全国高中数学联赛山东省预赛试题及答案

1、2011年全国高中数学联赛山东省预赛试 题一、选择题（每小题6分，共60分）1已知集合（） . (A) (B) (C) (D) 2已知, 若为实数，则最小的正整数的值为（） . (A) (B) (C) (D) 3已知成等比数列，q:， 则是的（） . (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分且必要条件 (D) 既不充分也不必要条件4函数的单调递增区间是（） . (A) (B) (C) (D) 5已知均为正实数，则的最大值为（） . (A) 2 (B) (C) 4(D) 6直线与在区间上截曲线所得的弦长相等且不为零，则下列描述正确的是（） . （A）（B）（C）（D）7有6名

2、同学咨询成绩老师说：甲不是6人中成绩最好的，乙不是6人中成绩最差的，而且6人的成绩各不相同那么他们6人的成绩不同的可能排序共有 （） . (A) 120种 (B) 216 种 (C) 384 种 (D) 504种8若点在曲线上,点在曲线上，则的最小值是（） . (A) (B) (C) (D) 9已知函数 (为常数，)，且，则的值是（） . (A) 8 (B) 4 (C) (D) 10在等差数列中，若，且它的前项和有最大值，那么当取最小正值时， （）. (A) 1 (B) 10 (C) 19 (D) 20二、填空题（每小题6分，共24分）11已知，记的最大值为，则的表达式为 . 12已知，则 .

3、 13设为抛物线上相异两点，则的最小值为_14已知中，是重心，三内角的对边分别为，且，则=_三、解答题（本大题共5题，共66分）15(12分)不等式对恒成立求实数的取值范围16. （12分）已知在正方体中，分别为的中点，且 求四面体的体积17. （12分） 在平面直角坐标系中, 已知圆与圆相交于点，, 点的坐标为, 两圆半径的乘积为若圆和均与直线: 及轴相切，求直线的方程18. （15分）甲乙两人进行某种游戏比赛，规定每一次胜者得1分，负者得0分；当其中一人的得分比另一人的多2分时即赢得这场游戏，比赛随之结束；同时规定比赛次数最多不超过20次，即经20次比赛，得分多者赢得这场游戏，得分相等为和

4、局已知每次比赛甲获胜的概率为（），乙获胜的概率为假定各次比赛的结果是相互独立的，比赛经次结束，求的期望的变化范围19. （15分） 集合 若满足：其任意三个元素，均满足，则称具有性质，为方便起见，简记具有性质的所含元素最多的集合称为最大集试问具有性质的最大集共有多少个？并给出证明本文档选自华东师范大学出版社的高中数学联赛备考手册（2012）（预赛试题集锦），该书收录了2011年各省市预赛试题和优秀解答。预赛命题人员大多为各省市数学会成员，试题在遵循现行教学大纲，体现新课标精神的同时，在方法的要求上有所提高。命题人员大多同时兼任各省市高考命题工作，试题对高考有一定的指导作用，本书架起了联赛与高考

5、的桥梁，是一本不可或缺的备考手册。图书推荐： “奥数”联赛冲刺篇 “奥数”IMO 终极篇更多免费图书资料，请在百度文库中搜索“学奥数，这里总有一本适合你”。解 答1B. 提示：，所以 2A. 提示：，是使为实数的最小的正整数 3A. 提示：充分性显然成立，必要性不成立例：. 4A. 提示：由对数函数的性质知，则或当时，为增函数；当时，为减函数 5B. 解法一 令，则所以解法二 令， 则， 此时，即有显然当时，；当时，所以函数在, 即时取得最大值 6D. 提示：函数，的图象只有被及这样的两直线所截，截得的弦长才能相等，且不为零所以截取函数的图象所得弦长相等且不为零的两直线应为，即有解得，进而7D

6、. 解法一 以记甲成绩排名第一的所有可能的排序之集， 以记乙成绩排名为最后的所有可能的排序之集，则，甲排名第一或乙排名最后的所有可能的排序数为 按照老师所述，这位同学成绩可能的排序数为 解法二 以乙的成绩不在最后为前提，考虑甲的成绩不在第一的所有可能排序（1）甲的成绩排在最后的所有可能的排序数为；（2）甲的成绩不在最后，又不在第一的所有可能排序数为所以甲不在首，乙不在尾的所有可能排序数为xyo8C. 提示： 两抛物线，关于直线对称所求的最小值为抛物线上的点到直线距离的最小值的两倍设为上任意点,则,9B. 提示：由已知可得又令，则有 从而有 即知 10C. 提示：设该等差数列的公差为显然 由，知

7、 且 因此由知从而有所以11提示：, 令，则 且抛物线顶点的横坐标为，所以即12提示：原方程等价于：所以或 由（1）得：，且函数在上为增函数所以 由此得所以 令，易知在上单调递增，且当时，；当时，因此当且仅当时，由（2）得：因为 ，故无整数解，即此方程无解综上所述, 原方程的解为13. 解法一 设，则设直线和轴交于点若直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，将其代入抛物线方程得由二元一次方程根与系数的关系得， 由此得所以当直线的斜率不存在时，有所以仍有显然，当且仅当时，即直线的斜率不存在时等号成立， 有最小值解法二 设，则所以当时，取最小值14. 提示：因为，所以所以因为不共线，所以有设则，由余

8、弦定理可得 所以15设，则有， ，原不等式化为： 即,整理得因为 ，即得令， 则函数在上单调递减，所以在上的最大值为即知的取值范围为16. 连结交于，连结，则因为分别为的中点，所以，因此又因为面，在平面内，所以由此得 面因为 ，所以 .在梯形中因此四面体的体积为 17. 由题意知，共线. 设圆与圆的半径分别为，直线的斜率为.令，则圆与圆的圆心分别为，, 两圆的方程分别为 xyOC1C2点是两圆的公共点，所以由此可知是方程的两个根，即有从而知直线的方程为18. 以记比赛经次结束的概率若为奇数，则甲乙得分之差亦为奇数， 因而有考虑头两次比赛的结果：（1）甲连胜或乙连胜两次，称为有胜负的两次，此结果

9、出现的概率为；（2）甲乙各胜一次，称为无胜负的两次，此结果有两种情况，故出现的概率为比赛经次结束，必为偶数，则1,2两次，3,4两次，两次均未分胜负若，则第两为有胜负的两次，从而有若，比赛必须结束， 所以 综上所述 由，知令，则，所以令则因 ，所以有 19. 令，对任一，令显然，集合设最大集元素的个数为，则若，设中除之外的最小元为，集合中与的乘积大于的元素个数记为，则结论1 当时，有事实上，若有，即，则可解得不难验证，当时，均有令，且，这里，设，且结论2 若是最大集，则事实上，否则的话，由结论1，知，因为，所以 因此容易求得：， ，所以，这与为最大集矛盾结论3 若是最大集，则假定.(1) 当时， 由结论2的证明可知因为，则 由此知和中至少有一个不属于，所