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文档简介

1、竞赛练习3东南大学贺传富一、求函数的值域。解：要求的值域，只需求出函数的最大值与最小值即可。注意到：函数为偶函数，故只需考虑x0的情况。为计算方便，命t=x2，得到，显然，与有相同的值域。求的驻点：。命，得到驻点，其对应的函数值为，显然，当k=2m(m=0,1,2,)时，其中最大值为；当k=2m+1 (m=0,1,2,)时，其中最小值为。于是得到函数的值域，亦即函数的值域为：。二、证明：当x > 2时，。证明：设，。又设：，则。由拉格朗日中值定理知，存在，使1 / 7，而，又，故。从而，当x > 2时，即单调减少，从而。命题得证。三、设在区间上具有二阶导数，且，。证明。证明：对任意

2、的，及任意的h > 0，使x + h (a，+)，于是有，其中。即故，（，h > 0）命，试求其最小值。命，得到，所以，在处得极小值，亦即最小值，。故，（）。四、 证明：当充分小时，不等式成立。 设，求。证明： 因为，又注意到当充分小时，所以成立不等式。 由知，当n充分大时有，故，而，于是，由夹逼定理知。五、设n为自然数，计算积分。解：注意到：对于每个固定的n，总有，所以被积函数在x = 0点处有界（x = 0不是被积函数的奇点）。又，于是有，上面的等式对于一切大于1的自然数均成立，故有。所以六、设函数在闭区间-2,2上具有二阶导数，且，证明：存在一点(-2,2)，使得。证明：在区

3、间-2,0和0,2上分别对函数应用拉格朗日中值定理；。注意到：，因此，。命：，则在区间-2,2上可导，且；。故在闭区间上的最大值，且。由弗马定理知。而 ，故 。由于，所以，从而。七、设函数在闭区间a,b上具有连续的二阶导数，证明：存在(a,b)，使得。证明：将函数在点处作泰勒展开，并分别取x=a和b，得到；。两式相加得到。由于连续，由介值定理知，存在使得，从而得，即 。八、证明。证明：方法一（利用积分估值定理）命，对上式右端的第二个积分，取变换，则，于是注意到：被积函数的两个因子在区间上异号（，），由积分估值定理得知必有I0，即知原不等式成立。方法二（利用积分中值定理）命，由积分中值定理，并在区间上取变换，同时注意到：，得九、设函数在0，1上连续，且，试证：，使得；，使得。证明： 使用反证法，即假设当时，恒有成立，于是有。因此有 ，。从而有 。于是有，即，这显然与矛盾，故，使得为真。 仍然使用反证法。只需证，使得即可。这是显然的，因为若不然，则由在0，1上的连续性知，必有或成立，这与矛盾，再由的连续性及的结果，利用介值定理即可证得，使得。十、计算。解： 十一、设函数在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且有，则至少存在一点，使得。证明：由积分中值定理知，存在，使。又，故若设，显然满足罗尔定理的各个条件，从而至少存在一点使。

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