函数与导数理

1、第一章 函数与导数【知识网络】表示方法元素、集合之间的关系概念运算：交、并、补集合解析法确定性、互异性、无序性性质列表法表示定义映射定义域图象法对应关系三要素值域单调性奇偶性周期性性质函数对称性最值平移变换图象及其变换对称变换一次、二次函数、反比例函数幂函数翻折变换伸缩变换指数函数基本初等函数对数函数分段函数复合函数抽象函数零点二分法、图象法、方程根的分布函数与方程极值最值定积分与图形的计算定积分与微积分生活中的优化问题导数的正负与单调性的关系单调性导数的应用导数的运算法则导数的概念基本初等函数的导数导数建立函数模型函数的应用【考纲要求】1集合(1)集合的含义与表示了解集合的含义、元素与集合的

2、“属于”关系能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述具体问题(2)集合间的基本关系理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集在具体情境中,了解全集与空集的含义(3)集合的基本运算理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算2函数了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念（1） 在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列举法、解析法）表示函数（2） 了解简单的分段函数,并能简单应用（3） 理解函数的单调性、最大值、最小值

3、及其几何意义；结合具体函数,了解函数奇偶性的含义（4） 会运用函数图象理解和研究函数的性质3指数函数（1） 了解指数函数模型的实际背景（2） 理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算（3） 理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点（4） 知道指数函数是一类重要的函数模型4对数函数（1） 理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用（2） 理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点（3） 知道对数函数是一类重要的函数模型（4） 了解指数函数yax与对数函数ya

4、x(a0,且a1)互为反函数5幂函数（1） 了解幂函数的概念.（2） 结合函数yx,yx2,yx3,yx 的图象,了解它们的变化情况6函数与方程 （1）结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数 （2）根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解7函数模型及其应用 （1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义 （2）了解函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用8.导数及几何意义(1)了解导数概念的实际背景.(2)理解导数的几何意义.9

5、.导数的运算(1)能根据导数定义，求函数为常数)的导数.(2)能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数. 常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：(C为常数)；;；,且；，且. 常用的导数运算法则：法则1 .法则2 .法则3 .10.导数的运用（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）. （2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其

6、中多项式函数一般不超过三次）.（3）会利用导数解决某些实际问题.11.微积分（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.（2）了解微积分基本定理的含义.【备考建议】1.在集合学习中,要通过丰富的实例理解集合的概念,学习集合语言最好的方法是使用,在关于集合之间的关系和运算的学习中,使用Venn图是重要且有效的2含参数的集合问题,多根据集合中元素的互异性处理,有时需要用到分类讨论、数形结合思想；集合问题多与函数、方程、不等式联系,要注意各类知识的融会贯通3函数不仅是高中数学的核心内容,还是学习高等数学的基础,所以函数知识在高考中占有极其重要的地位.试题不但形式多样,而且突出

7、考查学生联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想能力,知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高,是高考中考数学思想、数学方法,考能力、考素质的主要知识,所以在备考中要力争做到：（1）注重基础,抓住基本函数,结合数学思想,联系实际应用 熟练掌握二次函数、反比例函数及形如的函数的性质,重点从定义域、值域、单调性、奇偶性、图象等方面提炼归纳,特别是以上述几种函数为模型的抽象函数注意与图象、图表相关的问题,能从图表中读取各种信息,注意利用平移、伸缩、对称变换,培养数形结合的能力.反函数问题是此类问题的典型,新定义、新情景问题也大多以图表形式给出,要以基本函数为基础强化由式到图和有图到式

8、的转化训练(2) 明确高考命题趋势函数的基础的地位决定了函数试题较多,高、中、低档题目全有,题型齐全,重难点突出,创新容易,与其他知识块联系较多,像函数的凸凹性、分段函数、周期函数、新定义新情景题层出不穷.复习中应注意捕捉此类信息,注重新题训练,防止新颖考题呈现于面前而无从下手的情形出现4式的运算、变形、求值、化简及等式的证明在数学中占有重要的地位,是研究方程、不等式和函数的必备工具,很多数学问题的推理、判断也需要在式的变形中解决,因此牢固地掌握幂、指、对数式的有关运算、变形是本节的重点5指数函数以考查基本知识为主.但以细胞的分裂,考古中所用的14C的衰减,药物在人体内残留量的变化等为背景命题

9、是一个命题重点指数函数的图象直观揭示了指数的一切性质,既是帮助归纳性质的基础,又是数形结合的依据,高考中对于指数函数性质的考查比较集中于单调性的应用上,特别注意底数a的取值对于单调性的影响6对数函数的考查重点,放在了对数函数的相关性质以及其他方面知识的交汇地方这类试题出现在选择题、填空题时属容易题,而出现在解答题中一般难度较高,应认真对待7在求解含参数的指数函数和对数函数问题时,常运用化归思想,将较复杂的问题转化为简单的问题 8注重一元二次函数的分类讨论问题 9.导数是中学数学中重要的知识.由于其应用的广泛性，为我们解决有关函数的问题提供了一般性的方法,运用导数还可以简捷地解决一些实际问题.本

10、章中导数的概念、求导运算、函数的单调性、极值和最值是重点知识，因此要熟练掌握函数的求导法则及公式，会判断或讨论函数的单调性，会函数的极值与最值，会用导数解决一些实际问题. 10.定积分也是微积分的核心概念之一.通过定积分可以解决一些简单的几何和物理问题，还要体会导数和定积分之间的内在联系，体会导数与定积分的思想方法. 11.在解决具体问题的过程中，要对函数的导数方法和初等方法作比较，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.【真题解析】例1(2012全国新) 已知集合；,则中所含元素的个数为 简单计算，选D.思路点拨：简单的集合的新运算.例2 (2009山东卷理)定义在R上的函数f(x)满

11、足f(x)= ,则f（2009）的值为( )A.-1 B. 0 C.1 D. 2解:由已知得,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选C.思路点拨：本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.例3 (2009山东卷理)函数的图象大致为( ).1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O 解：函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A.思路点拨：本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对

12、其进行考察其余的性质.例4（2010全国）已知函数若互不相等，且则的取值范围是(A) (B) (C) (D) 解：不妨设，由图象和可知：，所以，故选C.思路点拨：函数的图象和简单的对数等运算例5（2011新课标）已知函数，曲线在点处的切线方程为。(1)求、的值；(2)如果当，且时，求的取值范围.解:(1)由于直线的斜率为，且过点，故即解得，.(2)由（1）知，所以.考虑函数，则. 若，由知，当时，h(x)递减.而故当时， ，可得；当x（1，+）时，可得,从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.若0<k<1.由于=的图像开口向下，且，对称轴x=

13、.当x（1，）时，（k-1）（x2 +1）+2x>0,故 (x）>0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾.若k1.此时，（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）<0,与题设矛盾. 综合得，k的取值范围为（-，0.思路点拨：求参数的范围一般用离参法，然后用导数求出最值进行求解.若求导后不易得到极值点，可二次求导，还不行时，就要使用参数讨论法了.即以参数为分类标准，看是否符合题意，求得答案.此题用的便是后者.例6 （2012全国新）已知函数满足.（1）求的解析式及单调区间；（2）

14、若，求的最大值.(1) .令得.故当时；当时.单调递增区间为，单调递减区间为.(2)由已知得 即. （）若，令，,在上单调递增.当且时，与矛盾.()当时,令，.当时，；当时，.在上单调递减，在上单调递增.时，.则.令.在上单调递增，在上单调递减，在处取得最大值.,.当时，式成立. 综上，的最大值为.思路点拨：利用导数公式及求出解析式，求导后求函数的单调区间.通过构造函数及适当放缩求函数的最值，考查分类讨论的数学思想.1.1 集合【基础知识】1指定的对象的全体构成一个集合，其中每个对象叫做这个集合的元素，集合的元素具有、三个特性 根据集合中元素的多少，集合可为、和2集合有三种表示方法，分别是、和

15、它们各有缺点，用什么方法表示集合，要具体问题具体分析3.子集：对于两个集合与，如果集合中的任何一个元素都是集合中的元素，则集合是集合的，记作.子集有如下性质： （A为任意集合） 两集合相等：对于两个集合与，如果，则称与相等，记作真子集:若，则集合是集合的真子集，记作.空集是任何非空集合的真子集（）4. 由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，叫做与的交集，记作 ，5. 由属于集合或集合的所有元素组成的集合，叫做与的并集，记作，即., ,6.已知集合，由中不属于的所以元素组成的集合，叫做集合中子集的, 记作【基础训练】1已知集合，若，则b等于（ ）A.1或2 B.2 C.1 D.8 2集合的真

16、子集的个数是 （ ）A.1 B.2 C.3 D.43函数，,则等于（ ）A. B. C. D.4已知集合，集合，若，则实数.5已知集合，若，则， .【典型例题】例1 已知集合则满足的关系是 （ ）A B C D 例2 已知集合，.若，求的取值范围；若，求的取值范围；若，求的取值范围例3 已知集合；若，求实数的取值范围.【规律总结】1解答集合问题时，通常将集合语言与图形语言进行互化.如对元素为离散型的集合通常转化为Venn图，对元素为连续形集合通常转化到数轴上，又往往借助函数图象进行思考.2对于，一般要分为与讨论.3集合的几种等价形式4.在解决问题时，可以利用补集思想，先研究的情况，然后取补集.

17、5.含参数的集合问题，多根据集合中元素的互异性处理，有时需要用到分类讨论、数形结合的思想.【拓展训练】一、选择题1若集合中的元素是的三边长，则一定不是（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形2已知命题：；=；.其中正确的个数为 （ ）A.1个 B. 2个 C. 3个 D.4个.3设和是两个集合，定义集合，若，那么等于A B C D二、填空题4. 已知集合，那么集合为_.5定义集合运算： ，设则集合 的所有元素之和为.6.设集合，则的取值范围是_. 三、解答题7集合，.求集合和.8集合，若，求实数的取值范围.9设集合，(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的取值范围若，解题思

18、路对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。10已知全集，集合，集合.（1）当（2）.1.2 函数及其表示【基础知识】1设、是非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的中的，在集合中都有和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作 对于函数，其中叫做自变量，的取值范围叫做;与的值相对应的值叫做，函数值的集合叫做函数的函数的和两要素可确定一个函数函数的三种表示方法是、2在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做，分段函数的定义域是各段定义域的，其值域是各段值域的设、是两个非空的数集，如果按照某一个确定的对应关系，使

19、对应集合中的任意一个元素，在集合中都有确定的要素与之对应，那么就称对应为从集合到集合的一个 由映射的定义可以看出，映射是概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合、必须是 【基础训练】1给出下列四个命题，正确的有 （ ）函数就是定义域到值域的对应关系；若函数的定义域只含有一个元素，则值域也含有一个元素；因这个函数值不随的变化而变化，所以也成立；定义域和对应关系确定后，函数值域也随之确定A.1个 B.2个 C. 3个 D.4个2设，给出下列四个图形，其中能表示以集合为定义域，为值域的函数关系是（ ）-2202xyD-2202xyC-2202xyA-2202xyB 3设都是由到的映

20、射，其对应法则如下表（从上到下） 表1 映射的对应法则原象1234象4321 表2 映射的对应法则原象1234象4321则与相同的是A. B. C. D.4设函数则的值为5如图所示，有一边长为的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积以为自变量的函数式是，这个函数定义域是.【典型例题】例1 已知下列四组函数，其中表示同一个函数的是_(1) f(x)=，g (x)=x+2；(2) f（x）=x, g (x)=(n；(3) f (n)=2n-1, g (n)=2n+1(n； (4) f（x）=x-2x-1, g (x)=t-2t-1.例2 动点P从边长为1

21、的正方形ABCD的顶点B出发顺次经过C，D再到A停止，设x表示点P的行程，y表示PA的长，求y关于x的函数.例3 (1)设f（x)是一次函数，且ff（x）=4 x+3，求f（x）； (2)设二次函数y= f（x）的最大值为13，且f（3）= f（-1）=5，求f（x）的解析式； (3)函数f（x）是偶函数，g (x)是奇函数，若f (x) + g (x)=，求f（x）.【规律总结】1. 相同函数的判定解析式相同的两个函数不一定是同一个函数.定义域、对应法则是函数的二要素.由于只要定义域、对应法则确定，函数便确定，故两个函数相同，只须定义域与解析式（对应法则）相同.2.解析式的求法求解析式这类问

22、题抽象性较强，解题关键在于抓住函数对应法则f的本质.由函数f（x）的含义可知，在函数的定义域和对应法则f不变的条件下，自变量换字母，甚至变换为其他字母的代数式，对函数本身并无影响，利用这一特征可解决此类相关问题，常用的方法有：(1) 代入法：如已知f（x）= x-1，求f (x+ x)；(2) 待定系数法：已知f(x)的函数类型，要求f(x)的解析式时，可根据类型设其解析式，从而确定其系数即可；(3) 换元法：适用于已知fg（x）的表达式；(4) 拼凑法：已知fg（x）的解析式，要求f(x)时，可以从fg（x）的解析式中拼凑出“g（x）”，即用g（x）来表示，再将解析式两边的g（x）用x代替即

23、可；(5) 方程组法：已知f(x)与fg（x）满足的关系式，要求f(x)时，可以用（x）代替两边所有的x，得到关于f（x）及f（x）的方程组，解之即可求出f（x）.3.函数与方程思想用函数观点理解方程是将方程f（x）=0的解视为函数y= f（x）的图象与x轴交点的横坐标，方程f（x）=a的解可视为y= f（x）的图象与直线y=a交点的横坐标.【拓展训练】一选择题1下列说法中，不正确的是 （ ）A.函数的值域中每一个数在定义域中都有数与之对应B.函数的定义域和值域一定是不含数0的集合C.定义域和对应法则完全相同的函数表示同一个函数D.若函数的定义域中只有一个元素，则值域也只含有一个元素2下列各图

24、象中，不可能表示函数y= f（x）的图象的是 （ ）_D_1_1_o_y_x_y_x_1_1_o_C_x_B_1_1_o_y 3若f（x）=，则f（）等于 （ ）A.f（x） B. C. -f（x） D. f（-x）二填空题4已知函数满足，则_.5已知f（x）=，那么f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（）+f（）+f（）=_.6 已知f（x）= 则不等式x+(x+2)·f（x+2）5的解集是_.三解答题7二次函数满足，且.求的解析式；在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的范围. 8设解不等式的集为.9已知函数f（x）对任意的实数x、y都有f（x+y）= f（x）+ f（

25、y）+2y(x+y)+1,且f（1）=1.（1）若xN，试求f（x）的表达式；（2）若xN，且x2时，不等式f（x）（a+7）x- (a+10)恒成立，求实数a的取值范围.10.为了预防流感，某学校对教室用药物消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）从药物释放开妈，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为 ；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经

26、过 小时后，学生才能回到教室.1.3函数的定义域与值域【基础知识】1.函数的定义域（1）函数的定义域是_,在研究函数问题时，需优先考虑_.（2） 已知f（x）的定义域是a,b，求fg（x）中x的取值集合，是指满足_的x的取值集合；而已知fg（x）的定义域是a,b，指的是_2.常见函数的定义域、值域函数定义域值域y=kx+b(k0)y=(k0)y=a x+bx+c(a0)y=logx(a>0,且a1)y=a(a>0,且a1)y=x+(a>0)y=(ad-bc0)【基础训练】1函数y=的定义域是 （ ）A.(-，3) （3,4 B. (-，4)C.（3,4） D. (-，3)（3

27、,4） 2若函数y= f（x）的定义域是0,2则函数g（x）=的定义域是（ ）A. 0,1 B. 0,1） C. 0,1）（1,4 D. (0,1）3若函数f（x）= log(a>0,且a1)的定义域和值域都是0,1 ，则a等于( ）A. B. C. D.24.f（x）=+的值域是_.5.(2007重庆)若函数f（x）=的定义域是R，则a的取值范围是_.【典型例题】例1 求下列函数的定义域：（1）y=；（2）y=；（3）y=+- . 例2 求下列函数的值域：（1）y=4-； (2) y=2x+；（3）y=； (4) y=. 例3 (1)函数y=lg(x-ax+1)的定义域是R时，求a的取

28、值范围; (2) 函数y=lg(x-ax+1)的值域是R时，求a的取值范围; 【规律总结】1.函数定义域的三类题型第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还要考虑实际问题或几何问题有意义；第三类是不给出函数的解析式，而由f（x）的定义域确定函数fg（x）的定义域或由fg（x）的定义域确定函数f（x）的定义域.（1） 熟练掌握基本初等函数（尤其是分段函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）的定义域是求函数定义域的关键.（2） 对于复合函数求定义域问题，其一般步骤是：若已知f（x）的定义域a,b，

29、其复合函数fg（x）的定义域应由不等式a g (x)b解出.2.函数值域的常见求法 求函数的值域是高中数学的难点，它没有固定的方法和模式，常用的方法有：（1） 直接法从自变量的范围出发，推出y= f（x）的取值范围；（2） 配方法配方法是求“二次函数”值域的基本方法，形如F（x）=af(x)+b f（x）+c的函数的值域问题，均可使用配方法；（3） 反函数法利用函数和它的反函数的的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域.形如y=(a0)的函数的值域，均可使用反函数法.此外，这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解；（4） 判别式法把函数转化成关x于的二次方程F(x,

30、y)=0，通过方程有实根，判别式0，从而求得原函数的值域，形如y=(a,a不同时为零)的函数的值域常用此法求解；注意事项：函数的定义域应为R；分子、分母没有公因式. (5) 换元法运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一 函数，从而求得原函数的值域，形如y=ax+b(a,b,c,d均为常数，且a0)的函数常用此法求解；(6) 不等式法利用基本不等式：a+b2(a,bR)求函数的值域，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；(7) 单调性法确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性求出函数的值域.形如y=的函数值域均可使用此法求解；(8) 求导法当一个函数在定义域上可

31、导时，可根据其导数求最值；(9) 数形结合法当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域.【拓展训练】一、选择题1函数的定义域为( )A.;B.；C. ;D. 2函数的值域是A0,1 B . C. (0,1 D. (0,1)3函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（ ） Aa|a R B.a|0a C. a|a> D. a|0a< 二、填空题4若函数的值域是，则函数的值域是 5函数f（x）= log(a+4)(a>0,且a1)的值域是_.6函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=,若f（1）=-5，

32、则f(f(5)=_ _.三、 解答题7. 设函数的定义域是(是正整数)，那么的值域中共有多少个整数. 8.设函数f（x）=的定义域是A，函数g（x）=的定义域是B，求AB=时，a的取值范围.9 求下列函数的值域：（1）y= （2）y= （3）y=10.已知函数f（x）=1-2a-a(a>1).(1)求函数f（x）的值域；(2)若x-2,1 时，函数f（x）的最小值为-7，求a的值并求函数f（x）的最大值. 14函数的单调性和奇偶性【基础知识】1 一般地，设函数f(x) 的定义域是I：如果对于定义域I里某个区间上的_两个自变量的值，当 时，都有_，那么就说f(x)在这个区间上是增函数；当时

33、，都有_，那么就说f(x)在这个区间上是减函数；这个区间称为函数的_，称函数在这个区间上具有_.奇函数在对称区间上具有_的单调性，偶函数在对称区间上具有_的单调性，互为反函数的两个函数具有_的单调性.2y=kx+b (k0) 的单调区间是_； (k0) 的单调区间是_；(a0)的单调区间是_；(a>0,且a1)的单调区间是_； (a>0,且a1)的单调区间是_；的单调区间是_；的单调区间是_；的单调区间是_；y=（a是常数）的单调区间是_；(a>0)的单调区间是_.3对于函数f(x)的定义域内_一个x ，都有_，则称f(x)为_；对于函数f(x)的定义域内_一个x，都有_，则

34、称f(x)为_.4判断函数的奇偶性的步骤：考察定义域是否关于_对称，若不对称，则为_函数.根据定义域考察表达式f(-x) 是否等于f(x) 或-f(x)：若 f(-x)=-f(x) ,则 f(x) 为奇函数若 f(-x)=-f(x), 则 f(x)为偶函数若f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x) ,则f(x)既是奇函数又是偶函数若f(-x)-f(x) 且f(-x)-f(x) , 则f(x) 既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数5奇函数的图象关于_对称，偶函数的图象关于_ 对称.若奇函数的定义域包含数0，则f(0)=_.奇函数的反函数也为_.定义在()上的任意函数f(x)都可以唯一表示

35、成一个_ 与一个_ 之和.【基础训练】1 函数 ( ) A在( ) 内单调递增 B在( ) 内单调递减C在() 内单调递增 D在 ( ) 内单调递减2 函数 的单调递减区间是 ( )A . B. C. D. 3 （2008全国）设奇函数f(x)在 () 上为增函数，且 f(1)=0 ，则不等式的 解集为 ( ) A (-1,0)(1,) B (,-1) (0,1) C(,-1) (1,) D(-1,0) (0,1)4 如果函数若函数是奇函数，则= . 5 已知 是定义在 a-1,2a上的偶函数，则a+b=_.【典型例题】例1 求下列函数的单调区间，并确定每一单调区间上的单调性.（1）； （2）

36、； （3）例2 判断下列函数的奇偶性：（1） ； （2）；（3）； （4）.例3 已知函数 是奇函数，又 f(1)=2 ，f(2)<3 ，且f(x) 在上是增函数.（1）求a,b,c 的值；（2）当x<0 时，讨论f(x)的单调性.【规律总结】1用定义域证明函数的单调性的步骤（1）设， 是f(x) 定义域内一个区间上的任意两个量，且；（2）判断f()-f()与0的大小关系或 与1的大小关系,（3）根据定义给出结论2判断函数单调性的方法（1） 定义法：利用定义严格判断（2） 利用函数的运算性质：如若f(x),g(x) 为增函数，则 f(x)+g(x)为增函数 (f(x)>0)

37、为减函数()为增函数f(x)g(x) (f(x)>0 ,g(x)>0 )为增函数-f(x)为减函数 （3） 利用复合函数关系判断单调性法则是"同增异减”，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数.（4） 图象法（5） 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性；（6） 导数法若f(x) 在某个区间内可导，当 时，f(x)为增函数，当 时，f(x)为减函数，若f(x)在某个区间内可导，当f(x) 在该区间上递增时，则；当f(x) 在该区间上递减时，则；3判断

38、函数奇偶性的步骤： (1) 求定义域，看定义域是否关于原点对称，若定义域不关于原点对称，则为非奇非偶函数.(2) 定义域关于原点对称时，看（或 或） 是否成立，若不成立，则为非奇非偶函数.(3) 成立时为奇函数，成立时为偶函数.有些题目，须先化简f(x) 的表达式，观察其特点，然后再进行其判断.例如 的奇偶性，可先由得 将函数化简为再判断.4 综合函数的单调性和奇偶性，可得以下常用的两个结论： （1）奇函数在区间 a,b 和 -b,-a上有相同的单调性. （2）偶函数在区间 a,b 和 -b,-a上有相反的单调性.【拓展训练】一、选择题1已知函数f(x) 的定义域是I ，如果对于属于I 内某个

39、区间上的任意两个不同的自变量的值， ，都有>0 ，则 ( )A f(x) 在这个区间上为增函数 B f(x)在这个区间上为减函数C f(x)在这个区间上为增减性不定 D f(x)在这个区间上为常函数2已知函数f(x) 是 R上的偶函数，且在区间 上是增函数，令,则 ( )A b<a<c B c<b<a C b<c<a Da<b<c3已知定义域是R的函数f(x) 在上是减函数，且函数 y=f(x+8)为偶函数，则Af(6)>f(7) Bf(6)>f(9) Cf(7)>f(9) Df(7)>f(10)二、填空题4已知 是

40、上的减函数，那么的取值范围是 . 5函数的最大值为，最小值为，则_.6已知f(x),g(x)都是定义在 R上的奇函数，若F(x)=af(x)+bg(x)+2 在区间上的最大值为 5 ，则F(x) 在 上的最小值为_.三、解答题7判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|x1|；（2）f（x）=（x1）·；（3）；（4）8已知函数.（1）若为奇函数，求的值；（2）若在上恒大于0，求的取值范围。9设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(,0)内单调递增，f(2a2+a+1)<f(3a22a+1).求a的取值范围，并在该范围内求函数y=()的单调递减区间.10已知函数y=

41、f(x) ()，对任意非零实数， ，恒有（1）试判断函数f(x) 的奇偶性；（2）若f(x) 在上是单调递增函数，且 f(16)=4，解不等式15二次函数【基础知识】1二次函数图象的顶点的坐标是_ .当a>0时，在区间_ 上递减，在区间_上递增；当x=_ 时，函数f(x) 取到最_ 值；当a<0 时，在区间 _ 上递增，在区间_ 上递减；当x=_ 时，函数f(x) 取到最_值.2一元二次方程的判别式为 _ ，当 <0 时，方程_实根,当=0 时，方程有_实根；当>0 时，方程有_ 实根，方程的求根公式为x=_ 若，为方程 的两根，则根与系数之间的关系为+=_ ，=_.3

42、一元二次不等式的解由_ ，_和_ 三个因素确定.【基础训练】1已知函数的图象如下图所示，则 b的取值范围是 ( ) Ab>0 B b<0 Cb<-1 D -2<b<-12已知抛物线 的顶点坐标为(0,k)， ， (mR) ，则 ( )A B C D p,q 的大小与m,k 的值均有关3已知二次函数 ，若区间-1，1内至少存在一个实数c ，使f(c) >0 ，则实数p 的取值范围是 ( ) A B C D 4关于x 的不等式恒成立，则a 的取值范围是_.5函数 ，若f(-4)=f(0) ，f(-2)= -2 ，则关于x 的方程 f(x)=x 的解的个数为_.【

43、典型例题】例1设二次函数 (a>0) 满足f(m)<0 ，试判断f(m+1)的正负.例2 关于x 的方程 =0 的两根满足 求实数m 的取值范围.例3设二次函数 ，方程 f(x)-x=0 的两个根 ，,满足0<<<. （1）当 时，证明:x< f(x) < ； （2）设函数f(x) 的图象关于直线x=对称，证明：<.【规律总结】 1二次函数, 一元二次方程 一元二次不等式的相关内容参见教材 2二次函数有三种表示形式：，,，要根据题目不同的内容选择相关的形式. 3涉及二次方程根的问题，要注意判别式以及二次项系数是否为零的问题. 4闭区间上的二次函数的最值问题，关键是看对称轴在不在给定区间上. 5二次方程根的分布问题，应结合抛物线图象特点，如开口方向，对称轴位置，判别式等条件，列出字母参数应满足的等式或不等式（组）来求解. 6本节重点是二次函数的有关知识，难点是三个“二次”的相互关系的判别与应用.【拓展训练】一、选择题1二次函数y=f(x) 的图象过原点，且它的导函数的图象是如下图所示的一条直线，则y=f(x) 的顶点在 （ ） A第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D第四象限2若为偶函数，则f(x