12第2课时解三角形的实际应用举例—高度、角度问题

1、第2课时 解三角形的实际应用举例高度、角度问题1.1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题；关底部不可到达的物体高度测量的问题；2.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题关计算角度的实际问题. .( (重点重点) )1.1.现实生活中现实生活中, ,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物人们是怎样测量底部不可到达的建筑物的的高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔

2、高度呢？的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这今天我们就来共同探讨这些些方面的问题方面的问题. .2.2.在实际的航海生活中在实际的航海生活中, ,人们人们也也会遇到会遇到如下如下的问题的问题：在浩在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？航速和航向呢？ 测量底部不可到达的建筑物测量底部不可到达的建筑物的的高度高度例例1 AB1 AB是底部是底部B B不可到达的一个建筑物，不可到达的一个建筑物，A A为建筑物的最高为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度点，设计一种测量建筑物高度ABAB的方法的方法. .分析：分析：如图，求

3、如图，求ABAB长的关长的关键是先求键是先求AEAE，在，在 ACEACE中，中，如能求出如能求出C C点到建筑物顶点到建筑物顶部部A A的距离的距离CACA，再测出由，再测出由C C点观察点观察A A的仰角，就可以的仰角，就可以计算出计算出AEAE的长的长. .例例2 2 如图，在山顶铁塔上如图，在山顶铁塔上B B处测得地面上一点处测得地面上一点A A的俯角的俯角 =54=544040，在塔底，在塔底C C处测得处测得A A处的俯角处的俯角=50=501 1 , ,已已知铁塔知铁塔BCBC部分的高为部分的高为27.3 m,27.3 m,求出山高求出山高CD(CD(精确到精确到1 m).1 m

4、).根据已知条件根据已知条件, ,大家能设计出大家能设计出解题方案吗？解题方案吗？分析分析: :若在若在ABDABD中求中求BDBD，则关键需，则关键需要求出哪条边呢？要求出哪条边呢？那又如何求那又如何求BDBD边呢？边呢？解：解：在在ABCABC中，中，BCA=90BCA=90+ +, , ABC=90ABC=90- -, , BAC=BAC=- -, , BAD=BAD=. .根据正弦定理，根据正弦定理，答：答：山的高度约为山的高度约为150150米米. .把测量数据代入上式，得把测量数据代入上式，得177.4-27.3177.4-27.3150(m).150(m). .思考思考: :有没

5、有别的解法呢？有没有别的解法呢？先在先在ABCABC中，根据中，根据正弦定理求得正弦定理求得AC.AC.再在再在ACDACD中求中求CDCD即可即可. .例例3 3 如图如图, ,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶, ,到到A A处时测得公路北侧远处一山顶处时测得公路北侧远处一山顶D D在西偏北在西偏北1515的方向的方向上上, ,行驶行驶5 km5 km后到达后到达B B处处, ,测得此山顶在西偏北测得此山顶在西偏北2525的方的方向上向上, ,仰角为仰角为8 8, ,求此山的高求此山的高CD(CD(精确到精确到1 m).1 m).解：解：在在ABCAB

6、C中，中，CAB=15CAB=15, ACB= 25, ACB= 25-15-15=10=10. .根据正弦定理，根据正弦定理，CD=BCCD=BCtanDBCBCtanDBCBCtan8tan81 047(m).1 047(m).答：山的高约为答：山的高约为1 0471 047米米. .正确转化为数正确转化为数学模型学模型，例例4 4 如图，一艘海轮从如图，一艘海轮从A A出发，沿北偏东出发，沿北偏东7575的方向航行的方向航行67.5 n mile67.5 n mile后到达海岛后到达海岛B,B,然后从然后从B B出发出发, ,沿北偏东沿北偏东3232的方的方向航行向航行54.0 n mi

7、le54.0 n mile后到达海岛后到达海岛C.C.如果下次航行直接从如果下次航行直接从A A出出发到达发到达C,C,此船应该此船应该沿怎样的方向航行沿怎样的方向航行, ,需要航行的距离是需要航行的距离是多少多少?(?(角度精确到角度精确到0.10.1, ,距离精确到距离精确到0.01 n mile)0.01 n mile)测量角度问题测量角度问题分析：分析：首先根据三角形的内角和定理求出首先根据三角形的内角和定理求出ACAC边所对的角边所对的角ABCABC，即可用余弦定理算出，即可用余弦定理算出ACAC边，再根据正弦定理算出边，再根据正弦定理算出ACAC边和边和ABAB边的夹角边的夹角CA

8、B.CAB.解：解：在在 ABCABC中，中，ABCABC18018075753232137137，根据余弦定理，根据余弦定理，根据正弦定理根据正弦定理, ,，分析：分析：此题即此题即“已知在已知在ABCABC中，中，BCBC85 mm85 mm，ABAB340 mm340 mm，C C8080，求，求AAAA0 0” 解：解：如图如图, ,在在ABCABC中，由正弦定理可中，由正弦定理可得：得：又由正弦定理：又由正弦定理：答：答：活塞移动的距离约为活塞移动的距离约为81 mm81 mm 解：解：如图，在如图，在ABCABC中，由余弦定理得：中，由余弦定理得：2.2.我舰在敌岛我舰在敌岛A A

9、南偏西南偏西5050的方向上，且与敌岛的方向上，且与敌岛A A相距相距1212海海里的里的B B处，发现敌舰正由岛沿北偏西处，发现敌舰正由岛沿北偏西1010的方向以的方向以1010海里海里/ /小时的速度航行问我舰需以多大速度、沿什么方向航行小时的速度航行问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用才能用2 2小时追上敌舰？小时追上敌舰？( (精确到精确到1 1）ACB404050501010我舰的追击速度为我舰的追击速度为1414海里海里/ /小时小时. . .，答：答：我舰需以我舰需以1414海里海里/ /小时的速度，沿北偏东小时的速度，沿北偏东1212方向方向航行才能用航行才能用2 2小时追上敌舰。小时追上敌舰。3.3.5 m3.3.5 m长的木棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离堤足长的木棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离堤足1.2 m1.2 m的地面上，另一端在堤上的地面上，另一端在堤上2.8 m2.8 m的地方，求堤对地面的倾斜的地方，求堤对地面的倾斜角角. (. (精确到精确到0.010.01）答：答：堤对地面的倾斜角堤对地面的倾斜角为为63.7763.77. .1.1.利用正弦定理和余弦定理解题时，要学会审题及根据题利用正弦定理和余弦定理解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中加工、抽取主