2019高考数学二轮复习第9讲三角恒等变换与解三角形专题突破文

1、第9讲三角恒等变换与解三角形典型真题研析六年典型x题，选一法.结诙，拓展研i1 .(1) 2015 全国卷 I已知 a, b, c 分别是 ABCJ 角 A B, C 的对边，sin 2B=2sin Asin C.若a=b,求cos B;若B=90° ,且a=A,求 ABC勺面积.2 2) 2015 全国卷 II AABC43, 口是 BC上的点，ADF分/ BACBD=2DC.sin/LB求而”；若/ BAC=0 ,求/ B.试做命题角度解三角形的问题(1)近五年的高考试题中，经常出现的题型有：正弦定理、余弦定理与三角变换的综合；正弦定 理、余弦定理与三角形面积的综合；正弦定理、余

2、弦定理与三角变换及三角形面积的综合.(2)解三角形问题的步骤：第一步，利用正、余弦定理进行边角转化；第二步，利用三角恒等变换求边与角； 第三步，代入数据求值； 第四步，转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性.解三角形问题的总体思路是转化思想和消元横心考点聿面提升跤用I,孝法，思维敬考点考法探究工解答1三角形基本量的求解1在 ABC3,内角A B, C所对的边分别为 a, b, c,且c-b=2bcos A.a=2'''6, b=3,求边 c 的长;10(2)7TC=，求角B的大小.2在 ABC，内角A B, C所对的边分别是 a, b, c,且2ccos B=2a

3、-b.求角C的大小；(2)当c=3时，求a+b的取值范围.【考场点拨】求解三角形中的边和角等基本量，需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角 之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.工解答2与三角形面积有关的问题幽3在 ABN，内角A B, C所对的边分别为 a, b, c,且满足asin B+%bcos( B+C=0, a=/.求角A的大小；(2)若b=2,求 ABC勺面积.听课笔记【考场点拨】高考中与三角形面

4、积有关问题的解题策略：(1)三角形的面积问题，归根结底是解三角形问题，有时和其他知识综合考查，如求面积最大值(最小值)时，常与函数、基本不等式等结合考查.(2)在解与三角形面积有关的问题时，要熟记30。，45。，60。等特殊角的三角函数值以便在解题中应用.【自我检测】在ABC43，内角 ABC 的对边分别是 a, b, c,且小 a cos C=(2b-Bc)cos A.求角A的大小；(2)若a=2,求 ABCM积的最大值.，解答3以平面几何为载体的解三角形问题04 如图 M2 9-1,在四边形 ABC珅，/DAB=,AD： AB=2 ： 3, BD='7 , A- BC. 求sin

5、/ ABD勺值；(2)若/ BCD=，求CD勺长.AB图 M2 9-1【考场点拨】以平面几何为载体的问题，主要注意以下几方面：一是充分用好平面几何图形的性质是出现多个三角形时从条件较多的三角形突破求解；三是四边形问题要转化为三角形问题去 求；四是善于用好三角形中的不等关系 (如大边对大角，最大角一定大于或等于Q),从而可以 确定角或边的范围.【自我检测】如图 M2 9-2,在ABC3, B=,BC2(1)若AC=3,求边AB的长.的(2)若点D在边AB上,AD=DCDEEL AC E为垂足，ED=，求角A的大小.图 M2 9-2模块二 三角函数与平面向量第9讲 三角恒等变换与解三角形典型真题研

6、析1.(1)解：由题设及正弦定理可得 b2=2ac.又a=b,所以可得b=2c, a=2c.十d- 1由余弦定理可得 cos B= '=；.由知b2=2ac.因为B=90。，所以由勾股定理得 a2+c2=b2.故 a2+c2=2ac,得 c=a= ,所以ABC勺面积为1.(2)解：由正弦定理得AD BD AD DCsinR=sinRAD sinCinCAD ,.因为 ADK>/ BACBD2DC所以sinii DC 1S'""， .因为/ 0=180° -(/BACM E), /BAC60° ,所以sin / C=sin( / BA

7、C+ B)=木 1士 cos/ B+ sin / B. 书由知 2sin / B=sin / C,所以 tan / B=3 ,即/ B=30° .考点考法探究解答1例 1 解: 由 c-b=2bcos A及 a2=b2+c2-2bccos A,c-b b2 + c2 - a1得,二',;a2=b2+bc,代入 a=2#, b=3,得 c=5.(2)由 c-b= 2bcos A及正弦定理，得 sin C-sin B=2sin Bcos A,jrirC=,1-sin B=2sin Bcos('-B),1即 2sin 2B+sin B-1=0，解得 sin 8=或 sin

8、B=-1(舍),it n又 0<b<, . .bMC-sin B例 2 解:(1)由正弦定理可得 2sin Cbos B=2sin A-sin B,又 A=tt-(B+C, ：2sin Ccos B=2sin( B+C-sin B,即 2sin Sos B=2sin Bcos C+2cos Bsin1：2sin Bcos C=sin B 又sin Bw 0, ： cos C=,又 0<C<兀,：C=.-:sin- rr(2)由正弦定理5加力=丽8=M,得a=2t .tan a=3, .A=.Ji h" + d 0'1 4 4- 19(2) / A= ,

9、cos A= 2次 ,.>. = 2 x 2匚:c=5,15、&.ABC勺面积 S=bcsin A= 2【自我检测】sin Ab=2%：*sin B:a+b=2 . (sinA+sin B) =2.TiSsin A+sin A+ ' =2.' sinA+- cos A=6sin A+2ti tt tt 5ttA e( 0, 3 ), . a+ e (& 6 ), a+be (3,6.解答2例 3 解:(1)由正弦定理得 sin Asin B-%'*sin Bcos A=0, . sin A=J cos A - cos Aw 0,解: 由正弦定理可得

10、 vsin Acos C=2sin Bcos A-vsin Ccos A从而可得 pisin( A+C=2sin Bcos A,即 Vsin B=2sin Bcos A.在又B为三角形内角，所以sin Bw 0,于是cos A=Z ,IT又A为三角形内角，所以A=.£(2)由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A得4=b2+c2-2bc ? n 2bc-"与bc,当且仅当b=c时等号成立，1所以bcW4(2+J),所以ABC勺面积S=bcsin Aw 2+V与，故 ABO积的最大值为 2+V%解答3例 4 解: AD： AB=2 ： 3,：可设 AD=2k, AB：3

11、k,k>0.JI又 BD=Z / DAB=,JT：由余弦定理得('V%2=(3k)2+(2k)2-2x3kX2kcos：，解得 k=1, /.AD=2, AB=3.ADsinjLDAB 2 21 由正弦定理得sin ZABD=80= " = 7 .包(2)AB ± BC ：cos /DBC=in/ ABD= 7, . sin27 BD CD/44DBC=7 , .sEBCD=m。"，.CD= 2=3 .【自我检测】解:(1)设AB=Xx>0),则由余弦定理得 A(C=AEB+B(C-2AB- BCcos BJI 即 32=x2+22- 2x 2

12、cos , 解得x=v*+1(负值舍去), 所以AB= +1./ED yjb(2)因为 ED= ,所以 AD=DC=1-4 =sinA .CDBC在 BCD,由正弦定理可得si£RDC=lnR, 施2n2 sin As in- 因为/ 8口。=人所以豆悭24=3,也 花所以cos A=2 ,所以A=.ZN却佩= 田壮日教师备用例题直角三角形或钝角三角形是重要的应用;有关三角形的面积问题，一般情况是求三,关于已知三角形面积之比求其他元素例备选理由用余弦定理判断三角形是锐角三角形、备用例1就是利用余弦定理解决锐角三角形问题 角形的面积，或者是已知三角形的面积求其他元素2没有涉及，备用例2

13、是对例2的补充和拓展，而且思维逻辑性更强例1 配例1使用在 ABCP, AB=4, AC技 若16cos A=1,求BC的长及BC边上白高h;(2)若 ABC锐角三角形，求 ABC勺周长的取值范围解: 16cos A=1, ： cos A=6, , sin A= 1，'.21+(54-2x4x(5x-16,7 =71 1由等面积法可得2x4X6sin A=X7h, 3/255 h=:(2)设 BC=Xx>0),.AB勃锐角三角形，：角ARC均为锐角，又AB<AC：C<B.+ x2 - 6Z > 0,1 2)则 cos A>0,cos B>0,于是(4

14、 + 6 -尤 >0,：2 <x<2,故ABC勺周长的取值范围是(10+2.，10+2/).例2 配例2使用在 ABC中，D是BC上的点，AD平分/ BACB=2C AB面积与 ACDB积的比为2 : 3.求cos C的值；(2)若AC=2,求DC的长.1解: 因为 $ ab=2AB- ADSin / BAD1&ac= AC- ADSin / cad1-AHADsinBAD2“皿 1AB 2三一 -ACADsinCAD所以 =,sinB AC 3由正弦定理知 =,sinT-C 3 2sinCcosC 33从而 克虱=2,即 sinC 工，所以cos C=.(2)方法一

15、：由知cos C=,则sin C=;1 -匕"气工=4 ,所以 sin B=sin 2 C=2sin Ccos C=2X 4 x4="， 31cos B=cos 2 C=2cos2C-1=2X2-1=.AB 2又由知百。=,所以一一 BD 22设 DC=Xx>0),由"乂6="。= ,得 BD=x.在 ADC43，由余弦定理得 AD=AC+DC-2AC DCCos C3即 AD=2+x2-2vx - 4,整理得AD=2+x2- 2 x.在ABD，由余弦定理得 aD=aB+dBt2AB- DBCos R8 2221即 aD="+(2-2X*' x *x ”,8 42整理得AD=®+9x2- 9 x, 联立得2x2- 5x+4=0,解得 x= 2 或 x=2%'2.5、笈5 5位因为 BC<AB+AC=,所以 *x< 3，即 x<<2,所以x=T,即dc=t.331方法二：由 知 cos C=,所以 cos B=cos 2 C=2cos 2C-1 =2 X( 4)2-14,f L _ B z £/三随sin C=1''；i： ' = .= :,sin B=sin 2 C=2sin Ccos C=2X X =：1 3 3 巾 yp 9则 cos