三十八章 动手操作型问题

1、三十八章 动手操作型问题10（2012湖北荆州，10，3分）已知：顺次连结矩形各边的中点，得到一个菱形，如图；再顺次连结菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图；然后顺次连结新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图；如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形的个数有( )A8048个 B4024个 C2012个 D1066个图 图 图【解析】本题是规律探索题。观察图有4个直角三角形， 图有四个直角三角形，图有8个直角三角形，图有8个直角三角形，图图有12个直角三角形可以发现规律图图图图 4 8 12 16 直角三角形的个数，依次增加4个，并且图形中直角三角形的个数是图形序号的2倍，所以第

2、2012个图形中直角三角形的个数有4024个【答案】B【点评】对于规律探索题，关键是寻找变化图形中的不变的规律。（2012·哈尔滨，题号22分值 6）22 图l、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1点A和点B在小正方形的顶点上(1)在图1中画出ABC(点C在小正方形的顶点上)，使ABC为直角三角形(画一个 即可)； (2)在图2中画出ABD(点D在小正方形的顶点上)，使ABD为等腰三角形(画一个即可)；【解析】本题考查网格中的作图能力、勾股定理以及等腰三角形性质.（1）可以分三种情况来考虑：以A（）为直角顶点，过A（）作垂线（点不能落在格点上）以C

3、为直角顶点：斜边AB=5，因此两直角边可以是3、4或、；（2）也分可分三情况考虑：以A（B）为等腰三角形顶点：以A（B）为圆心，以5为半径画弧来确定顶点C；以为等腰三角形顶点：作AB垂直平分线连确定点C（点不能落在格点上）.【答案】【点评】本题属于实际动手操作题，主要考查学生对格点这一新概念的理解能力、直角三角形、等腰三角形的概念及性质的掌握情况和分类讨论的数学思想，有一定的难度，容易错解和漏解25. ( 2012年四川省巴中市,25,9)如图5,在每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形方格纸中有OAB,请将OAB绕点O顺时针旋转900,画出旋转后的OAB折纸:有一张矩形纸片如图6,要将点D

4、沿某直线翻折1800,恰好落在BC边上的D处,请在图中作出该直线.ADBCDABO图6图5【解析】如图OAB即是旋转900后的图形，折痕为直线DD的垂直平分线EF.ADBFDABOABE【答案】画图见解析【点评】本题是对图形变换中的旋转及轴对称变换的考查.24(2012广安中考试题第24题，8分)（8分）现有一块等腰三角形纸板，量得周长为32cm，底比一腰多2cm。若把这个三角形纸板沿其对称轴剪开，拼成一个四边形，请画出你能拼成的各种四边形的示意图，并计算拼成的各个四边形的两条对角线长的和。思路导引：动手操作，注意分类讨论，进行长度计算问题，联系平行四边形的性质：对角线互相平分，以及直角三角形

5、中的勾股定理分别对每一种情况进行解答解析：设AB=AC=xcm，则BC=（x+2）cm，根据题意得出x22x=32，解得x=10。因此AB=AC=10cm，BC=12cm，过点A做ADBC于点D，AB=AC，ADBC，BD=CD=6cm，AD=8cm，可以拼成4种四边形，如图所示：图（1）中两条对角线之和是1010=20（cm），图（2）中两条对角线之和是（）（cm），图（3）中，BO=两条对角线之和是（）（cm），图（4）中，SABC=AC×BC=AB×OC，所以OC=，两条对角线之和是×210=19.6（cm）；点评：几何图形的有关剪切、拼接的动手操作问题，往

6、往多解，因此应当分类讨论，分类个数根据得出的几何图形的判定方法以及性质进行，图形的有关计算，往往联系直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数进行.专项四 动手操作型问题（38 ）22（2012北京，22，5）操作与探究： （1）对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点的对应点. 点在数轴上，对线段上的每个点进行上述操作后得到线段，其中点的对应点分别为如图1，若点表示的数是，则点表示的数是 ；若点表示的数是2，则点表示的数是 ；已知线段上的点经过上述操作后得到的对应点与点重合，则点表示的数是 ； （2）如图2，在平面直角坐标系中，对正方形及其内部的

7、每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数，将得到的点先向右平移个单位，再向上平移个单位（），得到正方形及其内部的点，其中点的对应点分别为。已知正方形内部的一个点经过上述操作后得到的对应点与点重合，求点的坐标。【解析】（1）3×+1=0；设B点表示的数为a，a+1=2，a=3；设点E表示的数为a, a+1=a，解得a=(2)由点A到A，可得方程组；由B到B，可得方程组，解得设F点的坐标为（x,y），点F与点F重合得到方程组，解得，即F（1，4）【答案】（1）0，3，（2）F（1，4）【点评】本题考查了根据给出的条件列出方程或方程组，并解方程组的知识。五、解答题（本题共2

8、2分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23（2012北京，23，7）已知二次函数 在和时的函数值相等。（1） 求二次函数的解析式；（2） 若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点，求和的值；（3） 设二次函数的图象与轴交于点（点在点的左侧），将二次函数的图象在点间的部分（含点和点）向左平移个单位后得到的图象记为，同时将（2）中得到的直线向上平移个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象有公共点时，的取值范围。【解析】利用已知条件求二次函数及一次函数解析式。平移后的临界点讨论。【答案】解：（1）由题意和时的函数值相等可知，解得，二次函数的解析式为（2）二次函数图象必经过点A一次函数y

9、=kx+6的图象经过点A3k+6= 6，k=4（3）由题意可知，点间的部分图象的解析式为，则向左平移后得到的图象的解析式为此时平移后的解析式为由图象可知，平移后的直线与图象有公共点，则两个临界的交点为与则 坐标为（-n-1,0）坐标为（3-n,0） 【点评】前两问都比较简单，第三问有一定难度，考察学生对于函数图象平移的理解，以及对于直线与抛物线位置关系的运用。此题的关键在于临界点讨论需要同学们能够表示出临界点的坐标，带入直线解析式即可得到n的取值范围。24（2012北京，24，7）在中，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段。 （1） 若且点与点重合（如图1），线段的延长线交射

10、线于点，请补全图形，并写出的度数； （2） 在图2中，点不与点重合，线段的延长线与射线交于点，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明； （3） 对于适当大小的，当点在线段上运动到某一位置（不与点，重合）时，能使得线段的延长线与射线交于点，且，请直接写出的范围。【解析】动点问题和几何变换结合【答案】 连接，易证 又 ， 且 点不与点重合【点评】此题并没有考察常见的动点问题，而是将动点问题和几何变换结合在一起，应用一个点构造2倍角。需要同学们注意图形运动过程中的不变量，此题可以用倒角（上述答案的方法）或是构造辅助圆的方法解决。25（2012北京，25，8）在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“

11、非常距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“非常距离”为； 若，则点与点的“非常距离”为. 例如：点，点，因为，所以点与点的“非常距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值（点为垂直于轴的直线与垂直于轴的直线的交点）。 （1）已知点，为轴上的一个动点， 若点与点的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点的坐标； 直接写出点与点的“非常距离”的最小值； （2）已知是直线上的一个动点， 如图2，点的坐标是（0，1），求点与点的“非常距离”的最小值及相应的点的坐标； 如图3，是以原点为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点与点的“非常距离”的最小值及相应的点和点的坐标。【解析】几何图形最值问题【答案】

12、 或 设坐标当此时距离为此时.从第二题第一问的作图中可以发现，过C点向x、y轴作垂线，当CP和CQ长度相等的时候“非常距离”最短，理由是，如果向下（如左图）或向上（如右图）移动C点到达C点，其与点D的“非常距离”都会增大。故而C、D为正方形相对的两个顶点时有最小的非常距离。过O作直线的垂线，交O于点E，此时点E离直线最近，易得设D（x0,x0+3）根据分析得知EF=EF最小值1。【点评】此题是第一次在代数题目中用到了定义新运算，题目很新颖。知识点融合度较高。需要同学们有较强的阅读理解题目的能力和数形结合能力。计算并不复杂，关键在于对于几何图形最值问题的探讨。18（2012浙江省温州市，18，8

13、分）如图，在方格纸中，的三个顶点及A、B、C、D、E五个点都在小方格的顶点上。现以A、B、C、D、E中的三个点为顶点画三角形。（1）在图甲中画出一个三角形与PQR全等；（2）在图乙中画出一个三角形与PQR面PQR积相等但不全等【解析】一定要牢牢把握全等三角形的判定条件。全等三角形的条件必须有一个边作为条件，然后通过观察，找到其他合适的边和角面积相等的条件一般是等底，等高。【答案】【点评】本题是一道方案设计题，考察了学生的应用知识的能力，考查的方式比较灵活23. （2012浙江省衢州，23，10分）课本中，把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸.请思考解决下列问题：（1）将一张标准纸ABCD(ABB

14、C)对开，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸.请给予证明.（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD(ABBC)进行如下操作： 第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE(如图2甲)；第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG(如图2乙) .此时E点恰好落在AE边上的点M处；第三步：沿直线DM折叠(如图2丙)，此时点G恰好与N点重合.请你研究，矩形纸片ABCD是否是一张标准纸？请说明理由.（3）不难发现，将一张标准纸如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸.现有一张标准纸ABCD，AB1，BC，问第5次对开后所得标准纸的周

15、长是多少？探索并直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长.【解析】（1）证明矩形ABEF长与宽之比为；（2）利用ABEAFE和勾股定理证明矩形ABCD长与宽之比为；（3）利用第（1）的结论进行规律探索.【答案】解：（1）是标准纸.理由如下： 矩形ABCD是标准纸， 由对开的含义知：AF 1分 矩形纸片ABEF也是标准纸. 2分（2）是标准纸.理由如下：设ABCDa 由图形折叠可知：DNCDDGa 3分 DGEM 由图形折叠可知：ABEAFE DAEBAD45°ADG是等腰直角三角形 4分在RtADG中，AD 5分矩形纸片ABCD是一张标准纸 6分（3）对开次数第一次第二次第三次第四

16、次第五次第六次周长2(1+)2(+)2(+)2(+)2(+)2(+)第5次对开后所得的标准纸的周长为： 8分 第2012次对开后所得的标准纸的周长为： 10分【点评】本题着重考查了线段的比，图形的折叠，三角形全等的判定和勾股定理以及规律探索问题，主要培养学生的阅读能力、观察能力和归纳总结能力找规律的题目，应以第一个图形为基准，细心观察，得到第n个图形与第一个图形之间的关系解题的关键是认真阅读题目，从中找出相关的知识点运用定义和定理进行解答.专项四 动手操作型问题（38 ）10（2012四川内江，10，3分）如图3，在矩形ABCD中，AB10，BC5，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿

17、EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，则阴影部分图形的周长为A15 B20 C25 D30ABCDEFA1D1图3【解析】由折叠，知阴影部分图形的周长EA1A1D1BCFCEBD1FEAADBCFCEBDF(EAEB)ADBC(FCDF)ABADBCCD2(ABBC)2(105)30【答案】D【点评】折叠问题中蕴涵轴对称的数学道理，解决时往往需要从线，角，形三方面考虑此题是单从线的方面发现折叠前后的相等线段，结合矩形的性质考查学生“做数学，学数学”的能力，并从中渗透整体思想16. （2012江苏盐城，16，3分）如图，在ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，B=50

18、0，现将ADE沿DE折叠，点A落在三角形所在平面内的点为A1，则BDA1的度数为 .【解析】本题考查了角的计算.掌握折叠的性质是关键.先由中位线定理证明DEBC，得到ADE=B=500，再由折叠可知：ADE=EDA1，再利用邻补角就可以计算出BDA1的度数.【答案】因为D、E分别是边AB、AC的中点，所以DEBC，所以ADE=B=500，再由折叠可知：ADE=EDA1，所以BDA1=1800-500-500=800.【点评】本题以折纸为背景，考查了邻补角的性质，平行线的性质、三角形中位线定理以及折叠后角重合等问题，考查了同学们的分析问题、解决问题的综合能力.（2012四川成都，25，4分）如图

19、，长方形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图： 第一步：如图，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用)； 第二步：如图，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分； 第三步：如图，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片 (注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠) 则拼成的这个四边

20、形纸片的周长的最小值为_cm，最大值为_cm解析：通过操作，我们可以看到最后所得的四边形纸片是一个平行四边形，其上下两条边的长度等于原来矩形的边AD=6，左右两边的长等于线段MN的长，当MN垂直于BC时，其长度最短，等于原来矩形的边AB的一半，等于4，于是这个平行四边形的周长的最小值为2（6+4）=20；当点E与点A重合，点M与点G重合，点N与点C重合时，线段MN最长，等于，此时，这个四边形的周长最大，其值为2（6+）=12+。答案：20；12+.点评：本题需要较好的空间想象能力和探究能力，解题时可以边操作边探究。将最终的四边形的一周的线段分成长度不变的和可以变化的，然后研究变化的边相关的边的

21、变化范围，这是一种转化思想。23. （2012浙江省衢州，23，10分）课本中，把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸.请思考解决下列问题：（1）将一张标准纸ABCD(ABBC)对开，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸.请给予证明.（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD(ABBC)进行如下操作： 第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE(如图2甲)；第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG(如图2乙) .此时E点恰好落在AE边上的点M处；第三步：沿直线DM折叠(如图2丙)，此时点G恰好与N点重合.请你研究，矩形纸片ABCD是否

22、是一张标准纸？请说明理由.（3）不难发现，将一张标准纸如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸.现有一张标准纸ABCD，AB1，BC，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索并直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长.【解析】（1）证明矩形ABEF长与宽之比为；（2）利用ABEAFE和勾股定理证明矩形ABCD长与宽之比为；（3）利用第（1）的结论进行规律探索.【答案】解：（1）是标准纸.理由如下： 矩形ABCD是标准纸， 由对开的含义知：AF 1分 矩形纸片ABEF也是标准纸. 2分（2）是标准纸.理由如下：设ABCDa 由图形折叠可知：DNCDDGa 3分 DGEM 由图形折叠可知：ABEAFE DAEBAD45°ADG是等腰直角三角形 4分在RtADG中，AD 5分矩形纸片ABCD是一张标准纸 6分（3）对开次数第一次第二次第三次第四次第五次第六次周长2(1+)2(+)2(+)2(+)2(+)2(+)第5次对开后所得的标准纸的周长为： 8分 第2012次对开后所得的标准纸的周长为： 10分【点评】本题着重考查了线段的比，图形的折叠，三角形全等的判定和勾股定理以及规律探索问题，主要培养学生的阅读能力、观察能力和归纳总结能力找规律的题目，应以第一个图形为基准，细心观察，得到第n个图形与第一个图形之间的关系