2一次函数与正比例函数

1、八年级数学八年级数学上上 新课标新课标 北师北师 第四章第四章 一次函数一次函数 学习新知学习新知检测反馈检测反馈 生活中充满着许许多多变化的量生活中充满着许许多多变化的量, ,你了解这些你了解这些变量之间的关系吗变量之间的关系吗? ?如弹簧的长度如弹簧的长度( (在弹性限度内在弹性限度内) )与所挂物体的质量与所挂物体的质量, ,输液时间与相应时间内水滴数输液时间与相应时间内水滴数目目了解这些关系了解这些关系, ,可以帮助我们更好地认识世可以帮助我们更好地认识世界界. .函数是刻画变量之间关系的常用模型函数是刻画变量之间关系的常用模型, ,其中最其中最为简单的是一次函数为简单的是一次函数,

2、,那么什么是一次函数那么什么是一次函数? ?用一用一次函数可以解决哪些问题呢次函数可以解决哪些问题呢? ?你想了解这些吗你想了解这些吗？生活中的函数模型生活中的函数模型 汽车的平均速度为汽车的平均速度为95 km/95 km/h,h,A A地直达北地直达北京的高速公路全程为京的高速公路全程为570 km,570 km,小明想知道汽小明想知道汽车从车从A A地驶出后地驶出后, ,距北京的路程和汽车在高距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系速公路上行驶的时间有什么关系, ,以便根据以便根据时间估计自己与北京的距离时间估计自己与北京的距离. .小明能得到一小明能得到一个什么样的关系式呢个

3、什么样的关系式呢? ?他是怎样想的他是怎样想的? ?猜猜猜猜看看. .学学 习习 新新 知知某弹簧的自然长度为某弹簧的自然长度为3 cm3 cm. .在弹性限度内在弹性限度内, ,所挂所挂物体的质量物体的质量x x每增加每增加1 kg,1 kg,弹簧长度弹簧长度y y增加增加0 0. .5cm5cm. .(1)(1)计算所挂物体的质量分别为计算所挂物体的质量分别为1 kg,2 kg,1 kg,2 kg,3 kg,4 kg,5 kg3 kg,4 kg,5 kg时弹簧的长度时弹簧的长度, ,并填入下表并填入下表: :(2)(2)你能写出你能写出y y与与x x之间的关系式吗之间的关系式吗? ?x/

4、kg012345y/cm33.544.555.5 当不挂物体时当不挂物体时, ,弹簧长度为弹簧长度为3 3厘米厘米, ,当挂当挂1 1千千克物体时克物体时, ,增加增加0 0. .5 5厘米厘米, ,总长度为总长度为3 3. .5 5厘米厘米, ,增加增加1 1千克物体千克物体, ,即所挂物体为即所挂物体为2 2千克时千克时, ,弹簧又增加弹簧又增加0 0. .5 5厘米厘米, ,总共增加总共增加1 1厘米厘米, , 由此可见由此可见, ,所挂物体为所挂物体为x x千克时千克时, ,弹簧弹簧就伸长就伸长0 0. .5 5x x厘米厘米, ,则弹簧总长为原长加伸则弹簧总长为原长加伸长的长度长的长

5、度, ,即即y=3+0.5x.y=3+0.5x.汽车行驶路程汽车行驶路程xkm 050100 150200300耗油量耗油量yL61218243036做一做做一做(2)(2)你能写出耗油量你能写出耗油量y y(L)(L)与汽车行驶路程与汽车行驶路程x x(km)(km)之间的关系式吗之间的关系式吗? ? 某辆汽车油箱中原有汽油某辆汽车油箱中原有汽油60 L,60 L,汽车每行驶汽车每行驶50 km50 km耗油耗油6 L.6 L.（1 1）完成下表：）完成下表：3y65 02 5xx(3)(3)你能写出油箱剩余油量你能写出油箱剩余油量z z(L)(L)与汽车行驶与汽车行驶路程路程x x(km)

6、(km)之间的关系式吗之间的关系式吗? ?x xz z2 25 53 36 60 0 解解：一次函数一次函数正比例函数正比例函数一次函数：一次函数：若两个变量若两个变量 x x、y y之间的关系可以表之间的关系可以表示成示成y=y=kx+bkx+b( (k,bk,b为常数，为常数，k k0 0）的形式，则称的形式，则称 y y是是x x的的一次函数一次函数。例如例如y=2x+1, y=x-1y=2x+1, y=x-1等都是一次等都是一次函数函数. .当当b=0时，称时，称y kx是是x的的正比例函数正比例函数归纳总结归纳总结例如例如, ,y=y=2 2x x, ,y=-y=-3 3x x等都是

7、正比例函数等都是正比例函数. . 正比例函数也是一次函数正比例函数也是一次函数, ,不过是特殊的不过是特殊的一次函数一次函数, ,就像是等边三角形与等腰三角形的关就像是等边三角形与等腰三角形的关系一样系一样. . 知识拓展知识拓展 例例1 1 写出下列各题中写出下列各题中y y与与x x之间的关系式之间的关系式, ,并判断并判断: :y y是否为是否为x x的一次函数的一次函数? ?是否为正比例函数是否为正比例函数? ?解解:(:(1)1)由路程由路程= =速度速度时间时间, ,得得y=60 x,yy=60 x,y是是x x的的一次函数一次函数, ,也是也是x x的正比例函数的正比例函数. .

8、 三、例题讲解三、例题讲解(2)(2)由圆的面积公式由圆的面积公式, ,得得y=xy=x2 2,y,y不是不是x x的的正比例函数正比例函数, ,也不是也不是x x的一次函数的一次函数. .(1)(1)汽车以汽车以60 km/h60 km/h的速度匀速行驶的速度匀速行驶, ,行驶路程行驶路程y(km)y(km)与行驶时间与行驶时间x(h)x(h)之间的关系之间的关系; ;(2)(2)圆的面积圆的面积y(cmy(cm2 2) )与它的半径与它的半径x(cm)x(cm)之间的关系之间的关系; ;(3)(3)某水池有水某水池有水15 m15 m3 3, ,现打开进水管进水现打开进水管进水, ,进水速

9、进水速度为度为5 m5 m3 3/ /h,xh,x h h后这个水池内有水后这个水池内有水y my m3 3. .解：解：(3)(3)这个水池每小时增加这个水池每小时增加5 m5 m3 3水水,x h,x h增加增加5x 5x m m3 3水水, ,因而因而y=15+5x,yy=15+5x,y是是x x的一次函数的一次函数, ,但不是但不是x x的的正比例函数正比例函数. .(3)(3)某水池有水某水池有水15 m15 m3 3, ,现打开进水管进水现打开进水管进水, ,进水进水速度为速度为5 m5 m3 3/ /h,xh,x h h后这个水池内有水后这个水池内有水y my m3 3. .【思

10、考思考】两个变量之间存在函数关系两个变量之间存在函数关系, ,它们它们之间一定是一次函数或正比例函数关系吗之间一定是一次函数或正比例函数关系吗? ?例例2 2 我国自我国自20112011年年9 9月月1 1日起日起, ,个人工资、薪个人工资、薪金所得税征收办法规定金所得税征收办法规定: :月收入不超过月收入不超过35003500元的元的部分不收税部分不收税; ;月收入超过月收入超过35003500元但不超过元但不超过50005000元元的部分征收的部分征收3%3%的所得税的所得税如某人月收入如某人月收入38603860元元, ,他应缴纳个人工资、薪金所得税为他应缴纳个人工资、薪金所得税为(3

11、860-(3860-3500)3500)3%=10.8(3%=10.8(元元).).(1)(1)当月收入超过当月收入超过35003500元而又不超过元而又不超过50005000元时元时, ,写出应缴纳个人工资、薪金所得税写出应缴纳个人工资、薪金所得税y(y(元元) )与月收与月收入入x(x(元元) )之间的关系式之间的关系式; ;(2)(2)某人月收入为某人月收入为41604160元元, ,他应缴纳个人工资、他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元薪金所得税多少元? ?(3)(3)如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税19.219.2元元, ,那么此人本月工资、薪金

12、收入是多少元那么此人本月工资、薪金收入是多少元? ?解解:(1):(1)当月收入超过当月收入超过35003500元而不超过元而不超过50005000元时元时, ,y=(x-3500)y=(x-3500)3%,3%,即即y=0.03x-105.y=0.03x-105.(2)(2)当当x=4160 x=4160时时,y=0.03,y=0.034160-105=19.8(4160-105=19.8(元元) )(3)(3)因为因为(5000-3500)(5000-3500)3%=45(3%=45(元元),19.245,),19.245,所所以此人本月工资、薪金收入不超过以此人本月工资、薪金收入不超过5

13、0005000元元. .设此设此人本月工资、薪金收入是人本月工资、薪金收入是x x元元, ,则则: :19.2=0.03x-105,x=4140.19.2=0.03x-105,x=4140.即此人本月工资、薪金收入是即此人本月工资、薪金收入是41404140元元. .课堂小结课堂小结一次函数一次函数形如形如y=y=kx+bkx+b( (k,bk,b是常数，是常数，k k0 0）的函数）的函数正比例正比例函数函数形如形如y=y=kxkx (k(k0 0）的函数）的函数检测反馈检测反馈1 1. .一根弹簧的原长为一根弹簧的原长为12 cm,12 cm,它能挂的重量不能它能挂的重量不能超过超过15

14、kg15 kg并且每挂重物并且每挂重物1 kg1 kg就伸长就伸长0 0. .5 cm,5 cm,则在则在弹性限度内弹性限度内, ,挂重物后的弹簧长度挂重物后的弹簧长度y y(cm)(cm)与所挂重与所挂重物物x x(kg)(kg)之间之间的函数的函数关系式是关系式是 .y=0.5x+12(0 x15)y=0.5x+12(0 x15)2.y=2.y=kx+bkx+b是一次函数是一次函数, ,则则k k为为( () )A.A.一切实数一切实数B.B.正实数正实数C.C.负实数负实数D.D.非零实数非零实数D D3.3.下列函数中下列函数中,y,y是是x x的一次函数的是的一次函数的是( () )4 4. .下列说法不正确的是下列说法不正确的是 ( () )A A. .一次函数不一定是正比例函数一次函数不一定是正比例函数B B. .不是一次函数就一定不是正比例函数不是一次函数就一定不是正比例函数C C. .正比例函数是特殊的一次函数正比例函数是特殊的一次函数D D. .不是正比例函数就一定不是一次函数不是正比例函数就一定不是一次函数D DA A2A.35B.3yxyx 1C .D .2yyxx5 5. .某面包厂现年产值是某面包厂现