截面的静矩和形心位置及惯性矩的计算

1、oyz-1 截面的静矩和形心位置截面的静矩和形心位置一、一、 定义定义dA yz截面对截面对 z , y 轴的静矩为轴的静矩为：AzydASAyzdAS静矩可正，可负，也可能等于零静矩可正，可负，也可能等于零。yzo dA yz 截面的形心截面的形心 C 的坐标的坐标 公式为：公式为：zycAAydAySzAAAzdAzSyA截面对形心轴的静矩等于零。截面对形心轴的静矩等于零。若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心。若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心。yASzzASy 二二 、 组合截面组合截面截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，就等于该截截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和

2、，就等于该截面对于同一轴的静矩。面对于同一轴的静矩。 由几个简单图形组成的截面称为组合截面由几个简单图形组成的截面称为组合截面其中：其中： Ai 第第 i 个简单截面面积个简单截面面积 第第 i个简单截面的形心坐标个简单截面的形心坐标),(zyii组合截面静矩的计算公式为组合截面静矩的计算公式为yASiniiz1niiiyzAS1 计算组合截面形心坐标的公式如下：计算组合截面形心坐标的公式如下：niiniiiAyAy11niiniiiAzAz111010120o80 取取 x 轴和轴和 y 轴分别与截面轴分别与截面的底边和左边缘重合的底边和左边缘重合解：将截面分为解：将截面分为 1，2 两个矩

3、形。两个矩形。12x1y1x2y2yxAAxAxAAxAxniiniii21221111 AAyAyAy212211 例例 1-1 试确定图示截面心试确定图示截面心 C 的位置的位置。1010120o8012x1y1x2y2yx矩形矩形 1mmA21120012010 mmx51 mmy601 矩形矩形 2mmA227007010 mmx45270102 mmy52 所以所以4 40 0m mm m1 19 90 00 07 75 55 50 00 0A AA Ay yA Ay yA Ay y2 20 0m mm m1 19 90 00 03 37 75 50 00 0A AA Ax xA A

4、x xA Ax x2 21 12 22 21 11 12 21 12 22 21 11 11010120o8012x1y1x2y2yx),(xyC -2 极惯性矩极惯性矩 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 yz0dAyz 截面对截面对 o 点的极惯性矩为点的极惯性矩为定义：定义：dAdA2 2I IA Ap pd dA A2 2d dA A2 2z zy yA AA AI II Iz zy 截面对截面对 y ,z 轴的惯性矩分别为轴的惯性矩分别为因为因为2 2z z2 2y y2 2Ip = Ix + Iy所以所以 xy0dAxy dAdA2 2I IA Ap px xy yd dA AI IA A

5、x xy y截面对截面对 x , y 轴的惯性积为轴的惯性积为xydxdxydAA AI Ii i, ,A AI Ii ix xx xy yy y截面对截面对 x , y 轴的惯性半俓为轴的惯性半俓为例例 2 _ 1 求矩形截面对其对称轴求矩形截面对其对称轴 x , y 轴的惯性矩。轴的惯性矩。 dA = b dy解解：bhxyCydy1232222bhdybydAyIhhAx dAyIAx 2123hbIy 例例 2 - 2 求圆形截面对其对称轴的惯性矩求圆形截面对其对称轴的惯性矩 。解：因为截面对其圆心解：因为截面对其圆心 O 的的极惯性矩为极惯性矩为 yxd所以所以644dIIyx 32

6、4dI IIIyx IIyx xyoC(a,b)ba一一、 平行移轴公式平行移轴公式xc , yc 过截面的形心过截面的形心 c 且与且与 x , y 轴平轴平 行的坐行的坐 标轴（形心轴）标轴（形心轴） （a , b ) _ 形心形心 c 在在 xoy 坐标系下的坐标系下的 坐标。坐标。 -3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式惯性矩和惯性积的平行移轴公式 组合截面的惯性矩和惯性积组合截面的惯性矩和惯性积ycxcx , y 任意一对坐标轴任意一对坐标轴C 截面形心截面形心 Ixc ,Iyc , Ixc yc 截面对形心轴截面对形心轴 xc , yc 的惯性矩和惯性积。的惯性矩和惯性积。 Ix ,

7、Iy , Ixy _ 截面对截面对 x , y 轴的惯性矩和惯性积。轴的惯性矩和惯性积。 xyoC(a,b)baycxc则平行移轴公式为则平行移轴公式为AaIIxcx2 AbIIycy2 abAIIyxccxy 二、二、组合截面的惯性矩组合截面的惯性矩 惯性积惯性积 Ixi , Iyi , 第第 i个简单截面对个简单截面对 x ,y 轴的惯性矩轴的惯性矩、 惯性积。惯性积。Ixyi组合截面的惯性矩，惯性积组合截面的惯性矩，惯性积 n1iyiyII nixyixyII1 n1ixixII例例 3 -1 求梯形截面对其形心轴求梯形截面对其形心轴 yc 的惯性矩的惯性矩。解：将截面分成两个矩形截面。

8、解：将截面分成两个矩形截面。2014010020zcycy12截面的形心必在对称轴截面的形心必在对称轴 zc 上。上。取过矩形取过矩形 2 的形心且平行的形心且平行记作记作 y 轴轴 。于底边的轴作为参考轴，于底边的轴作为参考轴，所以截面的形心坐标为所以截面的形心坐标为140201 A801 Z201002 A02 Z2014010020zcycy12mmAAZAZAZC746212211. ZC2014010020y12ZCzcyc).(746801402014020121231 IyC).(7462010020100121232 IyCmIIIyCyCyC4621101212 .一一、 转

9、轴公式转轴公式 顺時针转取为顺時针转取为 号号 -4 惯性矩和惯性积的转轴公式惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩xoy 为过截面上的任为过截面上的任 点建立的坐标系点建立的坐标系 x1oy1 为为 xoy 转过转过 角后形成的新坐标系角后形成的新坐标系oxyx1y1 逆時针转取为逆時针转取为 + 号，号，显然显然y yx xy yx xI II II II I1 11 1 2sin2cos221xyyxyxxIIIIII IIIIIIxyyxyxy2sin2cos221 IIIIxyyxyx2cos2sin211 上式称为转轴公式上式称为转轴公式oxyx

10、1y1 二二 、 截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩 主惯性轴主惯性轴 总可以找到一个特定的角总可以找到一个特定的角 0 , 使截面对新坐标使截面对新坐标 轴轴 x0 , y0 的惯性积等于的惯性积等于 0 , 则称则称 x0 , y0 为主惯轴。为主惯轴。主惯性矩主惯性矩截面对主惯性轴的惯性矩。截面对主惯性轴的惯性矩。IIIIxyyxyx2cos2sin211 形心主惯性轴形心主惯性轴 当一对主惯性轴的交点与截面的形心当一对主惯性轴的交点与截面的形心 重合时，则称为形心主惯性轴。重合时，则称为形心主惯性轴。形心主惯性矩形心主惯性矩 截面对形心主惯性轴的惯性矩。截面对形心主惯性轴

11、的惯性矩。由此由此 主惯性轴的位置：设主惯性轴的位置：设 为主惯性轴与原坐标轴为主惯性轴与原坐标轴 之间的夹角，之间的夹角， 则有则有yx0II2tg x xy y2 2I I 02cos2sin200 xyyxIII 2 22 2x xy yy yx xy yx xy yx x4 4I II II I2 21 12 2I II II II I0 00 0 过截面上的任一点可以作无数对坐标轴，其中必有过截面上的任一点可以作无数对坐标轴，其中必有 一对是主惯性轴。截面的主惯性矩是所有惯性矩中一对是主惯性轴。截面的主惯性矩是所有惯性矩中 的极值。即：的极值。即：Imax = Ix0 , Imin

12、= Iy0 主惯性矩的计算公式主惯性矩的计算公式截面的对称轴一定是形心主惯性轴。截面的对称轴一定是形心主惯性轴。 确定形心确定形心 的位置的位置 AyAyAxAxiiiiii, 选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐 标轴标轴 x ，y, 计算计算 Ix , Iy , Ixy求形心主惯性矩的步骤求形心主惯性矩的步骤IIxixIIyiyIIxyixy 确定主惯性轴的位置确定主惯性轴的位置)2(021IIItyxxyg 计算形心主惯性矩计算形心主惯性矩IIIIIIIxyyxyxyx2214)(2200 y 20 c10101207080例例 4-1 计算所示图形的形心主惯性矩。计算所示图形的形心主惯性矩。解：该图形形心解：该图形形心 c 的位置已确定的位置已确定, 如图所示。如图所示。 过形心过形心 c 选一对座标轴选一对座标轴 X , y 轴，轴， 计算其惯性矩（积）。计算其惯性矩（积）。 xymmIx442323104.1001070)25(1070121101201510120121 y 20 c10101207080 xymmIy44104278 . mmxyI44103 .971070)35()25(0101202015