几何模块教师版

1、教 师：学 生：上课时间：2013年 月 日 : - :上课地点： 校区上课进度：第 讲 几何模块综合复习知识框架板块一 三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化比如当高变为原来的3倍，底变为原来的，则三角形面积与原来的一样这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高

2、和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图 夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图；反之，如果，则可知直线平行于等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比板块二 鸟头模型两个三角形中有一个角相

3、等或互补，这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比如图在中，分别是上的点如图 (或在的延长线上，在上)，则 板块三 任意四边形模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：或者蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系板块四 梯形模型的应用梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：；的对应份数为梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果

4、板块五 相似三角形模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ；所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形模块六 燕尾定理在三角形中，相交于同一点，那么上述定理给出了一个

5、新的转化面积比与线段比的手段，因为和的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明一下燕尾定理：如右图，是上任意一点，请你说明：【解析】 三角形与三角形同高，分别以、为底，所以有；三角形与三角形同高，；三角形与三角形同高，所以；综上可得. 例题精讲【例 1】 如图，长方形的面积是平方厘米，点、分别是长方形边上的中点，为边上的任意一点，求阴影部分的面积 【解析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用连接、，同理，(平方厘米)【例 2】

6、 长方形的面积为36，、为各边中点，为边上任意一点，问阴影部分面积是多少？【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接、，如下图： 可得：、，而 即； 而， 所以阴影部分的面积是： 解法二：特殊点法找的特殊点，把点与点重合，那么图形就可变成右图： 这样阴影部分的面积就是的面积，根据鸟头定理，则有： 【例 3】 已知的面积为平方厘米，求的面积【解析】 ，设份，则份，份，份，份，恰好是平方厘米，所以平方厘米【例 4】 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形边长为6厘米，三角形的面积为_平方厘米【解析】 由题意知、，可得根据”共角定理”可得，；而；所以；同理得，;，故(平方厘米)【例5】(

7、小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，AOB面积为1平方千米，BOC面积为2平方千米，COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是692平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【分析】 根据蝴蝶定理求得平方千米，公园四边形的面积是平方千米，所以人工湖的面积是平方千米【例6】如图，平行四边形的对角线交于点，、的面积依次是2、4、4和6求：求的面积；求的面积【解析】 根据题意可知，的面积为，那么和的面积都是，所以的面积为；由于的面积为8，的面积为6，所以的面积为，根据蝴蝶定理，所以，那么【例7】如图，长方形中，三角形的面积为平方厘米，求

8、长方形的面积 【解析】 连接，因为，所以因为，所以平方厘米，所以平方厘米因为，所以长方形的面积是平方厘米【例8】(2006年南京智力数学冬令营)如下图，梯形的平行于，对角线，交于，已知与的面积分别为 平方厘米与平方厘米，那么梯形的面积是_平方厘米 【解析】 根据梯形蝴蝶定理，可得，再根据梯形蝴蝶定理，所以(平方厘米)那么梯形的面积为(平方厘米)【例9】如图面积为平方厘米的正方形中，是边上的三等分点，求阴影部分的面积【解析】 因为是边上的三等分点，所以，设份，根据梯形蝴蝶定理可以知道份，份，份，因此正方形的面积为份，所以，所以平方厘米【例10】 如图，在长方形中，厘米，厘米，求阴影部分的面积【解

9、析】 方法一：如图，连接，将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形的面积为平方厘米由于，根据梯形蝴蝶定理，所以，而平方厘米，所以平方厘米，阴影部分的面积为平方厘米方法二：如图，连接，由于，设份，根据梯形蝴蝶定理， 份，份，份，因此份，份，而平方厘米，所以平方厘米【例11】 (2007年”迎春杯”高年级初赛)如图，长方形被、分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形的面积为_平方厘米 连接、四边形为梯形，所以，又根据蝴蝶定理，所以，所以(平方厘米)，(平方厘米)那么长方形的面积为平方厘米，四边形的面积为(平方厘米)【例12】如图，平行，若，那么_【解析】 根据金字塔模

10、型，设份，则份，份，所以【例13】 如图， 中，互相平行，则 【解析】 设份，根据面积比等于相似比的平方，所以，因此份，份，进而有份，份，所以【例14】如图：平行， ，求的长度【解析】 在沙漏模型中，因为，所以，在金字塔模型中有：，因为，所以【例15】(年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)如图，四边形和都是平行四边形，四边形的面积是，则四边形的面积_【解析】 因为为平行四边形，所以，所以为平行四边形，那么，所以又，所以，根据沙漏模型，所以【例16】（2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形的面积是，是的中点，点在上，且，与交于点则四边形的面积等于 【解析】 方法一：连接

11、，根据燕尾定理，, 设份，则份，份，份，如图所标所以方法二：连接，由题目条件可得到，所以，而所以则四边形的面积等于【例17】如图所示，在四边形中，四边形的面积是，那么平行四边形的面积为_       【解析】 连接,根据燕尾定理,设,则其他图形面积，如图所标，所以.【例18】 （2009年清华附中入学测试题）如图，四边形是矩形，、分别是、上的点，且，与相交于，若矩形的面积为，则与的面积之和为 【解析】 (法1)如图，过做的平行线交于，则，所以，即，所以且，故，则所以两三角形面积之和为(法2)如上右图，连接、根据燕尾定理，而，所以，则，

12、所以两个三角形的面积之和为15【例19】(2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图，三角形中，且三角形的面积是，则三角形的面积为_，三角形的面积为_，三角形的面积为_ 【分析】 连接、由于，所以，故；根据燕尾定理，所以，则，；那么；同样分析可得，则，所以，同样分析可得，所以，【例20】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是，则阴影四边形的面积是多少？【解析】 方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算.再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形设三角形为，和交于，则，再连结所以三角形的面积为3.设三角形的

13、面积为，则，所以，四边形的面积为方法二：设，根据燕尾定理,得到，再根据向右下飞的燕子，有，解得四边形的面积为家庭作业作业检测1.如图，三角形中，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形的面积是多少？【解析】 ，；又，(平方厘米)2.(2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形中，已知三角形、三角形、三角形的面积分别是89，28，26那么三角形的面积是 【解析】 根据题意可知，所以，那么，故3.是长方形内一点，已知的面积是，的面积是，求的面积是多少？【解析】 由于是长方形，所以，而，所以，则，所以4.如图，求【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作

14、是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的种情况最后求得的面积为5.如图，在中，已知、分别在边、上，与相交于,若、和的面积分别是3、2、1，则的面积是 【解析】 这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解根据蝴蝶定理得 设，根据共边定理我们可以得，解得6.右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米 【分析】 连接由于与是平行的，所以也是梯形，那么根据蝴蝶定理，故，所以(平方厘米)7.(98迎春杯初赛)如图，长方形中，是直角三角形

15、且面积为54，的长是16，的长是9那么四边形的面积是 【解析】 解法一：连接，依题意，所以，则又因为，所以，得，所以 解法二：由于，所以，而，根据蝴蝶定理，所以，所以8.如图，中，与平行，的面积是1平方厘米那么的面积是 平方厘米【解析】 因为，与平行，根据相似模型可知，平方厘米，则平方厘米，又因为，所以(平方厘米)9.如图，线段与垂直，已知，那么图中阴影部分面积是多少？ 【解析】 解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看作辅助线，则图形关于对称，有，且 设的面积为2份，则的面积为3份，直角三角形的面积为8份因为，而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为解法二：连接、由于，所以，根据相似三角形性质，可知，根据梯形蝴蝶定理，所以，即；又，所以10.如右图，三角形中，求.【解析】 根据燕尾定理得 （都有的面积要统一，所以找最小公倍数）所以11. 如右图，三角形中，且三角形的面积是，求三角形的面积【解析】 连接BG，份根据燕尾定理，得(份)，(份)，则(份)，因此,同理连接AI、CH得,所以三角形GHI的面积是1，所以三角形ABC的面积是1912.如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、B