两个平面垂直的判定和性质

1、文件sxglija0021.doc科目数学年级高中章节关键词平面垂直标题两个平面垂直的判定和性质（二）内容两个平面垂直的判定和性质（二）北京师大实验中学李青霞教学目标1. 使学生掌握两个平面垂直的性质定理及其证明.并能应用判定定理和性质定理解决简单问题；2. 通过两个定理的两种引入方式，培养学生观察，归纳、猜想、证明的科学思维方式及辩证 思维能力.教学重点和难点性质定理的引入及证明.教学用具两个互相垂直的平面，一根直的细木棍教学设计过程师：上一节课我们学习了面面垂直的定义和判定面面垂直的定理.如果两个平面相交，所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.判定定理是用来判定两个平面垂直的方法

2、.请问判定定理是如何叙述的呢？生：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直师:好.应用定理的关键是在其中一个平面中寻找另一个平面的垂线.下面我们一起来解决上节课留的思考题.（板书）如图，四边形 BCDE是正方形，AB丄面BCDE,则图中所示 7个平面中，有几对平面互相 垂直？图生：共7组.AB丄面 BCDE， 所以 面ABE丄面BCDE，面ABC丄面BCDE，面ABD丄面BCDE， 且 AB丄 BC，AB丄CE，AB丄 CD.又正方形BCDE，所以BC丄BE， 所以BC丄面ABE.因为 面ABC丄面ABE， 因为 DE II BC， 所以DE丄面ABE， 故 面ADE丄面A

3、BE.又CD丄BC， 因为CD丄面ABC, 所以 面ACD丄面ABC.又CE丄BD,所以CE丄面ABD,故 面ACE丄面ABD.师：通过对本题的研究，我们对判定定理有了更深入的理解.下面我们一起来研究面面垂直有哪些性质.生：两个平面互相垂直，所成的二面角是直二面角师:很好.这是由定义的双重性得到的，定义既提供了两个平面垂直的判定方法，又指岀了 两个平面互相垂直的性质 .上节课我们由线面垂直，推岀面面垂直，也就是面面垂直的判定 定理.那么现在从面面垂直岀发，能否得到线面垂直呢？（取岀教具，并拿细木棍在其中一个面上移动）生：当棍与棱垂直时，棍与另一平面垂直师:很好.如果棍与棱不垂直时，棍与面垂直吗

4、？生：不垂直.师:好.也就是说只有当棍与棱垂直时，棍才与面垂直.那么是不是与棱垂直，就一定与面垂直呢？保持棍与棱相交垂直，将棱移开平面，使之与平面不垂直生：不是，棍必须在平面内.师：意思是说当棍在面内时，如果棍与棱垂直，则它与面垂直.好，请你整理一下刚才的想法，该怎样叙述这个命题的内容呢？注意面面垂直的大前提.生：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.师:很好，下面我们一起来完成命题的证明 .先分析命题的条件和结论，然后画岀图形，再 结合图形，用符号语言叙述已知，求证 .图 2生：已知如图，a丄B , a Q B =AB，CD a，CD丄AB. 求证:CD丄B

5、 .师:这个命题的结论是线面垂直.考虑已学过的判定线面垂直的方法有哪些，由本题的已知 看看哪个方法最适合.生：由已知CD丄AB，AB在B内，想证 CD丄B，只需在B内再找一条直线与 CD垂直. 师:很好.但B内没有这样的直线.应该怎样作出这条直线呢 ？生：因为a丄B，根据定义作岀这个二面角的平面角，就是90 ° .在平面B内，过D作DE丄AB，因为CD丄AB，所以 / CDE是a -AB- B的平面角，又 a丄B，所以 / CDE=90 °即CD丄DE.又 AB B，DE B，故CD丄B .师:好.利用两个平面垂直的定义，作岀直线CD丄AB，最终证明了 AB丄B .它就是面

6、面垂直的性质定理.也可称为线面垂直的判定定理（板书）剖析:（2）为判定或作岀线面垂直提供依据.师：这个定理由面面垂直岀发，借助于线线垂直，结论是线面垂直.给我们提供了解决线面垂直的一种新的思路一一寻找面面垂直.这一点也是这一定理最突岀的作用.师：下面继续来看，保持面面垂直的条件不变，交换一下命题的条件和结论，看看结论是否有价值.（与学生一起分析得岀）命题 1a 丄 B，a A 3 =AB，CD 二 a ，CD丄B，贝0CD丄 AB.命题 2a 丄 3 ,a A 3 =AB，CD丄 AB，CD丄3,贝UCD 二 a .师：命题1，由AB二3，CD丄3，可得CD丄AB，与a丄3的大前提无关，不做研

7、究 .命题2， 条件重复，去掉 CD丄AB.这个结论正确吗？（取出教具，保持棍与面垂直，将棍移出平面，引导学生说出棍上必须有一个点在面a 上,才可以保证棍在面内）师：好，修改一下命题.（擦去AB丄CD,添加C a，或D a ）师：现在的命题正确吗？要证直线在平面内，直接证法是依据公理1，需要在直线上找到两点在平面内.已知只有一点 C a，再找合题意的点很困难 .应该采用什么对策 ？生：利用反证法.假设CD二a ,过点C作CE丄AB于E.因为 a丄3 ,所以CE丄3 .圉3又CD与CE确定平面丫，令 丫 A 3 =a ,则CD丄a,CE丄a.所以在平面丫内，有两条直线 CD, CE,同时垂直直线

8、 a ,这与平面几何定理矛盾 ！所以CD 二a .师:很好.这也是面面垂直的一个性质，它的作用是判定直线在平面内.用语言叙述就是：（板书在命题1的位置）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.师：请同学们打开书 p.41.书上给岀了面面垂直的两个性质定理.我们看一下定理的证明.看书的同时，指岀书上所用的证明方法是同一法，有唯一性定理做保证.定理内容是：经过空间一点有且只有一条直线与一个平面垂直师：上面我们研究了面面垂直的两个性质定理.定理1是判定线面垂直的有效方法，性质2是判定直线在平面内的一种方法.从应用上看，定理 1更广泛一些.例垂直于同一平面的

9、两平面的交线垂直于这个平面图4已矢知 : a 丄 丫， 3 丄 Y, a A 3 =a , 求证:a丄丫 .师：本题条件是面面垂直，结论是线面垂直.选择适当的判定线面垂直的方法，给岀证明证法一：设aY =b, BQy =c,在丫内任取一点 P，作PM丄b于M, PN丄C于N.图5因为a丄Y , B 丄 Y ,所以PM丄a , PN 丄 B因为aQB =a ,所以PM丄a, PN 丄 a,所以a丄Y 证法二图6任取P a,过点P作b丄丫 . 因为 a丄丫 .所以b二a , 因为 B丄Y , 因此b 二B , 故 aQ B =b. 由已知 a Q B =a , 所以a与b重合， 所以 a丄丫 .

10、证法三：圏?设a丄Y于b,B丄丫于C.在a内彳作b，丄b,所以b，丄Y 同理在B内作C'丄C,有C '丄Y ,所以b，/c ',又 b ' <- B , c '二 B所以b，/B .又b，二a ,a Q B =a ,所以b,/a,故a丄Y 师:这道题的三种证法，从三个不同角度入手，解决了线面垂直的问题，证法一利用线线垂直得面面垂直的判定定理.证法二通过面面垂直的性质利用同一法.证法三则利用线线平行解决线面垂直问题.到此，有关师：好，我们用两节课的时间完成了面面垂直的判定和性质定理的推导和证明 垂直的内容可以做一小结 .我们知道，立体几何中，主要依靠

11、线面关系的不断转化解决问题.由线线垂直到线面垂直，再到面面垂直；也可由面面垂直到线面垂直，再到线线垂直.以线面垂直为核心，结合线与面之间垂直和平行的关系，可以得到有关垂直的结构图.（与同学一起小结）线线垂直线面垂直面面垂直三垂线定理线线平行面面平行师：结合已知，灵活的应用这些定理，就可以寻找到解题思路，从而顺利的解决有关垂直的 位置关系的问题思考题图 81. 如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1中，（正三棱柱指底面为正三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱）E BB1，且 BE=EB1求证：截面A1EC丄侧面AC1.2. 影响异面直线上两点间距离的因素有哪些，如何求出异面直线上两点间距离 课堂教学设计说明本节课的重点内