纸箱纸盒动静态力学分析

1、1.包装盒的静态受力分析折叠纸盒的抗压强度随着挺度、环压强度和厚度的增加而增大；结构不同， 抗压强度不同；而结构参数的影响作用表现为：抗压强度与高度成反比关系，与 周边长成正比关系，与长宽比近似成二次函数关系。将纸盒材纸的抗压强度以及一系列参数作为已知量，再通过实验拟合能够得 到计算纸盒极限静载荷的经验公式。目前研究者已经得出了很多这种经验公式， 其中美国纸盒纸板研究开发协会（BRDA ）提出一种折叠纸盒抗压强度的经验公 式：(1.1)式中：P折叠纸盒抗压强度（N）;a常数；纸板的纵向挺度（mNm）;纸板的横向挺度（mNm）t纸板厚度（mm）。由于BRDA公式仅考虑了纸板纵横向挺度和厚度的影响

2、，其最大误差达到了 21%，故可对其经行优化，找出较为精确地折叠纸盒抗压强度数学模型。锁底式纸盒是各个体板以每两个相邻体板的交线（即高度方向压痕线）为轴, 顺次旋转一定角度而成型的。在载荷作用下。4个侧板都是纵向承载。根据管式:可以看成常数，建(1.2)折叠纸盒的结构及其受力状态，可知纸板的环压强度也是抗压强度的影响因素； 由于侧板是纵向承载，因而在公式中加入纵向环压强度；根据BRDA式，加入纸盒结构影响因子，并考虑到纸板的纵横向挺度有一定关系, 立数学模型如下：P = a1PDxDyy?1ZetHft(g1Az+g2A+g3)式中：a1、b1、8、打、g1> g1> g1常数;Z

3、纸盒周边长（mm ）；H纸盒高度（mm ）；A纸盒长宽比；Pm纸板的纵向环压强度（N/m ）。通过实验及数据分析，在考虑纸板性能和结构参数的共同影响时，锁底式折叠纸盒的抗压强度计算经验公式为：P二Q145P,恤1厂眦書叫一。切屮+0.64（ m通过比较，模型的拟合度很好，最大误差仅为 3%。失效准则在静载情况下，若不考虑包装件刚度对纸盒抗压强度的影响，只要纸盒实际所承受的压力Po<P,就不会有失效破损发生。2.包装箱的静态受力分析瓦楞纸箱的抗压强度是指箱体破坏时的最大荷重，可用破坏时的变形量来表 示。实际测量时，是在空箱条件下单个测定的，它代表了最稳定的强度。也可用 计算法评价瓦楞纸箱的

4、抗压强度，计算法有堆码计算和经验公式计算法。所谓堆码法是把纸箱进行多层堆叠， 直至最底层纸箱压溃时，记录所堆叠的 层数和高度，然后用以下公式计算瓦楞纸箱的抗压强度：（2.1）式中：P瓦楞纸箱的抗压强度（N）;K安全系数；H 堆码高度（mm）;H瓦楞纸箱单体高度（mm）;W瓦楞纸箱的单体重量（kg）。安全系数K是关于原纸质量波动系数，制造工艺低劣系数，由长久保存、湿 度、堆放、运输、装卸引起的强度下降系数的函数。堆码计算法的因素很全面， 但要求实验及精确每项系数，这使堆码法的使用受到一定程度的限制。瓦楞纸箱设计的主要依据是抗压强度， 如果能根据事先已知的条件，计算出箱的抗压强度，而不必一个个去测

5、定，那就非常方便了研究表明，瓦楞纸板的屈服应力与原纸的比例极限有紧密的联系，其值等于抗压强度的2/3,纸箱平均失效压力P、原纸抗压强度Pu、极限应力Per、纸板边压 强度Pp可以用如下方程表示：(2.2)(2.3)上=（旷皿PL "J kPu/其中：p =1式中：a瓦楞纸板的宽度；H瓦楞纸板的弯曲刚度系数；A瓦楞纸板的横向剪力刚度系数将（2.3）代入（2.2）得：(2.4)需要找出m值来反映其对数增长率。通过实验可以作出瓦楞纸箱尺寸与最大载荷的关系图，如图2.1所示,恳 一 T-o d b IK就 so- ssss灯-WIDTH OF FWNEL (INCHED)T丨LOAD DET

6、EREHPECTK3M of flutes IN HtsPFTT TO LOADBTparallelPEF?PFkDICL：LAR飞讦0V-应II 切叭44c28在图中找出三点，A (aa, Pa)、B (ab, Pb)、C (ac, Pc)其中A、C表示纸箱纵向屈曲曲线部分的极值,B在AC之间，且。则:(2.5)(2.6)通过此方法求得的m平均值为0.376。对于载荷垂直于瓦楞方向的情况，m平 均值为0.253。可以分别用1/3和1/4来近似表达，简化计算。瓦楞纸板横向剪力刚度系数A可以用下式表达：(2.7)A = h(+)* * 式中：n瓦楞纸板在应力条件下的半波数量，其取值需使. I.

7、的丄呂h2值最小；Di，D2分别为瓦楞纸板垂直、平行于加载方向弹性模量与惯性矩的剩积EI;卜、：一分别为垂直、平行于加载方向的剪切模量。(2.8)式中：P使瓦楞纸板表面产生0.001英寸位移所加载的剪力;.瓦楞纸板表面与剪力之间的夹角；W瓦楞纸板的宽度；L瓦楞纸板的长度；c瓦楞厚度；d表面位移。通过式(2.6)和(2.7)可以得出H的表达式:Di或亠=eQj,_、 iu.e h r巧 h%ef2F 订(2.9)(2.10)式中：El瓦楞纸板弹性模量与惯性矩的剩积，施:K为平行或垂直于瓦楞 方向的弹性模量与惯性矩的剩积，由P的方向决定；K瓦楞纸板弯曲刚度系数；'1减去垂直、平行卡纸纤维方

8、向泊松比剩积的值，等于1(0.328* 0.219) = 0.928；L纸板跨度。也可以通过如下公式可以确定 D1、二的取值：(2.11)n +化 n hUca_丄匸甘出匚 E式中：岭认一瓦楞原纸横向弹性模量；一瓦楞原纸纵向弹性模量；-一一瓦楞芯纸成型前在瓦楞方向的弹性模量；.芯纸成型后纤维方向弹性模量；一宽度方向上每英寸的横截面面积；c 楞咼。it3 Cc<)* 4Sa+na(c-t)a(2.12)(2.13)式中：S楞长的一半；t瓦楞芯纸厚度;1当K已知时，通过椭圆积分求得。通过以上公式求得m、H、A之后，可以通过下列公式表示i-m illhp訂诃何+m诵何+9诃曲司也可以通过实验得

9、出Pp的表达式：Pp = Ppf（h-c）a|Ppcaatc式中：一一瓦楞芯纸成型前后的长度比；-.面纸抗压强度实验值；:芯纸抗压强度实验值。将各已知量带入式（2.14）和式（2.4）并引入瓦楞常数二二(2.14)(2.15)、瓦楞纸箱周边(2.16)长Z、纸箱常数J,可得瓦楞纸箱抗压强度表达式：式中：P瓦楞纸箱抗压强度，N ;血一瓦楞纸板原纸的综合环压强度，N/cm ；瓦楞常数；Z瓦楞纸箱周边长，cm；J 纸箱常数。其中瓦楞纸板原纸的综合环压强度计算公式如下：(2.17)n U十迢尬S _1.52式中：Rn面纸环压强度测试值，N/0.152m；瓦楞芯纸环压强度测试值，N/0.152m;Cn瓦

10、楞收缩率，即瓦楞芯纸原长度与面纸长度之比式（2.2）中E V：L厂-玉，其中一、分别代表纸箱长宽外尺寸(2.18)(2.19)多瓦楞纸板的二_、J值计算公式如下：(n+1+H 氐)!：.(2a+I C>式中:?%闽式多瓦楞纸板的瓦楞常数;戒2就单瓦楞纸板的瓦楞常数;上5 多瓦楞纸板的纸箱常数； n瓦楞层数；瓦楞楞缩率；单瓦楞纸板的纸箱常数aXz和J的值如表2.1所示。楞型ABEABaXz8.365.006.1013.36J0.590.680.680.66表2.1 瓦楞常数与纸箱常数实践证明，用凯里卡特公式计算所得的纸箱抗压强度值总小于纸箱 的实际测量值，两者之差大体在5%左右。为了减少这

11、一误差，寻求出 一个更加合理的计算公式，可先分析瓦楞纸箱三个主要结构因素与纸箱 抗压强度之间的关系纸箱高度在25cm以下，高度对其抗压强度影响较大；当超过25cm 时，则几乎没有影响；纸箱纵横比（即长、宽比）对抗压强度的影响较大， 纵横比与抗压强度成二次函数关系；纸箱抗压强度与其周长近似成正比 例关系，即随着纸箱周长的增大，纸箱的抗压强度也增大。凯里卡特公式采用的箱形系数J，反映了周长的影响因素，但它作 为常数，不能反映高度和纵横比的影响。假定所研究的纸箱高度大于25 cm，高度的影响可以忽略，则影响凯里卡特公式计算精度的另一主要因素便是纵横比。沃福公式是以瓦楞纸板的变压强度和厚度作为瓦楞纸板

12、的参数，以 箱体周边长、长宽比和高度作为纸箱结构的因素来计算瓦楞纸箱的抗压 强度的。公式如下：L1772 PmvE 0 3228 RL-0.121+J)(2.20)式中：P纸箱抗压强度，N ;Z 纸箱周长，mm ；t 纸箱厚度，mm ；Pm瓦楞纸板的边压强度，N/m ；H o 纸箱的高度，mmRl 纸箱的长宽比。沃福公式引人了一个因子i,0.3223A:.-0；r2i? - lj，这个因子近似地反映了纵横比与抗压强度的二次函数关系。可以采用了沃福公式中二次式因子的曲线形状，并根据纸箱最大抗 压强度来确定修正因子的常数项，达到修正凯里卡特公式的目的。考虑 到凯里卡特公式总是比实测值小5%，可以在

13、修正因子中加入5%，化简 后的修正因子为：k 二 0.3228Rl 0!217R + 0,856（ 2.21）即可得到修正后的凯里卡特公式：一二lCL 一1梵 鳥加（2.22）实验证明，经过修正后的凯里卡特公式绝对误差的平均值为1.65%，比修正之前更加精确，而且适用于各种纵横比。 失效准则在静载情况下，若不考虑包装件刚度对纸箱抗压强度的影响，只要纸纸实际所承受的压力Po<P,就不会有失效破损发生。3.瓦楞纸箱力学模型的建立在瓦楞纸箱的准静态压缩过程中，加载的速度很低，因此可以忽略阻尼力的影响。瓦楞纸箱的弹性恢复力具有较明显的非线性，而对于非线性弹性力，只要选择合适的一次项和三次项系数，

14、三次非线性函数可适合于现实中的大部分振动 系统，对于瓦楞纸箱的非线性弹性力可用位移的三次多项式函数表示，记弹性力为Fk，一次项系数为k，三次项系数为r。F = kx + rx3对于多层堆码瓦楞纸箱，底层的瓦楞纸箱受到了最大的静压力， 在运输中最 易受到损坏。可将底层的瓦楞纸箱简化为一个三次非线性弹簧和一个线性阻尼 块，位于上层的瓦楞纸箱包装件简化为一个质量块， 瓦楞纸箱自身的重量相对瓦 楞纸箱包装件可以忽略不计，如图1所示。底层瓦楞纸箱的内装产品应该是不受 力的，为了研究方便，也为了研究最严酷的条件，不考虑底层瓦楞纸箱的内装产图3.1瓦楞纸箱简化力学模型在静止状态下，底层瓦楞纸箱受到来自上层瓦

15、楞纸箱的压力而发生变形，假设瓦楞纸箱的形变量为x，则瓦楞纸箱所受的力F可表示为：(3.1)瓦楞纸箱振动模型的建立瓦楞纸箱在运输过程中所受到垂直方向的振动激励主要来自于运输工具，属于基础位移激励。设在某一时刻，瓦楞纸箱系统受到的激励位移为X2，瓦楞纸箱包装件的响应位移为xi,如图3.2所示。则上层包装件除受到自身的重力外还受到 了惯性力Fi和下层纸箱对它的支持力F2, Fi同时也是振动过程中下层瓦楞纸箱受 到的动态载荷，如图3所示。7777777777777777图3.2瓦楞纸箱的振动模型Mg图3.3瓦楞纸箱包装件 受力分析贝则：._ F二兀其中，惯性力耳-比扎，设系统静止状态下，下层纸箱受到上

16、层瓦楞纸箱的压力产生的变量为Xo,则支持力二- 1'-' -'. ' - <.-1二，即可得受力平衡方 程:(3.2)mSt + kx0 + tXq + c(x± xa) + k(xt x2) +-x2)3 = mg又由式（3.1）可知:“二 n二1忑，所以对方程（3.2）两边经行化简可得 瓦楞纸箱的非线性振动方程：(3.3)n£g + c(it ij) + k(xt 一 x2) + r(xt 一 x2)3 = 0式中：m包装件质量（kg）；xi包装件响应位移（m）：X2基础激励位移（m）；令简谐位移激励-：二二二二-，其中A2表示简谐

17、振动的位移幅值，融表示 简谐振动的圆频率。将其带入方程（3）得：mk + c（xt 一 g）A2 cos（wt） + k（xt 一 A二 sin（a>t） + r（xt 一 A; sinfot） P = 0 （3.4）为了简化计算和便于分析，对方程（3.4）进行无量纲化：© rA： 孔，,，将之带入方程（4）可得：'- :- i: .|- .i:-' 一（3.5）式中：一振动系统的阻尼比；振动系统的固有圆频率；£振动系统的非线性系数；振动系统的频率比；无量纲化的激励位移；【一无量纲化的振动时间。式（3.5）描述的是强迫振动下的单自由度非线性振动系统，其

18、中一的大小表示非线性的强弱。非线性系统在振动过程中的响应情况依赖于对方程（3.5）的求解。然而，对于形如式（3.5）存在外部激励的三次非线性微分方程，不能求 得其严格精确的解析解，故通过谐波平衡法求式（3.5）的近似稳态周期解。令v - ；1'（3.6）将之带入式（5）做如下化简v - Vv - S -二*力（3.7）在弱非线性（誇毬fl）条件下，对方程（3.7）中参数取不同值的情形进行大 量数值积分，求得稳态响应并作傅立叶变换，结果表明，方程（3.7 ）具有稳定的与激励等周期的稳态周期解，而且不论如何变化，响应的基频幅值远远大于其它频率（次谐波和超谐波）处的幅值：并且由于阻尼的存在，此稳态周期解与 激励之间有一定的相位差。故可设方程（3.7）稳态周期解的形式为： / - > ，将之带入方程（3.7）并做等价变换得：->?Bsin（kT i + cos at + Bsin（kT）+ EBsin3） = lJBsin（XT -o）