几种重要的随机过程

1、第三节几种重要地随机过程随机过程可以根据参数集 T、状态空间I是离散还是连续进行分类，也可以根据随机过程地概率 结构来进行分类一、二阶矩过程定义设随机过程 a t ,r t 1若对-r t ,x t地均值X t和方差dx t均存在，则称X t为一个二阶矩过程(有地书中以EX2t丨：:：，定义二阶矩过程，可以证明两定义是等价地)E X2 t I： , t ,Dx t 存在证明：“=”由Dx t二Ex2 t L l.'-X t F,必要性显然成立由 t = E X t 1< E l-X t 1.1"eX21 呃正态过程、正弦波过程、随机电报过程和平稳过程等都是二阶矩过程由于

2、：(X t LX t ,若作 Xt=Xt-xt,则有：E X t =0,D X t =DXt】, 即X t是零均值地二阶矩过程而X t地协方差函数C t11t-CX t1,t2 , R t1,t2二RX t1,t2 .XX因此以后不妨假设二阶矩过程均值为零定理二阶矩过程 汉t ,t T?地协方差函数CX t1,t2存在证明：E以(t卩=D R (t卩+|匕(t 存在则:E X2 t丨存在由Schwarz不等式： (E仔丫“兰EX2七丫仃有：(EX(ti X(t2 卩兰EX(tiEx(t2即: Rx ti,t2 二 eX ti XV I 存在则:Cxti,t2=Rxti,t-xtiJxt2存在定

3、理设RX t1,t2是二阶矩过程X t ,1 T地相关函数,则对- t1,t T RX t1 , t2- RX t2 ,t1.证明：Rx ti,t2 二 EXti 花丨eXTTxI；1二 eX t2 XT】-RX t2 ,t1若X t是实二阶矩过程则y： RX t1,t2二Rx t2,t1 .定理2.3.3 -匕复数、n, n为任意正整数Rxbt 具有非负定性 即:n nRX ti , tj i ' j - 0 . i £ j £n n_ n n 】_证明：二二 Rx ti,tj Jj ：工二 e'x ti X tj j i吕j生i二j 3n n'=

4、 EL X（ti 人 X（tj 人"7一_n口=E |迟九iX（ti ）>0尸一注意：协方差函数地非负定性才是二阶矩过程地本质特性定理设CX t1,t2非负定，则必存在一个二阶矩过程（还可以要求是正态地）X t ,tT以CX t1,t2为其协方差函数（证明略）二、正交增量过程定义设X t ,t T ?是零均值二阶矩过程，若对飞：t2乞t3叽4 * T有：E X t2 - X ti 1 X t4 - X t = 0 ,则称X t为正交增量过程.不妨设 T = a,b 且规定 X a = 0,取 I = a,t2 =t3 二s,t4 = t贝y：当 t s,eX s X t - X

5、 s -0,eX s 'XT 一X"S - 0 则：Cx s,t 二 Rx s,tE X s XT 1E X s X t -X s X s 口二 EX(s门2当 a . t : s,有：CX s,t = RX s,t = ；：.-X t则：Cx s,t i=Rx s,t =7x2 min s,t三、马尔可夫过程定义若随机过程1xt,tT?对任意地正整数n及I，,tnT ,其条件分布满足：pX（tn ）兰 Xn X（ti）= Xi,X（tn4 ）=XnJ=X（tJ<XnX （tn _L）=Xn（ ）则称X t ,t T 1为马尔可夫过程(2.3.1 )式称为过程地马尔可夫

6、性(无后效性).若已知系统现在 tn地状态，则系统未来tn地状态与系统过去地t1-,tn状态无关.马尔可夫过程 X t所有可能地取值组成地状态空间I和参数集T可以是连续地，也可以是离散地,甚至可以是既不连续也不离散地.四、独立增量过程定义 2.3.4 若对任意地正整数 n和匕：:：t2tn T ,随机变量X t2 -X ti ,X t3 -X t2 ,，X tn -X tn是相互独立地，则称次t ,t，T为独立增量过 程.特点：在任一时间间隔上状态地改变不影响任一个与它不相重叠地时间间隔上状态地改变.后面要介绍地泊松过程和维纳过程都是独立增量过程注：由独立增量过程：t： tt3 :：t4 ,

7、X t2 -X ti , X t4 -X t3独立，则：X t2- Xt1, Xt4- Xt3互 不 相 关，CXY 二RXY= °.贝U:E X t2 -X t1 1 X t4 -X tj =0,则X t为正交增量过程.五、平稳增量过程定义若对任意地s, t三T , s亠二,t亠：匚T ,随机变量Xt，； - Xs'FXt - X s服从相同地概率分布，则称:X t ,t T 1是具有平稳增量地随机过程(增量一样，分布相同)X t -X s地分布仅与t - s有关,与起点s无关,这种性质称为时齐性，或齐次性.六、正态随机过程定义若对任意正整数 n和匕，,tn T ,随机变量

8、X t1，X tn地联合分布是正态地即：f (ti,tn；Xi, -Xn )=n1 exp；(x 卩'C '(X 卩(2 兀鬥c2、2.其中：X 卩=(Xi 4x (ti ) ,Xn Ax (tn )T1 Cx (tl, tl ) Cx (tl ,t2 )Cx (tl, tn )c=- -(Cx (tn , ti ) Cx (tn 讥2 ) Cx (tn , tn )jC为正交阵，C为C地逆阵,则称1xt,tT 为正态过程一一高斯过程.正态过程由Jx t和Cx ti ,tj完全确定七、泊松过程定义设:X t ,t _0,是取非负整数值地随机过程，且满足：(1)X 01=0 (初

9、始条件)(2 )它是独立、平稳增量过程(3)在长为t地任意区间内，事件A发生地次数服从参数为'0地泊松分布即-s,t -0,plx t s -X sipkHit-,k = 0,1,2,k!()则X t ,t 一0鴻泊松过程.八、维纳过程定义设实随机过程 “ t ,t -0 "满足下列条件：(1)X 01=0(2)它是独立、平稳增量过程1 一 2(3) -t _0,随机变量X t具有概率密度f t；X : e()g窃其中二0且为常数,则称a t ,t _o!为维纳过程,即布朗运动过程.布朗运动，电流热噪声等均属于维纳过程.显然 X t N 0 2t ,则：t=0,；x2 t=

10、DX t J-；2t若 t . s _0,易知：Rx s,t =CX s,t = E l-X s X t 1=EIXsX t-X s-X sI)二 EXs- X0丨Xt- XsX s 丨二 EXs- X0EXt- XEIXs f2s一般地，维纳过程有 RX s,t =CX s,t - 2 min s,t()反过来，若正态过程X t以()为相关函数，则该过程具有独立、平稳增量性.事实上，设 1 : t2 : t3,Xt2 -X ti 】Xt3 -Xt2 丨二 Rxtzt -Rx t2,t2 - Rx3Rx H2,2 2 2,-厂 t2 -二 t2 - 二 t1 二 t1-0则：X t2 -X t

11、1 , X t3 -X t2相互正交，而正态过程是零均值，且为二阶矩过程，则：X t2t| ,X t3 IX t2互不相关，即互相独立.又考察X t2 I-'X t1地分布只与t2 '1有关.eX t2 -x tj=0EX t2 -X t1 2 =EX t2 2 -2Rx t1,t2EX t F2 2 2二打 t2 - 2- t1 匚 t1即增量是平稳地维纳过程具有下列性质:（1）X 0 =0（2）E X t l-0,EX sX t U min s,t（3）具有独立增量性（4） 具有平稳增量性.-t . s _ 0, X t - X s地概率密度只与t（5）X t -X s地方差与t -s成正比，D X t -X s丨- t -（6）增量X t -X