析解y(i)=1/exp(5*t(i);zby(1,i)=t(i);zby(2,i)=y(i);endzby我们可以得到计算后的结果图像如图一所示图1 Euler法和改进的Euler法比较（h=）同时，我们得到Euler法，改进的Euler法和解析解的

4、在各点处数值分别如 下所示：为了比较Euler法和改进的Euler法的算法精度，在这里我们利用相对误差 的概念进行评判。对于 Euler法和改进的Euler法的每个的估计值有：|估计值一真值相对俣差='击而L其值从而我们可以通过计算得到如下的相对误差表:t坐标欧拉 0改进欧拉0表2 Euler法和改进的Euler法在各点相对误差比较（h二） 为了评定算法精度，我们对每种算法的在所有点处的相对误差求平均，可以 得到Euler法的平均相对误差为，改进的Euler法的平均相对误差为。由此我们 可以得出改进的欧拉法的算法进度更高。2）当步长卜二时程序编写如下clfclear clc%直接求解微

5、分方程 y=dsolve( 'Dy=-5*y' , 'y(0)=1' , 't' ) %Euler 法h=;t=0:h:1;n=length(t);u=zeros(1,n);u(1)=1;zbu(1,1)=t(1);zbu(2,1)=u(1); for i=2:nf=-5*u(i-1);u(i)=u(i-1)+h*f;zbu(1,i)=t(i);zbu(2,i)=u(i);end zbu %改进的Euler 法v=zeros(1,n); v0=zeros(1,n); v(1)=1;zbv(1,1)=t(1);zbv(2,1)=v(1); for

6、i=2:nf=-5*v(i-1);v0(i)=v(i-1)+h*f;v(i)=v(i-1)+h/2*(f-5*v0(i);zbv(1,i)=t(i); zbv(2,i)=v(i);end zbvplot(t,u,'r*' , 'markersize',10)hold on,plot(t,v,'r.', 'markersize',20)hold on, ezplot(y,0,1) hold on,title( 'Euler 法和改进的Euler 法比较(h=) ),grid onlegend( 'Euler 法 &#

7、39; , '? 改进的 Euler 法 ' , ' 解析解 ' )哪单真值h=； t=0:h:1; n=length(t);for i=1:ny(i)=1/exp(5*t(i);%通过第一部分程序直接解得的解析解zby(1,i)=t(i);zby(2,i)=y(i);endzby图1 Euler法和改进的Euler法比较（h=）同时，我们得到Euler法，改进的Euler法和解析解的在各点处数值分别如下所示:t坐标改进欧拉t坐标改进欧拉表1 Euler法和改进的Euler法在各点数值比较（h二） 此时，求出两种算法的相对误差的平均值分别为：Euler法 改进的Euler法由此可见改进的Euler法的算法精度高于Euler法。由以上的分析我们可以得出如下结论：1 . Euler法和改进的Euler法相比较，改进的Euler法的计算精度更高，相对 误差也比较小。因此在求解微分方程的数值解时，改进的Euler法优于Euler2 .在上述两种方法中当步长h越小则计算精度越高，相对误差较小。因此，计 算能力允许的范围内，选取