成贤教材-高数B下习题课下08

1、1、选择题1设f (x, y)连续，且f (x,y)二xy亠if(u,v)dudv,其中 D 是由y=0,y = x2， DX=1所围成区域，则f(x,y)等于(C )解：设b= f(u,v)dudv(常数)。在 D 上对f (x,y)二xy亠.11 f (u,v)dudv两边积分得:DD1x21x211G/口 ,1b= JJxydxdy+b JJdxdy = xdx0ydb dx dy=+ b，解得b=_,DD12 31故f (x,y) =xy -8COSf(Pcos巴PSin)PdP可以写成(D )J川 yy2(A).0dy.0f(x,y)dx;(B)申叮。-f(x,y)dx;3.设f (

2、u)为连续函数，D =(x,y) x3兰y兰1,一1兰x,I =xx f(x2y2)sinydxdy，则D22(A)；( B) ；(C)0;33二、填空题1 .计算下列积分(1)(x2y)dxdy二1。x y d3JJydxdy=4jjx2dxdy=4j dxjx2dy。1x yJ003x0,y 0习题课下081 1(C)QdxQf(x,y)dy；1 x-x(D)0dx02f(x,y)dyo(A)xy；(B)2xy；(C)xy 1；(D)xy 1oJU2 .二次积分(D)3o2解：,(x2y)dxdy= x2dxdy|x| y 訂x y J2(2)讪点y3cosx5dx=si n1。20解:1

3、 1 35dy3yy3cosx1 :dx0dx0 x31y3cosx1x4cosx5d3sin1。202 ysin x , dydx = cos2 -cos1。12x1解：该积分不是二重积分的二次积分。(3)fdyjysnxdx = fdy1 2x_11换序dx =yx -12sinx2-1dxxsinx2dy = - sin xdx = cos2 -cos1。x-111Y3x24_x221odxof(x,y)dydx。f (x, y)dy在极坐标系下的二次积分为I=号d叮f (PcosWfsin)PdP。三、解答题x2y21 设区域D为x2yi R2，求 (二2)dxdy。DX2b2解法1：

4、D关于直线y二x对称，利用轮换对称性化简计算。(X；DX；y211x与y对换|1+；)dxdy=2JJx2dxdy+2JJy2dxdy2Hy2dxdy+2JJx2dxdybXDbD#和嗨”押比护bD(E 5)dxd1rxfdxdy# #dxdy-XD.D，1巨)U(x2+y2)dxdy_2X21II(X2y2)dxdyDD-i极坐标11D(X汨汨*圧圧解法空：1根据积分区域形状选用极坐标计算。D(I 罗咦.(x22)dxdy二Dx2b21盯Rr2rdrb200二R414(X2x2dxdyD.D.,2dxdy2，：(cos2_:x2b22.计算I = cos(x y) dxdy, D:D3xx4

5、解：直线将积分区域 D 分成两个子域。和D2,且D=DD2。I二cos(x y)dxdy二cos(x y)dxdy亠丨丨cos(x y)dxdyDD1D2x=gdxg cos(x+y)dydxJ；_xCos(x+y)dy2 _13设函数f (x)在区间a,b上连续，并设.0f (x)dx = A,1 1 求dx,f(x)f(y)dy。解法 1：化为二重积分，然后利用二重积分的性质。(dx (f (x) f (y)dy = f (x) f(y)dxdyx与与对换 f(y)f(x)dxdy，DD1(.f(x)f(y)dxdy . f(x)f(y)dxdy)DD1111c0f (x)dx0f (y)

6、dy =2A2。解法 2：更换二次积分顺序11换序 1y对换内外积分变量名 x，0dxjxf(x)f (y)d=；0dyj0f(x)f (y)dx - f(x)f(y)dy111111 x0dxxf(x)f(y)dy=20dxxf (x)f(y)dydx0f(x)f(y)dy1111111dx f (x) f (y)dy f (x)dx f (y)dyA2。2002002解法 3:利用定积分换元法。111111x0dxxf(x)f(y)dy = .0 .xf(y)dyf(x)dx = Jxf(y)dyd1f(y)dy1 xx-.01f(y)dydL, f(y)dy1x2-1f(y)dy2.n(

7、sin2-sinx)dx-.It-It；sin(2x)sin2dx二f(2-sin x-cosx)dx =二-2如图,，D1 :0_y _1yMxM11 110dxxf(x)f (y)dy=2.f(x)f(y)dxdyD D1x _110 212石1f(y)dy-2A2。2o5解法 3:利用分部积分1 1 1 10dxxf(x)f(y)dy=0 xf(y)dyf(x)dx二解法1：iiydxdy二:dy .ydxD=2. ：ydy- ：y ,2y-y2dy1-(y-1)2dyz=8_x2_y2，z=x2y2所围立体的体积。C22z=8x-y2+2 .z=x +y2 2x y 4。z = 4故所

8、求立体。在xoy面上的投影区域为D =(x,y)V = (8-x2-y2)d一Ii(x2y2)d二DD-(8 -x2- y2_x2- y2)d；：=8_2(x2y2)d -DD=2d2(8-2“)心2二(4匸2-丄4)2=16二。0 0201 xx= J01f (y)dyd1f(y)dy=(f(y)dy f(y)dy)-1 . 1o1.；1xf(y)dyf(x)dx0 1 1 1 1=1f (y)dy2- j0dx炉(x) f(y)dy = A2- J0dx Qf (x) f( y) dy，0 x112dx f (x)f (y)dyA2。Ox24计算二重积分11ydxdy，其中 D 是由直线x

9、 =-2，y=0,y=2以及曲线D得所求二重积分的方程，解之得令y-1 =u4_ l(u+1)Q1_u2du =4_I1-u2du=42二2sin02解法 2：i iydxdy二ydxdy i iydxdy=4-i：sinDD D1Di詔一83三sin4d4-仁2 21 +cos4甲1-2si n2id11x0 .xf(y)dyd1f (y)dyx = - . 2y -y2所围成的平面区域。=4 -5求由曲面解法 1 两曲面的交线x2y2-4。-2x = _ y-y2X82 yI46解法 2：2兀28222142V = HJdV =0d壮阳pj岸dz =2兀0H8_2P2)dP=2ir4P2-

10、P4；=16兀。Q2解法 3：4848V =dVdz iidxdy4dz dxdy二 zdz亠i (8-z)dz = 16：。QD1(z)D2(z)6.设I二f (x,y,z)dV，其中I】是由x2y2z2_4和x2- y2_3z围成的区域，试在Q直角坐标系、柱面坐标系和球面坐标系下分别将I 化为三次积分。解：(1)在直角坐标系下。在xoy面上的投影区域为Dxy=(x,y) x2+ y2兰3。応3-x2*4_x2_y21_3dx_3,dyx2y2f(x，y，z)dz。3(2)在柱面坐标系下，人-(；,z) 0岂上2二，0_：_ 3,4_亍2，dVdd dz，32二.3 4 ；20 d：0 g2

11、f (cos;:/?sin ,z)dz。(3 )在球面坐标系下，2，1打=(r,K ) 0- _2二，0 , Or乞2，3门2二(r)TTIT0兰护兰2兀-6-320”呼sin日dV=r2sinrdrdd。I = f(x,y,z)dV二f (x, y,z)dV亠111 f (x, y,z)dV0角02f (r sin cos ,rsin sin:,rcos Rr2dr2 -二3cosT1+ dJsin0dTJsin2Tf(rsincos3,r sin Kin ,rco)r2dr两曲面的交线 2X2X2 2+y +z =42二“+ y =3zx2y2=3z=17822 2 2 27求I：i i

12、i(x y z) dxdydz,其中门：(x-1)(y-1)(z-1) R。Qx =u 1解：令y = v 1，则宀：；：u2v2w2乞R2,J(xy,z)： ：(u,v,w)Z =W 12 2I =(x y z) dxdydz= (u v w 3) dudvdwQ02 2 2= (u v w )dudvdw 2 11 i(uv vw uw)dudvdw36 11 i(u v w)dudvdw 9 11 idudvdw =(u v w )dudvdw 12二RR 43453d- sin刃二r4dr 12二R3R512二R3。0005或由轮换对称性知：Il| u2dudvdw=v2dudvdw=w2dudvdw,47HI(u2v2w2)dudvdw=3111 w2dudvdwQ：&R 2Ro 9945=3w2dw i idudv =3w2二(R2-w2)dwR5-R一R5D(w)&利用广义球面坐标变换计算曲面二ax(a 0,b 0,c 0)所围成的体积 v。