线性方程组的矩阵求法

1、线性方程组的矩阵求法摘要：关键词：第一章 引言矩阵及线性方程组理论是高等代数的重要内容 , 用矩阵 方法解线性方程组又是人们学习高等代数必须掌握的基本 技能,本文将给出用矩阵解线性方程组的几种方法，通过对线性方程 组的系数矩阵(或增广矩阵)进行初等变换得到其解，并列举出几种 用矩阵解线性方程组的简便方法。第二章 用矩阵消元法解线性方程组第一节 预备知识定义 1：一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫作这个矩阵的秩。定理 1：初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程 组。定义2：定义若阶梯形矩阵满足下面两个条件：(1) B的任一非零行向量的第一个非零分量(称为的一个主元)为 1；(2)

2、B中每一主元是其所在列的唯一非零元。则称矩阵为行最简形矩阵。第二节1对一个线性方程组施行一个初等变换， 相当于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，而化简线性方程组相当于用行初 等变换化简它的增广矩阵，因此，我们将要通过花间矩阵来讨论 化简线性方程组的问题。这样做不但讨论起来比较方便，而且能 给我们一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方 程组，而不必每次都把未知量写出来。下面以一般的线性方程组为例，给出其解法：aiiXi - ai2X2- dnXn f,a2ixi * a22X2 + + a2nh =b2,(1)am1X1am2X2amnXn = bm.根据方程组可知其系数矩阵为

3、:(2)fanai2aina21a22a2nl am1a m2amn丿3#其增广矩阵为:(3)'ana12a1nb1a21a22a2nb2iam1am2amnbm#根据（2）及矩阵的初等变换我们可以得到和它同解的线性方程 组，并很容易得到其解。定理2:设A是一个m行n列矩阵a11A=am1am2ain通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为以下形式1 000c“0 100c2,y" 0 0 01 *进而化为（5）0 0 01cr,r0 Gnc2nCrn0°这里r_0,r_m, r_n , “表示矩阵的元素，但不同位置上的“表示 的元素未必相等。即任何矩阵都可以通过

4、初等变换化为阶梯形，并进而化为行最 简形现在考察方程组（1）的增广矩阵（3），由定理2我们可以对（1） 的系数矩阵（2）施行一次初等变换，把它化为矩阵（5），对增广 矩阵（3）施行同样的初等变换，那么（3）可以化为以下形式："1 0 0 0 G,宀Gn d1、0 1 0 0 Q,宀C2n d2（6）00 0 1 G,宀 dr0 0e 0dm与（6）相当的线性方程组是:Xi1 G,r 1X-GnXin 二 di,X2- C2,r 1Xir 1 .C2nXin =d2,（7）Xir+Cr,rHiXr+CrnXn =dr,° = dr i,° = dm ,这里ii, i

5、2，in是1, 2,，n的一个排列，由于方程组（7） 可以由方程组（1）通过方程组的初等变换以及交换未知量的位置 而得到，所以由定理1，方程组（7）与方程组（1）同解。因此， 要求方程组（1），只需解方程组（7），但方程组（7）是否有解以 及有怎样的解很容易看出：情形（1）, r<m,而d“,dm不全为零，这时方程组（7）无解, 因为它的后m-r个方程中至少有一个无解。因此方程组（1）也无 解。情形（1）, r=m或r<m而d,dm全为零，这时方程组（7）Xi1 G,r 必GnXn 二 d1,Xi2 c2,r 1Xir 1C2nXin = d2，与方程组（8） 同解。Xir 

6、9; Cr,r -1Xir' - CmX dr当r=n时，方程组（8）有唯一解，就是Xit = dt ,t=1,2,n.这也是 方程组（1）的唯一解当r<n时方程组（8）可以改写为Xk = a-q“x心-SXn，Xi2 二 d2 - CzrMiri - -c2nxin ,(9)Xir= dr -cr,r.1% 勺ir-CrnXin于是,给予未知量X，X以任意一组数值kj ,k ,就得到r 1nr 1nXh二 di - q,r ikir -qnkin ,Xir二dr -弘点厂从-Crnkin（8）的一个解：Xir 1 二 kir 1 ,Xin = kn.这也是（1）的一个解。由于K

7、#,K可以任选，用这一方法可以 得到（1）的无穷多解。另一方面，由于（8）的任一解都必须满 足（9）,所以（8）的全部解，亦即（1）的全部解都可以用以上 方法得到。例1:解线性方程组X1+2x2 + 3x3 + x4 = 5,2x + 4x2- x4 = -3,_ 2x2 十 3x3 十 2x4 = 8,X1+2x2 9x3 5x4 = -21.解：方程组的增广矩阵是12315、240-1-3-1-2328订2- 9-5-21进行初等行变换可得到矩阵最简形12013-20011312石0000020000对应的线性方程组是C13x<2x2x42=2113X3 + X4=:2 6把移到右边

8、作为自由未知量，得原方程组的一般解Xi-3-2x2 12 2X4,713X31X4.2第三章用初等变换解线性方程组定义2:设B为m n行最简形矩阵，按以下方法作s n矩阵C: 对任一 i : 1乞i乞s,若有B的某一主元位于第i列，则将其所在行称 为C的第i行，否则以n维单位向量e = （0，0, -1,0，0）作为C的第 i行，称C为B的s n单位填充矩阵（其中1乞s ）.显然，单位填充矩阵的主对角线上的元素只能是“1”或“ -1” ,若主对角线上某一元素为“ -1”,则该元素所在列之列向量称为C的“ L列向量”。定义3:设B为行最简形矩阵，若B的单位填充矩阵C的任一“ J一 列向量”均为以

9、B为系数矩阵的齐次线性方程组：buN +2X2 + +bnXn =0,b2必曲2b2nXn =0,bmlX| bm2X2= 0.的解向量，则陈C与B是匹配的（也说B与C是匹配的）。引理1:设B为行最简形矩阵，若将B的第i列与第j列交换位置所 得矩阵仍为行最简形矩阵，贝心（I）将的单位填充矩阵的第行与第行交换位置， 第列与第列交 换位置所得矩阵为单位填充矩阵，其中（H）若C与B是匹配的，则c与B'也是匹配。证明：结论（I）显然成立，下证（H），因为C与B是匹配的，故C只能是n n矩阵，从而c也是n n矩阵，设以B为系数矩阵的方程组为（1）,以B为系数矩阵的方程组为（1）,以B为系数矩阵的

10、方程组为：b11X1b12X2 ' b1nXn 二 0,1 1 1b21X1b22X2b2nXn =0,（?）1 1 1b m1X1b m2X2b mnXn 一 °则由B与B'的关系可知对方程组（1）进行变量代换Xj 二 yj ，就得到方程组（2）,于是方程组（1）的任一解向量交换i、j两个分量的位置后就是方程组（2）的一个解向量，又从C与C'的关系可 知，C的任一“ J一列向量”均可由C的某一“ J一列向量”交换i、j 两个分量的位置后得到，从而由C与B匹配知C'与B'也是匹配的。引理2：任一 m n行最简形矩阵与其n n单位填充矩阵C是匹配

11、10 0b1,r +b1,rd201 0b2,r 卑b2,H2 "Lbmb2nbrn0证明：1设B =00 1br,r -10420000000 000则以为系数矩阵的齐次线性方程组为Xgr 1Xr 1 -九 Xr 2 DnXn =0,X2"r 1b?Mr 2bz.Xn =0,Xr0,1 b,r 2人 2gn X. = 0而B的单位填充矩阵为:0八0b1,r +Q心01.八0b2,r 卅b2,H2 00-1br,r +br,H2 000-10<00000C 二bmb2n(5)n；n其所有J一列向量为r 1 二(b1,r 1 ,br,r 1, 一1,0,0)r 2 -

12、(b1,r 2 ,br, r 2, 0, -1，0)n=(b”b,n, 0, 0厂 -1)显然它们都是方程组 的解，即B与C是匹配的.2, 一般形式的行最简形矩阵B显然总可以通过一系列的第二类初等列变换(变换两列的位置)化为(3)的形式，从而B的单位填充矩阵C通过相应的初等行、列变换就变成矩阵(5),由于这种变换是可递的据引理2及引理1 (H) 知B与C是匹配的定理3:设齐次线性方程组aiiXiQ2X2 亠亠 amXn 二 0,a2iXia22X2a2nXn =0,(6)am1 X1am2X2的系数矩阵A经一系列初等行变换化为行最简形矩阵 B,则B的n n单位填充矩阵C的所有“ J一列向量”构

13、成方程组(6)的一个基础解系。证明：设以B为系数矩阵的齐次线性方程组为(1),则(1)与(6)同解, 据引理2知C的所有“J一列向量”都是方程组(1)的解,且是n-r个线性 无关的解向量，(这里r=秩(B)=秩(A),从而构成方程组(1)的一个基 础解系，也是方程组(6)的一个基础解系.定理3:设非齐次线性方程组a11X1 ' a2X2' a1nXb1,a21 Xl a22X2a2nXn = P ,am1 Xlam2 X2amnX _ bn.有解，其增广矩阵A经一系列初等行变换化为行最简形矩阵B,则B的n (n+1)单位填充矩阵C的所有“尸列向量”构成方程组的导出组 的一个基础

14、解系，而C的最后一个列向量为方程组(7)的一个特解。证明：由定理3,前一结论显然，下证C的最后一个列向量为方程 组(7)的一个特解。作齐次线性方程组(8)a11x1 - a12x2 a1nxn - bXn 勺=0 a21x1 a22x2 a2nxn b2xn 彳=0am1X1am2X2amnXn - “X. .1 = 0则方程组(8)的系数矩阵即为方程组(7)的增广矩阵A,于是B的(n+1)(n+1)单位填充矩阵为'c'l0, o；0, -1 丿由定理3知C的最后一个列向量是方程组(8)的一个解，从而易知C的最后一个列向量即为方程组(7)的一个特解.例2:求线性方程组% - x

15、2 3x3 - X4 - x5 - -3(9)3x1 2x2 4x3 - 5% - x5 - -42x-i4x3 2x4 3x5 - -4%2x3 x4 -3為-2的一般解。解:方程组(9)的增广矩阵为1-13-1-1-33245-1-42042-3-4J021-1-2A =用初等行变换将变为行最简形矩阵。100201002-100001002-10-210012#写出B的5 6单位填充矩阵:1310B= 000200-2 ?1-10210-1000001-10000-1°于是，方程组的导出组的基础解系为(2,-1,-1,0,0)2 =(020, -1-1)而方程的一个特解为3=(

16、- 2, 1,0, 0,0)从而方程组(9)的一般解为r k, 1 k23其中k1, k2为任意常数.第四章 线性方程组通解的一种简便求法1 齐次线性方程组基础解系的一种简便求法 设有齐次线性方程组61X12X2 aXn =0,a2必a22X2a2nXn =0,(1)9m1X| - am2X2 - ' ' amnXn = 0.矩阵形式为XA =0,其中X =(為必焉),ai1a12a21 a22a2nA=am1am2amn j14#求方程组XA0的一个基础解系的方法如下：ATE 行初等变换n m nr：n#(n -r) m其中r = r ( A) , r ( Dr m ) =

17、r，即Dr m为一个行满秩矩阵，En为n阶单位矩阵，P为n阶可逆矩阵。则矩阵P的后(n - r)行即为方程组(1)的一个基础解系。下面证明此结论。#证明:对于n x m矩阵at,必存在n阶和m阶可逆矩阵P ,Q使PatQ =Er_0，所以PAT= EQ咲,因为P为可逆矩阵，15#P的行向量组线性无关，所以P的后(n - r)行行向量线性无关，而矩阵P一fD)的后(n - r)行为(0 , EQ P，因为(0 , EQ Pat =(0 ,粘)/=0,所以X = (0 , EnJ P为方程组XAT=0 个解，即P的后(n - r)行为方Yd)1程组(1)的一个基础解系。因为PAT tn=PAT巾=

18、咲 :P |也0(n就是对矩阵AT P施行初等行变换，将其转变为履=P1,则Pl0(n_L)xm J的后(n - r)行即为方程组(1)的一个基础解系例3求齐次线性方程组x1X2 x3 4x4 - 3X5 = 0% - x2 3x3 _2x4 _x5 = 02x-! x2 3x3 5% - 5疋=03% x2 5x3 6焉-7x5 =0的一个基础解系。解112310000、1_11101000卞 E5 =1335001004-256000103-1-5700001丿112310000、0-2-1_ 2_11000T0212_101000-6-3_ 6_4001021230001丿112-3100000_2-J1-_29-110000000-10100000000010000021001因为r ( A) = 2 ,所以P的后3 行，即 i= ( - 2 ,1 ,1 ,0,0), 3 ,0 ,1 ,0) , 3 = (2 ,1 ,0 ,0 ,1)为方程组的一个基础解系。2非齐次线性方程组通解的一种简便求法设有非齐次线性方程组 耳必P2X2二J,821X1822X2a2nXn 二鸟,am1X1am2X2amnXn =bm其矩阵方程为xat=