新北师大版八年级数学下册第1章教案

1、1 第一章 三角形的证明 本章总体设计介绍 本章是八年级上册第七章平行线的证明的继续，在平等线的证明一章中，我们 给出了 8 条基本事实，并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论 . 运用这 些基本事实和已经学习过的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论 . 在这之前， 学生已经对图形的性质及其相互关系进行了大量的探索， 探索的同时也经历 过一些简单的推理过程，已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，从而为本章 进一步严格证明三角形有关定理打下了基础 .本章所证明的命题都和等腰三角形、直角三角形 有关，主要包括： 1. 等腰三角形的性质和判定定理； 2. 直角三角形的性质

2、定理和判定定理； 3. 线段的垂直平分线性质和判定定理； 4. 角平分线性质定理和判定定理。 本章教学建议 对于已有命题的证明，教学过程中要注意引导学生回忆过去的探索、说理过程，从中获 取严格证明的思路；对于新增命题，教学过程中要重视学生的探索、证明过程，关注该命题 与其他已有命题之间的关系；对于整章的命题，注意关注将这些命题纳入一个命题系统，关 注命题之间的关系，从而形成对相关图形整体的认识。 对于证明的方法，除了注重启发和回忆，还应注意关注证明方法的多样性，力图通过学 生的自主探索，获得多样的证明方法，并在比较中选择适当的方法。 证明过程中注意揭示蕴含其中的数学思想方法，如转化、归纳、类比

3、等。 作为初中阶段几何证明的最后阶段，教学中应要求学生掌握综合法和分析法证明命题的 基本要求，掌握规范的证明表述过程，达成课程标准对证明表述的要求。2 1. 等腰三角形（一） 知识与技能目标 理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理；在证 明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数 学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理；熟悉证明的基本步骤和书写 格式。 过程与方法目标 经历 探索发现猜想证明 的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续 和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力； 鼓励学生在交流探索

4、中发现证明方法 的多样性， 提高逻辑思维水平； 情感态度与价值观目标 启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩 证关系；培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯 . 教学重点 探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法； 教学难点 明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。 课前准备 学生课前准备：一张等腰三角形纸片（供上课折叠实验用） ； 教师课前准备：制作好的几何画板课件 . 教学过程 一、回顾旧知 导出公理 活动内容： 提请学生回忆并整理已经学过的 8 条基本事实中的 5 条： 1. 两直线被第三

5、条直线所截 ,如果同位角相等 ,那么这两条直线平行； 2. 两条平行线被第三条直线所截 ,同位角相等； 3. 两边夹角对应相等的两个三角形全等（ SAS）； 4. 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ ASA ）； 5. 三边对应相等的两个三角形全等（ SSS）； 在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件： 1.（推论）两角及其中一角的对边对应相 等的两个三角形全等（ AAS ），并要求学生利用前面所提到的公理进行证明； 2.回忆全等三角 形的性质。3 活动目的：经过一个暑假，学生难免有所遗忘，因此，在第一课时，回顾有关内容，既 是对前面学习内容的一个简单梳理，也为后续有关证明做了知识准备；证

6、明这个推论，可以 让学生熟悉证明的基本要求和步骤，为后面的其他证明做好准备。 活动效果与注意事项：由于有了前面的铺垫，学生一般都能得到该推论的证明思路，但 由于有了一个暑假的遗忘，可能部分学生的表述未必严谨、规范，教学中注意提请学生分析 条件和结论，画出简图，写出已知和求证，并规范地写出证明过程 具体证明如下： 已知：如图，/ A= / D, / B= / E,BC=EF. 求证： ABC DEF. 证明：I/ A= / D,Z B= / E （已知）， 又/ A+ / B+ / C=180，/ D+/ E+/ F=180 (三角形内角和等于 180， /“/ C=180 -(/ A+ / B

7、)， / F=180 -( / D+/ E)， / C= / F (等量代换) 又BC=EF （已知）， “ ABC DEF （ASA ）。 二、折纸活动探索新知 活动内容：在提问：等腰三角形有哪些性质？以前是如何探索这些性质的，你能再 次通过折纸活动验证这些性质吗？并根据折纸过程，得到这些性质的证明吗？的基础 上，让学生经历这些定理的活动验证和证明过程。具体操作中，可以让学生先独自折纸 观察、探索并写出等腰三角形的性质，然后再以六人为小组进行交流，互相弥补不足。 活动效果与注意事项：由于有了教师引导下学生的活动，以及具体的折纸操作，学生一 般都能得到有关等腰三角形的性质定理，当然，可能部分学

8、生得到的定理并不全面，在学生 小组的交流中，通过同伴的互相补充，一般都可以得到所有性质定理。当然，在教学过程中， 教师应注意小组的巡视，提醒学生思考多种证明思路，A B C D E F 4 思考不同的辅助线之间的关系从而得 到三线合一 三、明晰结论和证明过程 活动内容： 在学生小组合作的基础上，教师通过分析、提问，和学生一起完成以上两个 个性质定理的证明， 注意最好让两至三个学生板演证明 ,其余学生挑选其一证明 .其后，教师通 过课件汇总各小组的结果以及具体证明方法，给学生明晰证明过程。 （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合 活动目的 ：

9、和学生一起完成性质定理的证明，可以让学生自主经历命题的证明过程；明 晰证明过程，意图给学生明晰一定的规范，起到一种引领作用；活动 2，则是前面命题的直 接推论，力图让学生形成拓广命题的意识，同时也是一个很好的巩固练习。 四、随堂练习 巩固新知 活动内容：学生自主完成P4第2题：如图（图略），在 ABD中,C是BD上的一点，且 AC 丄 BD, AC=BC=CD , （1） 求证： ABD是等腰三角形； （2） 求/ BAD的度数。 活动目的： 巩固全等三角形判定公理的应用，复习等腰三角形等边对等角的用法。 五、课堂小结 活动内容： 让学生畅谈收获，包括具体结论以及其中的思想方法等。 活动目的：

10、 形成及时总结语反思的意识与习惯，提高学生能力。 活动效果与注意事项： 教师注意对学生的感想进行适当的引导， 并在学生交流的基础上， 明晰部分收获供学生共享，如： 1 、具体有关性质定理； 2、 通过折纸活动对获得的定理给予了严格的证明， 为今后解决有关等腰三角形的问题提 供了丰富的理论依据 3、 体会了证明一个命题的严格的要求，体会了证明的必要性 六、布置作业 P5习题1,2. 七、教学反思 5 本节关注学生已有活动经验的回顾过程，关注了 探索发现猜想证明的活动过 程，关注了学生自主探究过程，学生学习的主体性发挥较好，应该说取得了较好的教学效果。 当然，在具体活动中，如何在学生活动与规范表达

11、之间形成一个恰当的平衡，具体各部分时 间比例的分配可能还需要根据班级学生具体状况进行适度的调整 1. 等腰三角形（二） 知识与技能目标 探索一一发现一一猜想一一证明等腰三角形中相等的线段，进一步熟悉证明的基本步 骤和书写格式，体会证明的必要性； 过程与方法目标 经历探索-发现-猜想-证明的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然 延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力； 在命题的变式中，发展学生提出问题的能力，拓展命题的能力，从而提高学生的学习 能力和思维能力，提高学生学习的主体性； 在图形的观察中，揭示等腰三角形的本质：对称性，发展学生的几何直觉； 情感态度与价值观要求 鼓励学

12、生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲. 体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性. 教学重点： 经历探索发现一一猜想证明的过程，能够用综合法证明有关三角形 和等腰三角形的一些结论 教学过程 一、 提出问题，引入新课 活动内容： 在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题： 在等腰三角形中作出一些线段 （如角平分线、中线、高等 ），你能发现其中一些相等的线 段吗?你能证明你的结论吗 ? 活动目的： 回顾性质，既为后续研究判定提供了基础；同时，直接提出新的问题，过渡 自然，引入本课研究内容，而新的问题是原有性质的一个自然拓广，有助于提高学生提出问 题的能力。 二、 自主探究 活动内容

13、： 在等腰三角形中自主作出一些线段 （如角平分线、中线、高等 ），观察其中有 哪些相等的线段，并尝试给出证明。 活动目的： 让学生再次经历探索发现猜想证明的过程，进一步体会证 明的必要性，并进行证明，从中进一步体会证明过程，感受证明方法的多样性。6 活动效果与注意事项：活动中，教师应注意给予适度的引导，如可以渐次提出问题: 你可能得到哪些相等的线段？ 你如何验证你的猜测？ 你能证明你的猜测吗？试作图，写出已知、求证和证明过程； 还可以有哪些证明方法？ 通过学生的自主探究和同伴的交流，学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出: 等腰三角形两个底角的平分线相等； 等腰三角形腰上的高相等； 等

14、腰三角形腰上的中线相等. 并对这些命题给予多样的证明。 如对于等腰三角形两底角的平分线相等，学生得到了下面的证明方法： 已知：如图，在 ABC中，AB=AC BD。丘是厶ABC勺角平分线. 求证：BD=CE 证法 1 AB=AC / ABCM ACB等边对等角). 1 1 vZ 仁2 / ABC / 2=2 M ABC / 1=Z 2. 在厶 BDCm CEB中, Z ACBM ABC BC=CB Z 1=Z 2. BDC CEB(ASA) BD=CE全等三角形的对应边相等) 证法2:证明：v AB=AC Z ABCM ACB 又 vZ 3=Z 4. 在厶 ABM3 ACE中, Z 3=Z 4

15、，AB=ACZ A=Z A. “ ABDA ACE(ASA) “ BD=CE全等三角形的对应边相等). 在证明过程中，学生思路一般还较为清楚, 7 教学中教师应注意对证明规范提出一定的要求, 借助课件展示部分证明过程；可能部分学生还有一些困难，注意对有困难的学生给予帮助和 指导。 三、经典例题变式练习 活动内容：提请学生思考，除了角平分线、中线、高等特殊的线段外，还可以有哪些线 段相等？并在学生思考的基础上，研究课本议一议： 在课本图1 4的等腰三角形ABC中， 1 1 如果/ ABD=3 / ABC,/ ACE牙/ ACB呢？由此，你能得到一个什么结论 ？ 11 11 (2) 如果AD=2

16、AC，AE=2 AB，那么BD二CE马?如果AD= AC，AE= AB呢？由此你得到什么 2 2 3 3 结论？ 活动目的：提高学生变式能力、问题拓广能力，发展学生学习的自主性。 活动注意事项与效果：教学中应注意对学生的引导，因为学生先前这样的经验比较少， 可能学生一时不知如何研究问题， 教师可以引导学生思考： 把底角二等份的线段相等“如果 是三等份、四等份,结果如何呢 ？从而引出议一议。 由于课堂时间有限， 如果学生全部解决上述问题，时间不够，可以在引导学生提出上述 这些问题的基础上， 让学生证明其中部分问题， 而将其余问题作为课外作业，延伸到课外； 当然，也可以对不同的学生提出不同的要求，

17、 如普通学生仅仅证明其中部分问题， 而要求部 分学优生解决所有的问题，甚至要求这部分学优生思考还可以提出哪些类似问题，你是如 何想到这些问题的。 在学生解决问题的基础上，教师还应注意揭示蕴含其中的思想方法。 下面是学生的课堂表现： 一 1 生在等腰三角形ABC中，如果/ ABD33 / ABC那么BD=CE这和证明等腰三角形两底 但毕竟严格证明表述经验尚显不足，因此, 因此，注意请学生板书其中部分证明过程, 8 角的角平分线相等类似“证明如下： AB=AC / ABC/ ACB等边对等角). 1 1 又“/ ABD=3 /ABC, A/ ACE=3 /ACB, “/ ABD/ ACE 在厶 B

18、DCfy CEB中, vZ ABDM ACE BC=CB / ACBM ABC, BDCA CEB(ASA) BD=CE全等三角形的对应边相等) 1 1 生如果在 ABC中 , AB=AC, Z ABD4 Z ABC Z ACEZ 4 Z ACB 那么 BD=CE也是成立 的.因为AB=AC所以Z ABCZ ACB利用等量代换便可得到Z ABDZ ACE BDC与 CEB全 等的条件就能满足，也就能得到 BD=CE由此我们可以发现： 1 1 在厶 ABC中 , AB=AC Z ABDZ ” Z ABC Z ACE= Z ACB 就一定有 BD=CE成立. 生也可以更直接地说：在厶 ABC中,

19、AB=ACZ ABDZ ACE那么BD=CE 师这两位同学都由特殊结论猜想出了一般结论. 请同学们把一般结论的证明过程完整 地书写出来.(教师可巡视指导)下面我们来讨论第(2)问，请小组代表发言. 11 11 生在厶ABC中, AB=AC 如果 AD=2 AC, AE= AB,那么 BD=CE 如果 AD= AC, AE= AB, 2 2 3 3 1 1 那么BD=CE由此我们得到了一个更一般的结论：在 ABC中, AB=AC AD=n AC, AE=n AB, 那么BD=CE证明如下： v AB=AC 1 1 又 v AD= AC, AE= AB, n n AD=AE 9 在厶 ADBm A

20、EC中, AB=ACZ A=Z A, AD=AE ADBA AEC(SAS) BD=CE全等三角形的对应边相等). 生一般结论也可更简洁地叙述为：在 ABC中，如果AB=AC AD=AE那么BD=CE 师这里的两个问题都是由特殊结论得出更一般的结论，这是我们研究数学问题常用的 一种思想方法，它会使我们得到意想不到的效果.例如通过对这两个问题的研究，我们可以 发现等腰三角形中，相等的线段有无数组.这和等腰三角形是轴对称图形这个性质是密不可 分的. 四、拓展延伸，探索等边三角形性质10 活动内容：提请学生在上面等要三角形性质定理的基础上，思考等边三角形的特殊性质: 等边三角形三个内角都相等并且每个

21、内角都等于 60 已知：如图，4ABC 中，AB=BC=AC . 求证：/ A= / B= / C=60 证明：在厶ABC中，v AB=AC , “/ B= ZC（等边对等角）. 同理：/ C= / A， /-Z A= / B= / C （等量代换）. 又 v/A+ Z B+ Z C= 180。（三角形内角和定理），/Z A= Z B= Z C = 60 活动效果：学生一般都能得到这些定理的证明，能规范地写出对于等边三角形三个内 角都相等并且每个内角都等于60 的证明过程： 五、随堂练习及时巩固 活动内容：在探索得到了等边三角形的性质的基础上，让学生独立完成以下练习 1如图，已知 ABC和厶B

22、DE都是等边三角形. 求证:AE=CD 活动意图：在巩固等边三角形的性质的同时，进一步掌握综合证明法的基本要求和步骤, 规范证明的书写格式。 六、 探讨收获课时小结 本节课我们通过观察探索、发现并证明了等腰三角形中相等的线段，并由特殊结论归纳 出一般结论， 七、 教学反思 本节课关注了问题的变式与拓广，实际上引领学生经历了提出问题、解决问题的过程， 因而较好地提高了学生的研究能力、自主学习能力，但也应注意根据学生的情况进行适度的 调整，因为学生先前这样的经验较少，因而对一些班级学生而言，完成全部这些教学任务， 可能时间偏紧，为此，教学中可以适当减少一些内容，将部分内容延伸到课外，当然，也可 以

23、设计为两个课时，将研究过程进一步展开。C 11 1. 等腰三角形（三） 知识与技能目标 1 “探索等腰三角形判定定理. 2. 理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明. 3. 了解反证法的基本证明思路，并能简单应用。 4. 培养学生的逆向思维能力。 三、教学过程分析 本节课的教学过程设计了以下六个环节：复习引入 -逆向思考，定理证明-巩固练习 -适时提问 导出反证法-拓展延伸-课堂小结。 一、复习引入 活动过程：通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路， 要求学生独立思考 后再进交流 问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么? 问题2.我们是如何

24、证明上述定理的？ 问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？如果一个三角形有两个角相等, 那么这两个角所对的边也相等？ 活动意图：设计是问题串是为引出等腰三角形的判定定理埋下伏笔。 学生独立思考是对 上节课内容有效地检测手段。 二、逆向思考，定理证明 活动过程与效果： 教师：上面，我们改变问题条件，得出了很多类似的结论，这是研究问题的一种常用方 法，除此之外，我们还可以反过来思考问题，这也是获得数学结论的一条途径.例如 等 边对等角，反过来成立吗？也就是：有两个角相等的三角形是等腰三角形吗 生如图，在 ABC中，/ B=Z C,要想证明AB=AC只要构造两个全 等的三角形，使AB与AC

25、成为对应边就可以了. 师你是如何想到的？ 生由前面定理的证明获得启发，比如作 BC的中线，或作A的平分 线，或作BC上的高，都可以把 ABC分成两个全等的三角形. 师很好.同学们可在练习本上尝试一下是否如此，然后分组讨论. 生我们组发现，如果作BC的中线，虽然把厶ABC分成了两个三角形，但无法用公理和 已证明的定理证明它们全等.因为我们得到的条件是两个三角形对应两边及其一边的对角分12 别相等，是不能够判断两个三角形全等的“后两种方法是可行的. 师那么就请同学们任选一种方法按要求将推理证明过程书写出来. （教师可让两个同学 在黑板上演示，并对推理证明过程讲评） （证明略） 师我们用反过来思考问

26、题，获得并证明了一个非常重要的定理一一等腰三角形的 判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形. 这一定理可以简单叙述为：等角对等边.我 们不仅发现了几何图形的对称美，也发现了数学语言的对称美. 三、巩固练习 活动过程与效果：将书中的随堂练习提前到此，是为了及时巩固判定定理。引导学生进 行分析。 已知：如图，/ CAEABC勺外角，AD/ BC且/仁/2. 求证：AB=AC 证明：“ AD/ BC， 仁/ B（两直线平行，同位角相等）， / 2=Z C（两直线平行，内错角相等）. 又/ 仁/ 2，AZ B=Z C. AB=AC等角对等边）. 四、适时提问导出反证法 活动过程与效果： 我们类比归

27、纳获得一个数学结论，反过来思考问题也获得了一个数学结论.如果否定 命题的条件，是否也可获得一个数学结论吗 ？我们一起来想一想： 小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等.你认 为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？ 有学生提出：我认为这个结论是成立的.因为我画了几个三角形，观察并测量发现，如 果两个角不相等，它们所对的边也不相等.但要像证明等角对等边那样却很难证明，因 为它的条件和结论都是否定的.的确如此.像这种从正面人手很难证明的结论，我们有没有 别的证明思路和方法呢？ A 我们来看一位同学的想法： 如图，在 ABC中，已知/ BZ C,此时AB与Ac要么相

28、等， 要么不相等.13 假设AB=AC那么根据等边对等角定理可得/ C=/B,但已知条件是 / BZ C. C=Z B与已知条件/ BZ C相矛盾，因此 A盼AC 你能理解他的推理过程吗？ 再例如，我们要证明 ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法，假设有 两个角是直角，不妨设Z A=90，Z B=90，可得Z A+Z B=180，但 ABZ A+Z B+Z C=180 “Z A+Z B=180 与“Z A+Z B+Z C=180 相矛盾，因此 ABC中不可能有两个直角. 引导学生思考：上一道面的证法有什么共同的特点呢 ？引出反证法。 都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与

29、已知或公理或已证明过的定理相矛 盾，从而证明命题的结论一定成立.这也是证明命题的一种方法，我们把它叫做反证法. 接着用反过来思考问题的方法获得并证明了等腰三角形的判定定理等角对等 边，最后结合实例了解了反证法的含义. 五、拓展延伸 活动过程与效果：在一节课结束之际，为培养学生思维的综合性、灵活性特安排了 2个 练习。一个是通过平行线、角平分线判定三角形的形状，再通过线段的转换求图形的周长。 另一个是一个开放性的问题，考察学生多角度多维度思考问题的能力。学生在独立思考的基 础上再小组交流。 MN/ BC,设 AB=12 AC=18 求 AMN的周 2现有等腰三角形纸片，如果能从一个角的顶点出发，

30、将原纸片一次剪开成两块等腰三角形 纸片,问此时的等腰三角形的顶角的度数？ 六、课堂小结 (1) 本节课学习了哪些内容？ (2) 等腰三角形的判定方法有哪几种？ (3) 结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判定的区别和联系. (4) 举例谈谈用反证法说理的基本思路 1. 等腰三角形（四） 长. 14 知识与技能目标 理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有 30o 角的直角三角形性质及其证明，并 能利用这两个定理解决一些简单的问题。 过程与方法目标 经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽 象思维 经历实际操作，探索含有 30。角的直角三角形性质及其推理证明

31、过程，发展合情推理 能力和初步的演绎推理的能力； 在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能 力。 情感与价值观要求 积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲. 在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心 教学重点 等边三角形判定定理的发现与证明 . 含 30角的直角三角形的性质定理的发现与证明 . 教学难点 含 30角的直角三角形性质定理的探索与证明 . 引导学生全面、周到地思考问题. 学具准备： 两个带 30度角的三角板。 教学过程 一、提问问题，引入新课 活动内容 ：教师回顾前面等腰三角形的性质和判定定理的基础上，直接提出问题：等边 三

32、角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等腰三角形 呢？从而引入新课。 活动目的 ：开门见山，引入新课，同时回顾，也为后续探索提供了铺垫。 活动效果：在老师的引导下，一般学生都能得出等边三角形的性质；对于等边三角形的 判别，学生可能会出现多种情况，如直接从等边三角形性质出发，当然也可能有学生考虑分 步进行，现确定它是等腰三角形，再增补条件，确定它是等边三角形。这是教师可以适时提 出问题：如果已知一个三角形是等边三角形的基础上，如何确定它是等边三角形呢？ 下面是实际教学中的部分师生活动实况： 15 生等腰三角形已经有两边分别相等，所以我认为只要腰和底相等，等腰三角形就

33、成了 等边三角形. 生等边三角形的三个内角都相等，且分别都等于 60.我认为等腰三角形的三个内角 都等于60,等腰三角形就是等边三角形了. （此时，部分同学同意此生的看法，部分同学不同意此生的看法，引起激烈地争论“教师 可让同学代表充分发表自己的看法.） 生我不同意这位同学的看法“因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形“根 据等角对等边，三个内角都是60，所以它们所对的边一定相等.但这一问题中已知是等 腰三角形，满足什么条件时便是等边三角形，我觉得他给的条件太多，浪费！ 师给三个角都是60，这个条件的确有点浪费，那么给什么条件不浪费呢？下面同学们 可在小组内交流自己的看法. （2）你认为

34、有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？把你的 证明思路与同伴交流. （教师应给学生自主探索、思考的时间） 二、自主探索 活动内容：学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论， 教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结出 下表： 性质 判定的条件 等腰三角形 （含等边三 角形） 等边对等角 等角对等边 三线合一 即等腰 三角形顶角平分线， 底边上的中线、咼互 相重合 有一角是60 16 等边三角形三个角 都相等，且每个角都 是60 三个角都相等的三 角形是等边三角形 活动目的：经历定理的探究过程，即明确有关定

35、理，同时提高学生的自主探究能力。 活动注意事项与效果：由于有了第1环节的铺垫，学生多能探究出： 顶角是60的等腰三角形是等边三角形； 底角是60的等腰三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形； 三条边都相等的三角形是等边三角形。 对于前两个定理的形式相近，教师可以进一步提出要求：能否用更简捷的语言描述这个 结论吗？从而引导学生得出：有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形。 在学生得出这些结论的基础上，教师注意引导学生说明道理，给出证明的思路，选择部 分命题，给与严格的证明，由于有一个角是 60。的等腰三角形是等边三角形的证明需要分 类讨论，因此，可以以此问题作为对学生证明的要求

36、，并与同伴交流证明思路“并要求学生 思考证明中的注意事项，从而点明其中的分类思想，提请学生注意：思考问题要全面、周到. 三、实际操作提出问题 活动内容：教师直接提出问题：我们还学习过直角三角形，今天我们研究一个特殊的直 角三角形：含30角的直角三角形。拿出三角板，做一做： 用含30角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形 ？能拼出一个等边三角形吗？ 在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你 能得到什么结论？说说你的理由. 活动目的：让学生经历拼摆三 角尺的活动，发现结论：在直角三 角形中，如果一个锐角等于 30， 那么它所对的直角边等于斜边的一 半. 活动注

37、意事项与效果：学生一 般可以得出下面两种图形：其中第 1 1个图形是等边三角形， 对于该图学生也可以得出 BD=2 AB，从而得出：在直角三角形中, 如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 17 注意，教学过程中，教师应注意引导学生说明为什么所得到的三角形是等边三角形。具 体的说明过程可以如下： 方法1:因为 ABD也ACD，所以 AB=AC .又因为 RtAABD中，/ BAD=60，所以 / ABD=60，有一个角是60的等腰三角形是等边三角形. 方法 2 :图 中，/ B=Z C=60， / BAC= / BAD+ / CAD=30 +30 =60， 所 以 / B=

38、/ C= / BAC=60，即 ABC是等边三角形. 如果学生不能很快得出30度所对直角边是斜边一半，教师可以在图上标出各个字母，并 要求学生思考其中哪些线段直接存在倍数关系，并在将三角板分开，思考从中可以得到什么 结论。然后在学生得到该结论的基础上，再证明该定理。 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 已知：如图，在 RtAABC 中，/ C=90，/ BAC=30 . 1 求证：BC=2 AB . 分析：从三角尺的拼摆过程中得到启发，延长 BC至D，使CD=BC，连接AD . 证明：在厶 ABC 中，/ ACB=90，/ BAC=30 / B=6

39、0 . 延长BC至D,使CD=BC，连接AD（如图所示）. vZ ACB=90 / ACB=90 AC=AC，二 ABCADC(SAS). AB=AD（全等三角形的对应边相等）. “ ABD是等边三角形（有一个角是60的等腰三角形是 四、变式训练巩固新知 活动1:直接提请学生思考刚才命题的逆命题： 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜 边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 30。吗?如果是，请你证明它. 在师生分析的基础上，给出证明： 1 已知：如图，在 RtAABC 中，Z C=90，BC=2 AB . 求证：Z BAC=30 证明：延长BC至D，使 CD=BC，连接AD. vZ ACB=

40、90 ,/ ACD=90 .等边三角形). BC=2 BD=1 AB . 18 又“ AC=AC . “ ACB ACD(SAS). AB=AD . 1 v CD=BC，二 BC=2 BD . 1 又 v BC=2 AB，二 AB=BD . AB=AD=BD , 即厶ABD是等边三角形. / B=60 .在 RtAABC 中，/ BAC=30 . 注意事项：该命题的证明中辅助线较复杂，但恰有前面原命题探究活动过程的铺垫，可 以给学生一些启示，因此，教学中，教师可以引导学生思考：从前面定理证明的辅助线的作 法中能否得到启示？ 活动2 :呈现例题，在师生分析的基础上，运用所学的新定理解答例题 例题

41、等腰三角形的底角为15腰长为 分析：观察图形可以发现在 RtA ADC 中，AC=2a而/ DAC是厶ABC的一个外角， 而/DAC=X 15 =30，根据在直角三角形中， 30角所对的直角边是斜边的一半，可求出 CD . 解: v/ ABC= /ACB=15 / DAC= / ABC+ / ACB=15 +15 =30 1 1 CD=2 AC=2 2a= a在直角三角形中， 于斜边的一半）. 活动目的：在例题求解中巩固新知。 让学生对课堂学习进行小结，注意总结具体的知识、结论，以及解决问题的方法和蕴含 其中的思想，如分类讨论思想、逆向思维等。 六、布置作业 七、教学反思 本节课，难点在于探究

42、两个定理：在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么 五、畅谈收获 课时小结 如果一个锐角等于30那么它所对的直角边等 2a,求腰上的高CD的长. 19 这条直角边所对的锐角等于30和直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半，由 i8 于设计了三角板操作的实践活动，有效地突破了难点，因而，课堂学生思维非常灵活，方法 多样，取得较好的效果。 2“直角三角形(一) 知识与技能目标 (1) 掌握直角三角形的性质定理(勾股定理)及判定定理的证明方法，并能应用定理解 决与直角三角形有关的问题。 (2) 结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命 题不一定成立. 过程

43、与方法目标 进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展 抽象思维. 情感态度与价值观目标 掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力. 教学重点 了解勾股定理及其逆定理的证明方法. 结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命 题不一定成立. 教学难点 勾股定理及其逆定理的证明方法. 教学过程 一、创设情境，弓I入新课 通过问题1,让学生在解决问题的同时，回顾直角三角形的一般性质。 问题1 一个直角三角形房梁如图所示，其中 BC丄AC, / BAC=30，AB=10 cm CBi丄AB，BiC丄ACi,垂足分别是Bi、Ci,那么BC的长是

44、多少？ BiCi呢？ 解：在 Rt ABC 中，/ CAB=30，AB=i0 cm， i i BC = 2 AB = 2 X0= 5 cm. CBi 丄 AB，“/ B+Z BCBi = 90 又/ A+ Z B = 902 21 “/ BCBi =/A = 30 115 在 RtAACBi 中，BBi = 2 BC = 2 冷=2 cm = 2. 5 cm. i AB1 = AB = BBi= 10 2.5= 7.5(cm). “在 RtAC1AB1 中，/ A = 30 c 1 1 B1C1 = 2 AB 1 = 2 X7.5= 3.75(cm). 解决这个问题，主要利用了上节课已经证明的

45、 30角的直角三角形的性质.由此提问: 一般的直角三角形具有什么样的性质呢？从而引入勾股定理及其证明。 教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理.如果利用公理及由其推导出的 定理，能够证明勾股定理吗？ 请同学们打开课本P18,阅读 读一读，了解一下利用教科书给出的公理和推导出的定理， 证明勾股定理的方法. 二、讲述新课 阅读完毕后，针对读一读中使用的两种证明方法，着重讨论第一种，第二种方法请 有兴趣的同学课后阅读. (1) .勾股定理及其逆定理的证明. 已知：如图，在 ABC 中，/ C= 90, BC = a， AC = b， AB = c. 求证：a2+b2 = c2. 证明：延长

46、 CB至D，使BD= b,作/ EBD = Z A，并取BE= c,连接ED、AE(如图)， 则厶 ABC BED . BDE = 90, ED = a(全等三角形的对应角相等，对应边相等). “四边形ACDE是直角梯形. 1 1 2 - S 梯形 ACDE = 2 (a+b)(a+b) = 2 (a+b). / ABE = 180 (/ ABC + Z EBD) = 180 90 = 90, AB = BE. 1 2 “ SA ABE = c2 T S 梯形 ACDE = SAABE+SSBC +SBED， “ (a+b) 2= c2 + ab + 2 ab, 即2 a2 + ab + b2

47、 = 2 c2 + ab, “ a2+b22 教师用多媒体显示勾股定理内容，用课件演示勾股定理的条件和结论，并强调“具体如 下：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的 方法得出 这个三角形是直角三角形的结论“你能证明此结论吗？ 师生共同来完成. 已知：如图：在厶ABC中，AB2+AC2= BC2 求证： ABC是直角三角形. 分析： 要从边的关系， 推出/ A二90是不容易的， 如果 能借助于厶ABC与一个直角三角形全等，而得到/ A与对应角 （构造的三角形的直角）相等，可证. 证明：作 Rt A B，

48、使/ A= 90，A BAB，A C AC（如图）， 则A B+ A 0.（勾股定理）. AB2 + AC2= BC2，A 养 AB，A C BC2= B C :.BC = B C “ ABCA B （SSS） Z A = Z A = 90 （全等三角形的对应角相等）. 因此， ABC是直角三角形. 总结得勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直 角三角形. （2）.互逆命题和互逆定理. 观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系 ？在前面的学习中还有类似的命 题吗？ 通过观察，学生会发现： 上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理

49、的结论，结论 是第二个定理的条件. 这样的情况，在前面也曾遇到过.例如 两直线平行，内错角相等 交换条件和结论， 就得到 内错角相等，两直线平行又如 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30,那么它 所对的直角边就等于斜边的一半 交换此定理的条件和结论就可得在直角三角形中，如果 一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 30。 3:议一议 观察下面三组命题：学生以分组讨论形式进行，最后在教师的引导下得出命题与逆命题 的区别与联系。 B C 23 让学生畅所欲言，体会逆命题与命题之间的区别与联系，要能够清晰地分别出一个命题 的题设和结论，能够将一个命题写出如果 , ；那么 , 的形式

50、，以及能够写出一个命 题的逆命题。 活动中，教师应注意给予适度的引导，学生若出现语言上不严谨时，要先让这个疑问交 给学生来剖析，然后再总结。活动时可以先让学生观察下面三组命题： 如果两个角是对顶角，那么它们相等 如果两个角相等，那么它们是对顶角 如果小明患了肺炎，那么他一定发烧 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎 三角形中相等的边所对的角相等 三角形中相等的角所对的边相等 上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗 ?与同伴交流 不难发现，每组第二个命题的条件是第一个命题的结论，第二个命题的结论是第一个命 题的条件 在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个

51、 命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就 为原命题 再来看 议一议 中的三组命题，它们就称为互逆命题，如果称每组的第一个命题为原命 题，另一个则为逆命题请同学们判断每组原命题的真假逆命题呢 ? 在第一组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题 在第二组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题 在第三组中，原命题和逆命题都是真命题 由此我们可以发现：原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题 4：想一想 要写出原命题的逆命题，需先弄清楚原命题的条件和结论，然后把结论变换成条件，条 件变换成结论，就得到了逆命题 请学生写出命题 如果两个有理数相等，那么它们的平方相等

52、的逆命题吗 ?它们都是真命 题吗？ 从而引导学生思考：原命题是真命题吗 ?逆命题一定是真命题吗 ? 并通过具体的实例说 如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理 . 其中逆命题成为原命题 (即原定理 )的逆定理 能举例说出我们已学过的互逆定理 ? 如我们刚证过的勾股定理及其逆定理， 两直线平行， 内错角相等 与内错角相等， 两直 线平行 全等三角形对应边相等 和三边对应相等的三角形全等 、等边对等角 和等角对 等边等 三、随堂练习 说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假 ; (1) 四边形是多边形； (2) 两直线平行，内旁内角互补； (3) 如果 ab=

53、0,那么 a= 0, b = 0 分析 互逆命题和互逆定理的概念，学生接受起来应不会有什么困难，尤其是对以 如 24 果那么形式给出的命题，写出其逆命题较为容易，但对于那些不是以这种形式给出 的命题,叙述其逆命题有一定困难可先分析命题的条件和结论,然后写出逆命题 解： (1)多边形是四边形原命题是真命题，而逆命题是假命题 (2) 同旁内角互补，两直线平行原命题与逆命题同为正 (3) 如果a= 0, 6 = 0,那么ab= 0.原命题是假命题，而逆命题是真命题. 四、课时小结 这节课我们了解了勾股定理及逆定理的证明方法，并结合数学和生活中的例子了解逆命 题的概念，会识别两个互逆命题，知道，原命题

54、成立，其逆命题不一定成立，掌握了证明方 法，进一步发展了演绎推理能力. 五、课后作业 习题 1. 5第 1、2、 3、4题 六、教学反思 学生对于命题和逆命题中题设和结论分析和把握不是太准， 部分学生尤其是在语言表述 方面仍然有些欠缺，作为教师要关注到学生的个体差异，对于学习本节知识有困难的学生要 给予及时的帮助和指导。使每一个学生都能经历证明的过程，为他们提供充分地寻找证明思 路的时间、空间和方法，体会证明的必要性.另外学生对于命题成立的证明方法，锻炼他们 的演绎推理能力离目标还是有一定的差距。所以作为教师一定不能急躁，要本着以学生为本 的目的，注意学生个体差异，对学习证明有困难的学生给予帮

55、助和指导 . 2直角三角形（二） 知识与技能目标： 能够证明直角三角形全等的 HL勺判定定理，进一步理解证明的必要性 利用HL定理解决实际问题 过程与方法目标： 进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力 情感态度与价值观目标 教学过程 一、复习提问 1. 判断两个三角形全等的方法有哪几种？ 2. 已知一条边和斜边，求作一个直角三角形。想一想，怎么画？同学们相互交流。 3. 有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？ 请证明你的结25 论。 我们曾从折纸的过程中得到启示，作了等腰三角形底边上的中线或顶角的角平分线，运 用公理，证明三角形全等，从而得出 等边对等角

56、 。那么我们能否通过作等腰三角形底边的 高来证明 等边对等角 要求学生完成，一位学生的过程如下： 已知：在厶ABC中，AB=AC . 求证：/ B= / C . 证明：过A作AD丄BC,垂足为C, / ADB= / ADC=90 又“ AB=AC , AD=AD , “ ABD ACD . /B =Z C （全等三角形的对应角相等） 在实际的教学过程中,有学生对上述证明方法产生了质疑。质疑点在于在证明 ABD ACD时，用了两边及其中一边的对角对相等的两个三角形全等 而我们在前面 学习全等的时候知道,两个三角形,如果有两边及其一边的对角相等,这两个三角形是不一 定全等的.可以画图说明.（如图所

57、示在 ABD和厶ABC中，AB=AB，/ B= / B, AC=AD , 但厶ABD与厶ABC不全等）.26 也有学生认同上述的证明。 教师顺水推舟，询问能否证明：在两个直角三角形中，直角所对的边即斜边和一条直角 边对应相等的两个直角三角形全等.，从而引入新课。 二、引入新课 （1）. HL定理“由师生共析完成 已知：在 RtAABC 和 RtAA B中;/ C=Z C =90； AB=A B, BC=B C. 求证：RtA ABC 也 RtAA B C 证明：在RtAABC中，AC=AB 2 一 BC2（勾股定理）. 又“在 Rt A B C中,A C =AC=AB 2一 BC2 （勾股 定

58、理）. AB=AB，BC=BC，AC=AC . Rt ABC 也 RtAABC （SSS）. 教师用多媒体演示： 定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 这一定理可以简单地用 斜边、直角边或HL表示. 从而肯定了第一位同学通过作底边的高证明两个三角形 全等，从而得到 等边对等角的证法是正确的. 练习：判断下列命题的真假，并说明理由： （1） 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等； （2） 斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等； （3） 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等； （4） 一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等. 对于（1）、（2）、（3）

59、般可顺利通过，这里教师将讲解的重心放在了问题（4）,学生感 觉是真命题，一时有无法直接利用已知的定理支持，教师引导学生证明. 已知：R ABC 和 RtAAB C，Z C=Z C=90 BC=BC，BD、BD分别是 AC、AC 边上的中线且 BD BD（如图）. 求证：Rt ABC也 Rt ABC. 证明：在 RtA BDC 和 RtA BDC中， BD=BD,BC=BC, Rt BDC也Rt B D C （HL 定理）. CD=CD.C D C B 27 又“ AC=2CD , A C =2C D ，二 AC=AC . “在 RtAABC 和 RtAA B C 中, BC=BC ，/ C=Z

60、 C =90； AC=AC , “ Rt ABC 也CORtAABC（SAS）. 通过上述师生共同活动，学生板书推理过程之后可发动学生去纠错，教师最后再总结 3:做一做 问题 你能用三角尺平分一个已知角吗？请同学们用手中的三角尺操作完成， 并在小组 内交流，用自己的语言清楚表达自己的想法. （设计做一做的目的为了让学生体会数学结论在实际中的应用， 教学中就要求学生能用 数学的语言清楚地表达自己的想法，并能按要求将推理证明过程写出来。 ） 4:议一议 如图，已知/ ACB= / BDA=90，要使 ACB也BDA，还需要什么条件？把它们分别写出 来. 这是一个开放性问题，答案不唯一，需要我们灵活