复变函数与积分变换复旦大学修订版全部习题答案

1、复变函数与积分变换 （修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社） 课后习题答案 习题一1. 用复数的代数形式a+ib表示下列复数.解解： 解： 解： 2.求下列各复数的实部和虚部(z=x+iy)R); ：设z=x+iy则,解：设z=x+iy,解：,解：,解：当时，；当时，3.求下列复数的模和共轭复数解：解：解：解：4、证明：当且仅当时，z才是实数证明：若，设，则有，从而有，即y=0z=x为实数若z=x，x，则命题成立5、设z,w，证明： 证明6、设z,w，证明下列不等式并给出最后一个等式的几何解释证明：在上面第五题的证明已经证明了下面证 从而得证几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的

2、和7.将下列复数表示为指数形式或三角形式解：其中解：其中解：解：.解：解：8.计算：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；(3) 的平方根.i的三次根解：-1的三次根解：的平方根解：9.设. 证明：证明：，即又n2 z1从而11.设是圆周令,其中.求出在a切于圆周的关于的充分必要条件.解：如图所示因为=z: =0表示通过点a且方向与b同向的直线，要使得直线在a处与圆相切，则CA过C作直线平行，则有BCD=，ACB=90故-=90所以在处切于圆周T的关于的充要条件是-=9012.指出下列各式中点z所确定的平面图形，并作出草图.解：(1)、argz=表示负实轴(2)、|z-1|=|z|表示直线z=

3、(3)、1|z+i|Imz解：表示直线y=x的右下半平面5、Imz1，且|z|2解：表示圆盘内的一弓形域。习题二1. 求映射下圆周的像.解：设则 因为,所以所以 , 所以即，表示椭圆.2. 在映射下，下列z平面上的图形映射为w平面上的什么图形，设或. （1）； （2）; (3) x=a, y=b.(a, b为实数)解：设所以(1) 记，则映射成w平面内虚轴上从O到4i的一段，即(2) 记，则映成了w平面上扇形域，即(3) 记，则将直线x=a映成了即是以原点为焦点，张口向左的抛物线将y=b映成了 即是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示.3. 求下列极限. (1) ;解：令,则.于是.(2) ;

4、解：设z=x+yi，则有显然当取不同的值时f(z)的极限不同所以极限不存在.（3） ；解：=.（4） .解：因为所以.4. 讨论下列函数的连续性：(1) 解：因为,若令y=kx,则,因为当k取不同值时，f(z)的取值不同，所以f(z)在z=0处极限不存在.从而f(z)在z=0处不连续，除z=0外连续.(2) 解：因为,所以所以f(z)在整个z平面连续.5. 下列函数在何处求导？并求其导数.(1) (n为正整数)；解：因为n为正整数，所以f(z)在整个z平面上可导.(2) .解：因为f(z)为有理函数，所以f(z)在处不可导.从而f(z)除外可导.(3) .解：f(z)除外处处可导，且.(4)

5、.解：因为.所以f(z)除z=0外处处可导，且.6. 试判断下列函数的可导性与解析性.(1) ;解：在全平面上可微.所以要使得， , 只有当z=0时,从而f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.(2) .解：在全平面上可微.只有当z=0时,即(0,0)处有,.所以f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.(3) ;解：在全平面上可微.所以只有当时，才满足C-R方程.从而f(z)在处可导，在全平面不解析.(4) .解：设，则所以只有当z=0时才满足C-R方程.从而f(z)在z=0处可导，处处不解析.7. 证明区域D内满足下列条件之一的解析函数必为常数.(1) ;证明：因为，所以,.所以u,v为

6、常数，于是f(z)为常数.(2) 解析.证明：设在D内解析,则而f(z)为解析函数，所以所以即从而v为常数，u为常数，即f(z)为常数.(3) Ref(z)=常数.证明：因为Ref(z)为常数，即u=C1, 因为f(z)解析，C-R条件成立。故即u=C2从而f(z)为常数.(4) Imf(z)=常数.证明：与（3）类似，由v=C1得因为f(z)解析，由C-R方程得,即u=C2所以f(z)为常数.5. |f(z)|=常数.证明：因为|f(z)|=C，对C进行讨论.若C=0，则u=0,v=0,f(z)=0为常数.若C0，则f(z) 0,但，即u2+v2=C2则两边对x,y分别求偏导数，有利用C-R

7、条件，由于f(z)在D内解析，有所以 所以即u=C1,v=C2,于是f(z)为常数.(6) argf(z)=常数.证明：argf(z)=常数，即,于是得 C-R条件 解得，即u,v为常数，于是f(z)为常数.8. 设f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在z平面上解析，求m,n,l的值.解：因为f(z)解析，从而满足C-R条件.所以.9. 试证下列函数在z平面上解析，并求其导数.(1) f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i证明：u(x,y)=x3-3xy2, v(x,y)=3x2y-y3在全平面可微,且所以f(z)在全平面上满足C-R方程，处处可导，处处解析.(2) .证明：

8、处处可微，且所以, 所以f(z)处处可导，处处解析.10. 设求证：(1) f(z)在z=0处连续(2)f(z)在z=0处满足柯西黎曼方程(3)f(0)不存在证明.(1)而同理f(z)在z=0处连续(2)考察极限当z沿虚轴趋向于零时，z=iy，有当z沿实轴趋向于零时，z=x，有它们分别为满足C-R条件(3)当z沿y=x趋向于零时，有不存在即f(z)在z=0处不可导11. 设区域D位于上半平面，D1是D关于x轴的对称区域，若f(z)在区域D内解析，求证在区域D1内解析证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，因为f(z)在区域D内解析所以u(x,y),v(x,y)在D内可微且满足C-R方程

9、，即，得故(x,y),(x,y)在D1内可微且满足C-R条件从而在D1内解析13. 计算下列各值(1) e2+i=e2ei=e2(cos1+isin1)(2)(3)(4)14. 设z沿通过原点的放射线趋于点，试讨论f(z)=z+ez的极限解：令z=rei，对于，z时，r故所以 15. 计算下列各值(1)(2)(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i(4)16. 试讨论函数f(z)=|z|+lnz的连续性与可导性解：显然g(z)=|z|在复平面上连续，lnz除负实轴及原点外处处连续设z=x+iy，在复平面内可微故g(z)=|z|在复平面上处处不可导从而f(x)=|z|+lnz

10、在复平面上处处不可导f(z)在复平面除原点及负实轴外处处连续17. 计算下列各值(1) (2)(3)18. 计算下列各值(1)(2)(3)(4) (5)(6)19. 求解下列方程(1) sinz=2解：(2)解：即(3)解：即(4)解：20. 若z=x+iy，求证(1) sinz=sinxchy+icosxshy证明：(2)cosz=cosxchy-isinxshy证明：(3)|sinz|2=sin2x+sh2y证明：(4)|cosz|2=cos2x+sh2y证明：21. 证明当y时，|sin(x+iy)|和|cos(x+iy)|都趋于无穷大证明：而当y+时，e-y0，ey+有|sinz|当y

11、-时，e-y+，ey0有|sinz|同理得所以当y时有|cosz|习题三1. 计算积分,其中C为从原点到点1+i的直线段.解 设直线段的方程为,则. 故 2. 计算积分，其中积分路径C为(1) 从点0到点1+i的直线段;(2) 沿抛物线y=x2，从点0到点1+i的弧段.解 (1)设. (2)设. 3. 计算积分，其中积分路径C为(1) 从点-i到点i的直线段;(2) 沿单位圆周|z|=1的左半圆周，从点-i到点i;(3) 沿单位圆周|z|=1的右半圆周，从点-i到点i.解 (1)设. (2)设. 从到(3) 设. 从到6. 计算积分,其中为.解 在所围的区域内解析从而故7. 计算积分,其中积分

12、路径为（1） （2） （3） （4）解：（1）在所围的区域内，只有一个奇点.（2）在所围的区域内包含三个奇点.故（3）在所围的区域内包含一个奇点,故（4）在所围的区域内包含两个奇点,故10.利用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分. (1) (2) (3) (4) (5) (6) 解 (1)(2)(3) (4) (5) (6) 11. 计算积分,其中为(1) (2) (3) 解 (1) (2) (3) 16. 求下列积分的值,其中积分路径C均为|z|=1. (1) (2) (3) 解 (1) (2)(3) 17. 计算积分,其中积分路径为(1)中心位于点,半径为的正向圆周(2) 中心位于点,半径为的

13、正向圆周解：(1) 内包含了奇点(2) 内包含了奇点,19. 验证下列函数为调和函数.解(1) 设, 从而有,满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.(2) 设, 从而有,满足拉普拉斯方程,从而是调和函数. ,满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.20.证明:函数,都是调和函数,但不是解析函数证明: ,从而是调和函数. ,从而是调和函数.但 不满足C-R方程,从而不是解析函数.22.由下列各已知调和函数,求解析函数(1) (2)解 (1)因为 所以 令y=0,上式变为从而(2) 用线积分法，取（x0,y0）为(1,0)，有由，得C=023.设,其中各不相同，闭路C不通过,证明积分等于位于C内的p(z)的

14、零点的个数.证明: 不妨设闭路C内的零点的个数为k, 其零点分别为24.试证明下述定理(无界区域的柯西积分公式): 设f(z)在闭路C及其外部区域D内解析，且，则其中G为C所围内部区域.证明：在D内任取一点Z，并取充分大的R，作圆CR: ，将C与Z包含在内则f(z)在以C及为边界的区域内解析，依柯西积分公式，有因为 在上解析，且所以，当Z在C外部时，有即设Z在C内，则f(z)=0，即故有：习题四1. 复级数与都发散,则级数和发散.这个命题是否成立?为什么?答.不一定反例: 发散但收敛发散收敛.2.下列复数项级数是否收敛,是绝对收敛还是条件收敛?(1) (2) (3) (4) (5) 解 (1)

15、 因为发散,所以发散(2)发散 又因为所以发散(3) 发散,又因为收敛,所以不绝对收敛.(4) 因为所以级数不绝对收敛.又因为当n=2k时, 级数化为收敛当n=2k+1时, 级数化为也收敛所以原级数条件收敛(5) 其中 发散,收敛所以原级数发散.3.证明:若,且和收敛,则级数绝对收敛.证明:设因为和收敛所以收敛又因为,所以且当n充分大时, 所以收敛而收敛，收敛所以收敛，从而级数绝对收敛.4.讨论级数的敛散性解 因为部分和，所以，不存在.当而时（即），cosn和sinn都没有极限,所以也不收敛.故当和时, 收敛.5.幂级数能否在z=0处收敛而在z=3处发散.解： 设，则当时，级数收敛，时发散.若

16、在z=0处收敛,则若在z=3处发散, 则显然矛盾,所以幂级数不能在z=0处收敛而在z=3处发散6.下列说法是否正确?为什么?(1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛.(2) 每一个幂级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点.答: (1) 不正确,因为幂级数在它的收敛圆周上可能收敛,也可能发散.(2) 不正确,因为收敛的幂级数的和函数在收敛圆周内是解析的.7.若的收敛半径为R,求的收敛半径。解： 因为所以 8.证明：若幂级数的 系数满足，则(1)当时, (2) 当时, (3) 当时, 证明：考虑正项级数由于，若，由正项级数的根值判别法知，当，即，收敛。当，即，不能趋于零,级数发散.故收敛半径.当时

17、, ,级数收敛且.若,对当充分大时,必有不能趋于零,级数发散.且9.求下列级数的收敛半径，并写出收敛圆周。(1) (2) (3) (4) 解: ()收敛圆周(2) 所以收敛圆周(3) 记 由比值法,有要级数收敛,则级数绝对收敛,收敛半径为所以收敛圆周(4) 记 所以时绝对收敛,收敛半径收敛圆周10.求下列级数的和函数.(1) (2) 解: (1)故收敛半径R=1,由逐项积分性质，有：所以于是有：(2) 令：故R=, 由逐项求导性质由此得到即有微分方程故有：，A, B待定。所以 11.设级数收敛，而发散，证明的收敛半径为1证明：因为级数收敛设若的收敛半径为1则现用反证法证明若则，有，即收敛，与条

18、件矛盾。若则，从而在单位圆上等于，是收敛的，这与收敛半径的概念矛盾。综上述可知，必有，所以12.若在点处发散，证明级数对于所有满足点都发散.证明：不妨设当时，在处收敛则对，绝对收敛，则在点处收敛所以矛盾,从而在处发散.13.用直接法将函数在点处展开为泰勒级数,(到项),并指出其收敛半径.解:因为奇点为所以又于是，有展开式14.用直接法将函数在点处展开为泰勒级数,(到项)解：为的奇点，所以收敛半径又于是，在处的泰勒级数为 15.用间接法将下列函数展开为泰勒级数，并指出其收敛性.(1) 分别在和处 (2) 在处(3) 在处 (4) 在处 (5) 在处 解 （1）(2) (3) (4) (5)因为从

19、沿负实轴不解析所以,收敛半径为R=116.为什么区域内解析且在区间取实数值的函数展开成的幂级数时，展开式的系数都是实数？答：因为当取实数值时，与的泰勒级数展开式是完全一致的，而在内，的展开式系数都是实数。所以在内，的幂级数展开式的系数是实数.17.求的以为中心的各个圆环域内的罗朗级数.解:函数有奇点与,有三个以为中心的圆环域,其罗朗级数.分别为：19.在内将展开成罗朗级数.解:令则而在内展开式为所以,代入可得20.有人做下列运算,并根据运算做出如下结果因为,所以有结果你认为正确吗?为什么?答:不正确,因为要求而要求所以,在不同区域内21.证明: 用z的幂表示的罗朗级数展开式中的系数为证明:因为

20、和是的奇点，所以在内，的罗朗级数为其中其中C为内任一条绕原点的简单曲线.22. 是函数的孤立奇点吗?为什么?解: 因为的奇点有所以在的任意去心邻域，总包括奇点，当时，z=0。从而不是的孤立奇点.23.用级数展开法指出函数在处零点的级.解：故z=0为f(z)的15级零点24.判断是否为下列函数的孤立奇点，并确定奇点的类型：；解: 是的孤立奇点因为所以是的本性奇点.(2)因为所以是的可去奇点.25. 下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出其点： 解: (1)所以是奇点,是二级极点.解: (2) 是奇点,是一级极点,0是二级极点.解: (3) 是的二级零点而是的一级零点, 是的一级零点所以是的二级极

21、点, 是的一级极点.26. 判定下列各函数的什么奇点？ 解: (1)当时, 所以, 是的可去奇点.(2)因为所以, 是的本性奇点.(3) 当时, 所以, 是的可去奇点.27. 函数在处有一个二级极点，但根据下面罗朗展开式：.我们得到“又是的本性奇点”，这两个结果哪一个是正确的？为什么?解: 不对, z=1是f(z)的二级极点,不是本性奇点.所给罗朗展开式不是在内得到的在内的罗朗展开式为28.如果C为正向圆周，求积分的值(1) (2)解：（1）先将展开为罗朗级数，得而 =3在内，,故(2)在内处处解析，罗朗展开式为而=3在内，,故习题五1. 求下列函数的留数(1)在z=0处解：在0|z|+的罗朗

22、展开式为(2)在z=1处解：在0| 1解：令 令z=ei，则得(3)，a0，b0解：令，被积函数R(z)在上半平面有一级极点z=ia和ib故（4）. ，a0解：令，则z=ai分别为R(z)的二级极点故(5) ，0，b0解：而考知，则R(z)在上半平面有z=bi一个二级极点从而(6) ，a0解：令，在上半平面有z=ai一个一级极点7. 计算下列积分(1)解：令，则R(z)在实轴上有孤立奇点z=0，作以原点为圆心、r为半径的上半圆周cr，使CR,-R, -r, Cr,r, R构成封闭曲线，此时闭曲线内只有一个奇点i,于是：而故：(2)，其中T为直线Rez=c, c0, 0a1解：在直线z=c+iy

23、 (- y 0. 0Im(z)0, 0y0. Im(w)0. 若w=u+iv, 则因为0y0, 0Im(z)0,Im(w)0, (以（,0）为圆心、为半径的圆)3. 求w=z2在z=i处的伸缩率和旋转角，问w=z2将经过点z=i且平行于实轴正向的曲线的切线方向映成w平面上哪一个方向？并作图.解：因为=2z,所以(i)=2i, |=2, 旋转角arg=.于是, 经过点i且平行实轴正向的向量映成w平面上过点-1，且方向垂直向上的向量.如图所示.4. 一个解析函数，所构成的映射在什么条件下具有伸缩率和旋转角的不变性？映射w=z2在z平面上每一点都具有这个性质吗？答：一个解析函数所构成的映射在导数不为

24、零的条件下具有伸缩率和旋转不变性映射w=z2在z=0处导数为零，所以在z=0处不具备这个性质.5. 求将区域0x0.解：(1) Re(z)=0是虚轴，即z=iy代入得.写成参数方程为， , .消去y得，像曲线方程为单位圆,即u2+v2=1.(2) |z|=2.是一圆围，令.代入得化为参数方程. 消去得，像曲线方程为一阿波罗斯圆.即 (3) 当Im(z)0时，即,令w=u+iv得.即v0,故Im(z)0的像为Im(w)0.9. 求出一个将右半平面Re(z)0映射成单位圆|w|0,映射成|w|0, 映为单位圆|w|0).(1) 由f(i)=0得=i，又由arg,即,，得，所以.(2) 由f(1)=

25、1,得k=；由f(i)= ,得k=联立解得.12. 求将|z|1映射成|w|1的分式线性变换w=f(z)，并满足条件：(1) f()=0, f(-1)=1. (2) f()=0, , (3) f(a)=a, .解：将单位圆|z|1映成单位圆|w|1的分式线性映射，为 , |1.(1) 由f()=0，知.又由f(-1)=1，知.故.(2) 由f()=0，知，又，于是 .(3) 先求，使z=a，,且|z|1映成|1.则可知 再求w=g()，使=0w=a, ,且|1映成|w|1.先求其反函数,它使|w|1映为|1,w=a映为=0，且,则 .因此，所求w由等式给出.13. 求将顶点在0，1，i的三角形

26、式的内部映射为顶点依次为0，2，1+i的三角形的内部的分式线性映射.解：直接用交比不变性公式即可求得=.=.14. 求出将圆环域2|z|5映射为圆环域4|w|2映为|w|10.又w=f(z)将|z|=5映为|w|=4，将z=2映为w=-10，所以将|z|4，由此确认，此函数合乎要求.15.映射将z平面上的曲线映射到w平面上的什么曲线？解：略.16. 映射w=ez将下列区域映为什么图形.(1) 直线网Re(z)=C1,Im(z)=C2;(2) 带形区域;(3) 半带形区域.解：（1） 令z=x+iy, Re(z)=C1, z=C1+iy, Im(z)=C2,则z=x+iC2故将直线Re(z)映成

27、圆周；直线Im(z)=C2映为射线.（2） 令z=x+iy，,则故将带形区域映为的张角为的角形区域.（3） 令z=x+iy，x0，0y0,0Im(z)1, ().17. 求将单位圆的外部|z|1保形映射为全平面除去线段-1Re(w)1映为|w1|1,再用分式线性映射.将|w1|0, 然后用幂函数映为有割痕为正实轴的全平面，最后用分式线性映射将区域映为有割痕-1,1的全平面.故.18. 求出将割去负实轴,Im(z)=0的带形区域映射为半带形区域,Re(w)0的映射.解：用将区域映为有割痕(0,1)的右半平面Re(w1)0；再用将半平面映为有割痕(-,-1的单位圆外域；又用将区域映为去上半单位圆内

28、部的上半平面；再用将区域映为半带形0Im(w4)0；最后用映为所求区域，故.19. 求将Im(z)1去掉单位圆|z|0的映射.解：略.20. 映射将半带形区域0Re(z)0保形映射为平面上的什么区域.解：因为 可以分解为w1=iz ，由于在所给区域单叶解析，所以（1） w1=iz将半带域旋转，映为0Im(w1),Re(w1)0.（2） 将区域映为单位圆的上半圆内部|w2|0.（3） 将区域映为下半平面Im(w)0时,令u=at.则当a0时,令u=at,则.故原命题成立.9.设证明.证明：10.设，证明：以及证明：同理：11.设计算.解：当时，若则故=0.若则若则故12.设为单位阶跃函数，求下列函数的傅里叶变换.习题八1.求下列函数的拉普拉斯变换.(1)， (2)，