半连续函数的性质与应用

1、摘 要函数的种类极为复杂. 在函数论中, 连续函数的性质和应用占有相当重要的地位. 有一类函数虽然不连续, 但却具有一些与连续函数相近的性质, 即连续函数的一个推广半连续函数. 从而得到了比连续函数更广泛的一类函数的性质. 通过对半连续函数的研究, 对半连续函数在数学分析中的应用奠定了理论基础. 首先简述连续函数的性质与应用, 之后重点讨论半连续函数的性质, 详细介绍运算性, 保号性, 以及拓扑空间上半连续函数性质定理. 推广到紧致空间中半连续函数的应用. 最后辨析连续函数与半连续函数性质、应用, 最终应用连续函数性质解决半连续函数的问题.实际上半连续函数理论在古典分析和现代分析中都有着较为广

2、泛的应用. 比如在最优化问题、变分不等式问题、相补问题及对策论问题都有着举足轻重的作用.关键词：半连续；连续；函数AbstractCategory of function is very complicated. Characterization and application of continuous functions are very important in the function theory. Although a kind of function is also continuous, its characterization is similar with the cont

3、inuous functions, which is called extension of the continuous functions semi-continuous functions, thus a kind of function with more winder characterization is obtained.Through the study, half of the continuous function in the mathematical analysis continuous function which lay a theoretical foundat

4、ion for the application. First, this paper expounds the nature of the continuous function and application, and then discusses the nature of the semi-continuous functions, detailed mathematical and application, introduced the number of topological space, and the first half of the continuous function

5、theorem of generalized to nature. Tight space in the application of semi-continuous functions. Finally differentiate continuous function and semi-continuous functions properties, application, and finally application continuous function semi-continuous functions nature solution of the problem. Half a

6、 continuous function in the classical theory analysis and modern analysis has a wide range of applications. For example, in the most problems, variational inequalities, phase problems and countermeasures for the theory of and so on all has a pivotal role.Key words: semicontinuous; continuous; functi

7、ons; 目 录摘要IAbstractII绪论1第1章 连续函数 21.1 连续函数的性质 2 连续函数的局部性质及应用 2 闭区间上连续函数的基本性质 31.1.3 一致连续性及其应用 4第2章 半连续函数 72.1 上下半连续函数的性质 7 运算性质及应用 7 保号性及应用 8 无介值性 8 函数的界 82.1.5 内闭区间上有界 92.1.6 保半连续性 102.2 拓扑空间上半连续函数的性质 122.2.1 运算性质及其应用 132.2.2 确界性质及其应用 14 紧致空间上的半连续函数 152.2.4 长度的半连续性 15第3章 半连续函数的异同 173.1 半连续函数与连续函数的比

8、较 173.2 半连续函数与连续函数区别 18第4章 运用连续函数解决半连续函数问题20结论22参考文献23致谢24绪 论函数的种类极为繁多. 在函数论中, 连续函数和它的的性质占有相当重要的地位. 有一类函数虽然不连续, 但却具有一些与连续函数类似的性质. 这就是所谓半连续函数. 半连续函数理论在古典分析和现代分析中都有着较为广泛的应用. 上(下)半连续概念自提出以来已得到广泛应用, 例如最优化问题、变分不等式问题、相补问题及对策论问题等等. 并且通过对半连续函数性质的研究, 可以证得闭区间上半连续界的存在性. 半连续函数存在广泛的应用价值, 可将自变量的取值空间从一维延拓到一般的拓扑空间.

9、 并对性质进行深入的研讨. 很多学者都在研究这类课题. 在国内, 张风、魏建刚于1999年6月下半连续函数的逼近性质中讨论了下半连续的广义实值函数, 通过Lipschitz函数逼近的基本性质, 并由此导出了实值函数的广义连续性定理. 刘丽波, 许洁, 崔晓梅, 蒋慧杰在2008年2月发表的下半连续函数的充要条件中主要针对下半连续函数在闭区间上充要性进行论证, 并且构造出半连续的阶梯函数. 在国外, Magassy OUSMANE,WU Cong-xin于2002年2月在模糊实函数中讨论了模糊半连续函数、半连续函数的逼近性. 函数的半连续性在广义函数论、积分论以及凸分析等很多学科中均有广泛应用.

10、 关于半连续函数的定义, 在不同的集合上有不同的表述: 如文献1在距离空间中定义了半连续函数, 文献2在Banach空间中定义了半连续函数, 文献3给出了拓扑空间中半连续的定义, 其他方式的定义可参见文献4-14, 但其本质都是相同的. 本文的第一部分简单论述连续函数的性质,第二部分再详细讲述半连续函数定义的基础上, 证明闭区间上的上半连续函数是有上界、下半连续函数是有下界的. 给出判定函数在闭区间上是上半连续的充要条件, 至于下半连续函数的情形也同样可仿照进行. 在拓扑空间上半连续函数的性质中介绍运算性质及确界性质. 给出这两种性质的应用. 并且对紧致空间中相应的理论进行介绍. 之后的第三章

11、主要辨析连续函数与半连续函数性质、应用上的异同. 运用对比分析的方法来解决半连续问题中的难点. 最终把理论与实际相结合, 把半连续函数理论问题结合到人类日常生活实践中去, 更好的运用书本上的知识解决了日常中实际问题. 第1章 连续函数函数的种类繁多, 而连续函数是高等数学中重点讨论的一类函数. 在人类生活的自然界中存在许多现象, 它们和连续函数有很大的关联. 例如温度的变化, 农作物的生长等都是连续地变化的, 这类现象在函数关系上的反映, 就是函数的连续性定义1.115(函数的连续性) 1(定义) , , 使得, 当时, 恒有则称函数在点处连续2若, 则称在点连续例1.1 易知函数在点处是连续

12、的, 因为1.1 连续函数的性质1.1.1 连续函数的局部性质及应用如果函数在点连续, 那么在点处有极限, 而且其极限值与函数值相等, 根据函数极限的性质能推断出函数在的性态定理1.1(局部有界性) 如果函数在点处连续, 那么函数在某内有界证 设=, 取, 则, 使得对一切有这就证明了函数在内有界定理1.2(局部保号性) 函数在连续, 且有 (或), 则对任何正数(或), 存在某, 使得对一切有 (或) 在具体应用局部保号性的时候, 可取, 则当时, 在某, 有成立定理1.3(四则运算性) 若函数和在点连续, 则, , (这里)也都在点连续以上两个性质的证明, 都可以由函数极限有关定理推得.定

13、理1.4(复合函数的连续性) 连续函数的复合函数是连续的. 即函数在点处连续, 在点处连续, 则复合函数在点处是连续的. 证 由于在连续知, , , 当时有 (1-1) 又因为, 以及在点连续, 所以对, , 使得当, 有, 由(1-1)得: , , 当时有因而, 得出在点连续例1.2 求解 可以看作是函数与的复合得 闭区间上连续函数的基本性质定理1.5(函数在闭区间上最大、最小值) 如果函数在闭区间上连续, 那么存在在上有最大值与最小值 证 因为函数在上有界, 由确界原理可以得到, 的值域有上确界, 记作下证使, 倘若对于一切有成立, 令, . 又知道函数在上连续, 因而在上有上界. 假设:

14、是的一个上界, 则存在, 推出, , 这与为的上确界 (最小上界) 相矛盾, 所以使得. 即在上有最大值同理可以得到在上有最小值推论1.2(有界性定理) 若函数在闭区间上连续, 则有在上有最大值与最小值 定理1.6(介值性定理) 如果函数在闭区间上连续. 而且还有, 假设为介于与之间的任何实数(或)，那么至少存在点使得. 例题 1.3 证明:如果有, 为正整数, 那么存在唯一正数, 使得(称为的次正根)即算数根, 记作 证 存在性, 当时有, 因而存在正数使得, 因为在上连续, 而且有, 故由介值性定理至少存在一点, 使得. 唯一性 设正数, 使有因，故，即. 一致连续性及其应用定义1.4 若

15、函数定义在区间上, 对, , 使得, , 只要, 有则称函数在区间上一致连续 定理1.7(一致连续性定理) 如果函数在闭区间上连续, 那么有函数在上一致连续例1.4 假设区间的右端点为, , 区间的左端点也为, (可分别为有限或无限区间) 按一致连续性的定义. 证明:如果函数分别在和上一致连续, 那么函数在上也一致连续证 , 由于函数在和上的一致连续性, , 使得, , 只要, 就有, , 只要, 就有点作的右端点, 函数在点为左连续, 作的左端点, 函数在点为右连续, 所以函数在点连续, 因而对, 当时有令, , , , 对1, 同时属于或同时属于, 则成立2, 分别属于与, 设, 则因而由

16、得, 同理得到从而成立, 得出函数在上一致连续. 例题1.5 证明:在区间上有穷个一致连续函数的和与它们的乘积在此区间内仍是一致连续的证 由有穷个函数相加成或相乘可逐次分解成两个函数相加或相乘, 因而, 假设与都在区间上一致连续, , 由在上一致连续, 使中与, 当时, 有又因为在上一致连续, , 使得中, 与当时, 有令当（与为中任何两点)时, 有因而得到在上是一致连续的性质1.5 如果函数在有限区间上是一致连续的, 那么函数在上必有界证 , , 使得中, , 当时, 有 当, 时, 有；当, 时, 有, 因此, 根据柯西收敛准则, 得知与存在例题1.6 在闭区间上定义函数:因而在闭区间上连

17、续, 从而有界, 因此在区间上有界性质1.6 如果函数与在区间上一致连续，那么在上也是一致连续的. 证 , , 使得, , 根据与在区间上的一致连续性, 取, 对区间中的与, 当时, 有, 得 因而得到在区间上是一致连续的第2章 半连续函数半连续函数是连续函数的拓展, 它弱于连续函数, 实际应用较为广泛, 本章研究半连续函数的概念与性质. 在此基础上, 对连续函数的性质与半连续函数的性质进行比较分析. 首先用“”语言来叙述半连续函数的定义定义2.1 , , 当时, 有, 则称函数在点处上半连续, , 当时, 有, 则称函数在点处下半连续由定义知道, 函数在点处连续的充要条件, 是函数在点处同时

18、上、下半连续例2.1 假设函数是从到的, , 而对于, 对于所有的偶整数, 在点是下半连续的, 对于所有的奇整数, 在点既不是下半连续的也不是上半连续的2.1 上下半连续函数的性质2.1.1 运算性质及应用性质2.1 如果在闭区间上, 函数, 上（下)半连续, 那么它们的和也在闭区间上上（下)半连续性质2.2 如果在闭区间上, 函数和上半连续(或和, 且下半连续), 它们的积在闭区间上为上半连续的, 如果上（下）半连续, 为下（上半连续）, 那么下（上)半连续性质2.3 如果在闭区间上, 函数上（下）半连续, 那么在闭区间上下（上)半连续性质2.4 如果函数在处上半连续, 而且有, , 使得时

19、有如果函数在点处下半连续, 而且还有, 那么, 使得时, 性质2.5 如果函数在闭区间上, 上 (下) 半连续, 那么有1函数在闭区间上有上 (下) 界, 即使得时, 有2函数在闭区间上能达到其上 (下) 确界即, 使得证 1应用用半连续的定义证明性质2.1, 因为函数, 都是上半连续的, , , 当, 时有, 所以, 因而得出在闭区间上上半连续 2应用上半连续的等价描述性质2.1, 因为函数, 在闭区间上上半连续, 故时, 又因为所以得出函数在闭区间上上半连续2.1.2 保号性及应用定理2.2(上半连续函数的局部保负性) 即是如果函数在点处上半连续, , 那么, 使得时有. 同理可得下半连续

20、具有局部保正性2.1.3 无介值性 半连续函数, 介值性定理不成立例2.2 设在闭区间上, 函数是上半连续的, 但是没有使得2.1.4 函数的界 定理2.3 有界闭区间上的上半连续函数必有上界, 并且能达到上确界. 也就是说: 如果函数在闭区间上上半连续, 那么1函数在闭区间有上界, 即, 对存在, 2. 函数可以在闭区间上达到上确界, 即, 使得存在证1. 应用反证法, 假设函数在闭区间上无界, , 使由致密性原理, 在中存在收敛的子序列, 使得 (当)又因为为闭区间, 因而有, 但是, 当时, , 所以得到 但是函数在闭区间上上半连续, 有, 推得与题意相互矛盾因为函数有上界, , 如果函

21、数在闭区间上达不到上确界, 那么, , , 所以得到在闭区间上上半连续, 从而有上界, , 使得有因而得出, 这与相互矛盾2假设由得到, , 使得为函数在点处的子极限, 因为函数上半连续, 得推出利用有限覆盖定理可以证明结论, , 使得 ()从闭区间的开覆盖中可以造出有限个子覆盖于是得到为函数在闭区间上的界2.1.5 内闭区间上有界性质2.3 如果函数在区间内上(或下)半连续, 那么必然存在内闭区间使得函数在区间上保持有界证 设函数在区间内下半连续, 设 函数在闭区间上无界, 得到1有, 因为函数下半连续, 使得并且有2因为函数在任何闭区间上无上界, 所以对, 使得, 又因为函数的下半连续性,

22、 , 使得时, 有3以此类推得到区间长度为 (当时) 而且在每个区间上, 恒有4根据区间套定理得知, , 因而,因此与题意相互矛盾. 推理可知, 连续函数单调序列的极限不一定是连续的例2.4 在区间上连续, 当增加时单调递减有极限但函数在区间上不连续2.1.6 保半连续性性质2.4 假设函数在上是有定义的, 并且是上半连续函数, 那么就有, , 有, 则在上上半连续(表示从下方趋近, 表示从上方趋近). 证 1, 应为有, 所以, , 当时, 有2设是固定的, 因为函数在上上半连续, , 当时有时有3, , 因而有得出函数在上上半连续 注记2.5 如果函数序列在区间上有定义, 那么每个都连续,

23、 则在闭区间上有1当时, 函数上半连续； 2当时, 函数下半连续 定理2.6 如果函数在闭区间上有定义,那么上半连续, 则存在一个递减的连续函数序列得注记2.6 上半连续函数, 总可以用连续函数从上方逼近证 (构造函数) 对于固定的点与, 函数是的连续函数, 所以上半连续, 已知函数是上半连续的,是的上半连续函数, 从而得到在闭区间上有上界, 并且达到上确界即使得令（证明函数连续)由上式得到 , 得到得到. 此时对于, 都成立, 与互换也同时成立, 因而得出表明函数在闭区间上连续如果要证得函数, 假设则有因而得到 序列有下界的证明, 固定的在=中令, 得到, 故而, 有下界因而得到存在, 并且

24、有如果要证得, 因为函数上半连续, , , 当, 时有又因为函数上半连续, 因而在闭区间上上有界, 因此对于固定的, 当时, 有因为如果有, 则的邻域使得在此邻域之外, 但是函数在闭区间上有上界, 即得, 使得, 因此有与, (时) 相互矛盾得到, 当时, 有, 于是由得到, 但是有, 令取极限, 得, 由, 知道, 得出2.2 拓扑空间上半连续函数的性质关于半连续函数的定义, 在不同的集合上有不同的表述, 但是其中的本质是相同的, 我们用表示拓扑空间, 表示实直线, 表示自然数集, 表示点的开邻域, 表示的开邻域, 或表示中的序列, 表示空集, 表示集合的内部定义2.7 设是一个拓扑空间,

25、函数, 1如果函数在点处是上半连续的, 那么, 使得, 恒有；2如果函数在点处是下半连续的, 那么, 使得, 恒有；3如果函数在点处是连续的, 那么, 使得, 恒有；4如果函数是上（下）半连续的, 那么在上每一点是上（下）半连续从而函数在点处连续, 当且仅当函数在点处既是上半连续的又是下半连续的性质 2.7 拓扑空间中的一个集合成为集, 则它是这个空间中的可数个开集的交推论2.7 假设是一个拓扑空间, 函数, 则有函数是上半连续的；, 开于（开于）；, 闭于 (闭于)2.2.1 运算性质及其应用运算性质的基本性质是, 实直线上半连续函数的形式在图谱空间中的推广定理2.8 设为拓扑空间, , 1

26、如果函数, 均是上、下半连续的, 那么它们的和上 (下) 半连续；2如果函数上 (下) 半连续, 那么有函数, 则为下 (上) 半连续；3如果函数上 (下) 半连续, 那么函数为下 (上) 半连续证明：对2上半连续进行证明, 下半连续的情况同理可以证明1与2应用实直线上半连续函数的证明可以得到, 这里就不予以证明证 , , 又因为函数在点处是上半连续的, 则使得, 恒有, (其中) 因为有, , 有由于, 得到在上是下半连续的例 2.816 设为拓扑空间, , 1如果函数, , 均是上(下)半连续, 而且有 (), 则存在在上是上半连续的；2如果函数上半连续, 有, 但是是下半连续, 有, 那

27、么存在在上是下半连续的；3如果函数是下半连续的, , 是上半连续的, , 使得在上为上半连续证1 因为函数, 假设函数, 并且有函数；, 因为函数, 在上均是上半连续的, , 使得有, 其中因而得到在上均是上半连续2, , , 有, 则有从而得到在上是下半连续的3, 因为有, , 则存在, () 由于函数的下半连续性与函数的上半连续性, 使得有, 2.2.2 确界性质及其应用定理2.917 设是一族从到的实值函数1如果每一个在上是上半连续的, 那么在上是上半连续的；2如果每一个在上是下半连续的, 那么函数在上是下半连续的证 1因为；则有又因为, 恒有, 则有因此得到, 有, 则有所以有, 即是

28、, 从而得出所以证得函数是上半连续的因为都是上半连续的, , 有闭于, 故而得到闭于, 进而得到函数是上半连续的 2.2.3 紧致空间上的半连续函数定理2.10 对于所有从一个紧致空间到内的下半连续的映射, 至少存在的一个点, 使得. 事实上, 令对于所有的, 使得的的集合是闭集, 并且是非空的另外, 的族对于包含关系是全序的, 这是由于是的递增函数, 因为的交集不是空集在这个交集任意取一个点, 对于所有的, 有, 因而另外, 由于的定义, 有, 故推论2.10 总有从一个紧致空间到内的下半连续的映射在上是有下界的事实上, 我们有对于上半连续的函数有类似的结论如果我们应用这些结果到连续函数,

29、就重新得到原先的断言：紧致空间上的连续函数取到下确界和上确界的结论 下一节就研究这些结论对于变分法的一个重要应用2.2.4 长度的半连续性一条曲线的长度是这条曲线的函数；当曲线在我们就要明确的意义下连续变动时, 人们可能期待它的长度也连续地变化. 其实根本不是这样. 像下面的初等例子所表明的那样：设是方程为的平面曲线. 立即得到所有这些曲线有同样的长度, 这是一个数. 而当时, 这些曲线一致收敛到线段. 因而这个一致收敛不蕴含长度的收敛可以修改这个例子, 而用任何大于等于的数代替. 但是值得注意的是不能用一个小于的数代替. 换句话说, 收敛到线段的曲线长度的下极限等于. 这正是下半连续性, 我

30、们精确的表述这个事实参数化曲线空间:设是的一个紧致区间, 是一个距离空间. 根据前面的定义, 所有从到内的连续映射定义一条参数化曲线, 于是可以考虑从到内的连续映射的集合作为上的的参数化曲线的集合. 取与由定义的一致收敛的与这个距离关联的拓扑作为上的拓扑对于, 用表示由定义的曲线的长度. 我们有了一个定义在拓扑空间上的数值函数定理2.11 长度是的的下半连续函数证 对于的所有有限子集, 其中, 对于所有令对于所有, 从到内的映射是连续的, 于是对于所有, 映射是连续的推论2.11 从到内的映射 (的全变差) 是下半连续的对于变分法的应用：单变量变分法的问题直译是在给定的曲线集合里求一条曲线,

31、其长度是最小的第3章 半连续函数的异同3.1 半连续函数与连续函数的比较半连续函数与连续函数联系非常的紧密. 正如上面所提到的, 实际上半连续函数就是连续函数的拓展所形成的, 它们具体有多少联系我们举例来说明例3.1 如果函数在闭区间上(下)半连续, 那么函数在上有上(下)界证 假设函数在闭区间上半连续但没有上界, 由假设得到, 存在一数列得, 因为为有界数列, 必有收敛的子数列设因为有, 从而函数在点上半连续 由定义, , , 当 () 有又因为对于, 时有, 从而当时有 () 即 (), 它与题意矛盾, 因而上半连续函数在闭区间上有上界同理证得函数在闭区间上(下)半连续有下界. 进而得出上

32、 (下) 半连续函数不仅有界, 而且还能达到上 (下) 确界例3.2 如果函数在闭区间上上半连续, 那么在使得证 假设函数在闭区间上取不到上确界, 即对, , 令, . 因为函数在闭区间上上半连续, , , 使得当时, 有 () ，即, 得到为下半连续函数, 因而函数上半连续, 所以函数在闭区间上有界, 设为函数的一个上界, 有, 得到 () 与相互矛盾, 因而结论成立. 同理得到：下半连续函数在闭区间上必能取到下确界3.2 半连续函数与连续函数区别两个连续函数的和仍然是连续函数, 但是两个半连续函数的和不一定是半连续函数反例3.3 假设, 得到函数处处上半连续, 而处处下半连续, 但是在点处

33、是不连续的 反例3.4 假设, () 、都是处处半连续的, 但是是无处半连续的设为闭区间上对来说的单调不增的上半连续函数列且有下界, 则存在且函数在闭区间上上半连续证 因为是对来说的单调不增且有下界的函数列, 从而存在证明 函数在闭区间上连续.证 假设函数不是上半连续的, 则及收敛于点的数列使得当充分大时有又由于得到这与上半连续相互矛盾. 因而函数在闭区间上上半连续同理得到, 如果函数是闭区间上对来说的单调非减的下半连续函数列而且有上界, 那么存在, 并且函数在闭区间上下半连续半连续的这一个性质是连续函数所没有的, 就是说单调有界连续的函数列的极限函数未必是连续的假设, 因为函数在区间上连续,

34、 单调有界, 的极限函数为所以函数在区间上不是连续函数假设函数在所有有理点为上半连续, 在所有的无理点为下半连续, 但是函数处处不连续 (只要把2与-2改写成一相同数值, 函数变为在有理数与无理数上处处连续) 第4章 运用连续函数解决半连续函数问题 在我们所学习的教材中连续函数章节提到过黎曼函数, 那是我们初学函数时, 证明过程比较简单. 现在我就用连续函数的性质进行拓展, 进而去解决半连续函数上黎曼函数的证明Riemann 函数 在无理点处, 既是上半连续又是下半连续, 在有理点时上半连续, 但不下半连续 (函数在某点处连续的充分必要条件是函数在点处同时上、下半连续)假设为无理数, , 满足

35、的正整数, 显然只有有限个 (但至少有一个, 例), 从而使的有理数只有有限个 (至少有一个, 例), 设为取则对, 当为有理数时, 有；当为无理数时于是有证明了在无理点处连续, 即在此点处既是上半连续又是下半连续同理设为内任意有理数, 取, , 在内, , 使得因此在有理点处上半连续, 而非下半连续的我们可以自己构造下半连续函数半连续函数至少像连续函数一样接近于我们的感觉经验下面例举一个实例, 已便于我们理解当我们注视不透明的物体时, 在所有从我们的眼睛出发的任意半直线上, 仅能看到此物体的单独一个点, 这个点到我们眼睛的距离是这条半直线的方向函数. 这个函数不是连续的, 而是下半连续的,

36、只要我们认为所观察的物体是一个闭集事实上, 给定一个拓扑空间, 设是乘积空间的一个闭子集. 对于所有, 设是横坐标为的的点的纵坐标的下确界, 这个例子可以试用到上所有下半连续的函数的证明. 结 论半连续函数是连续函数的拓展, 它弱于连续函数. 对半连续函数的问题的解决, 通过研究连续函数的性质与应用的方法，去剖析半连续函数的性质及其应用问题. 本文是从上连续函数的定义着手, 进而讨论在不同空间中的半连续函数,文献4-14对拓扑空间上半连续函数运算性、确界性的性质定理进行阐述. 文章首先是简单介绍连续函数理论, 在实数集中是分层叙述半连续函数的运算性、保号性、无介值性、界的存在性理论问题，但是本

37、文在研究实数集理论, 又通过对文献4-14的研究在拓扑空间上半连续函数, 运算性、确界性的应用得以证明, 而对紧致空间上半连续函数简介, 将其应用到长度的半连续性, 达到本文的升华. 在第三章中就是对连续函数与半连续函数的总结, 运用举例证明, 进行对比分析, 明晰连续函数与半连续函数的差异, 解决问题.最后运用我们熟知黎曼函数在无理点时既是上半连续又是下半连续, 但是在有理点处运用连续性质理论, 以及半连续性质定理, 得出了黎曼函数在有理点处上半连续, 而非下半连续的结论. 半连续函数性质定理是固定的. 但是半连续函数在我们生活与实践中的应用却是随处可见. 就如文中所提的实例中的情况而言, 对于半连续问题是我们知识积累过少, 在实际的生活上应用不能得心应手. 因此在以后进一步的研究中, 应该熟知理论与实际的结合, 最大程度的发挥理论与实践集合理论, 把数学知识运用到生活中去. 对于半连续函数在生活中的理论研究会进一步在社会时间中得到拓展. 参考文献1