第十七章多元函数微分学.

1、第十七章 多元函数微分学（1 6时）§ 1可微性（4时）一. 可微性与全微分：1.可微性：由一元函数引入.:C.C ：x）2 c ：y）2）亦可写为：.- . ：yC：x, y) > (0,0)时 G , ) > (0,0).2. 全微分：例1考查函数f(x,y)二xy在点(x°,y°)处的可微性.1P1O5 E1二. 偏导数：1. 偏导数的定义、记法：2. 偏导数的几何意义：1P109图案17 1.3. 求偏导数：例 2,3,4 .1P142143 E2,3,4 .3丄 2x + y2 丄 2 ", x +y 鼻0,例 5 设 f (x,

2、y) = * Jx2 + y20 ,x2 + y2 =0.证明函数f(x,y)在点(0,0)连续，并求fx(0,0)和fy(0,0).x=-c o 0y 二 si n鳥戛0(崔y) = = I抒=E mP( Pc o S日 +si n 8) = 0 = f (0,0). f (x, y)在点(0,0)连续fx(0,0)limf(x,0)-f(0,0)x 0x3. x c=I i m0,x 0 x | x |fy(0,0)f(0,y) -f(0,0)y2= lim yy ”y|yl不存在151#Ex1P11611711)，2 4 .#三.可微条件：1.必要条件：Th 1设(xo , yo)为函数

3、f (x, y)定义域的内点.f (x, y)在点(xo , y°)可微=fx(x , yo)和 fy(x°, yo)存在,且dfgy°)=df (Xo, yo) =fx(Xo,yo)：xfy(x°,y°) ：y .(证)由于.：x=dx, .y=dy,微分记为 df(Xo，y°) = fx(Xo , y°) dxfy(xo , y°) dy .定理1给出了计算可微函数全微分的方法.两个偏导数存在是可微的必要条件，但不充分.x2 y2 = O,在原点的可微性1P11O E5 .22小x y= Oxy例6考查函数f

4、(x, y) = « Qx? + y20,且fx和fy在点(xo, yo)处连续(证)1 P1112. 充分条件：Th 2若函数z = f (x, y)的偏导数在的某邻域内存在则函数f在点(Xo,y°)可微.Th 3若fy(x, y)在点(Xo , y°)处连续,fx(x, y)点(x°, y°)存在,则函数f在点 (xo, yo)可微证 f(xo：x, y。：y) - f (xo, yo)二 f (Xox, y°、y) - f(xo ：x,y°)丨f (Xo：x,y°) -f (Xo , y°)】二 f

5、y(xo：x, y°= ：y).：y fx(Xo,y°) ：x ： ：x0： 1, ： > 0=fy(Xo,y°)fx(x°, y°) ：x ：x: > o二 fx(Xo, yo) ：x fy(Xo ,y。)：y X ： ：y.即f在点(xo, yo)可微要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件/2丄 2、I(x+y )sin2例 7 设 f (x, y) = *寸x + y0,验证函数f (x, y)在点(0,0)可微，但fx和fy在点(0,0)处不连续f(x, y)p(x,y)； (0,0).153#因此 f(x,y)二 O

6、 ,即 f (x, y) - f(0,0) =0. ：x 0 ：y :(门，f 在点(0,0)可微,fx(0,0) =0, fy(0,0) =0但(x,y) = (0,0)时，有1 x 1fx(x,y) =2xsin cosx 2 2 2 2 2 2x y x yx y沿万向y二kx,f= lim:' 不存在,nx2 y2 x Q|x| . 1 k2沿方向y二kx,极限x11limcos 不存在;又(x, y)；(0,0)时,2xsin 0,x0-x2 y2. x2 y2. x2 y2因此，lim fx(x, y)不存在，fx在点(0,0)处不连续由f关于x和y对称，fy也在 (x,y

7、(0,0)，点(0,0)处不连续四中值定理：Th 4设函数f在点(X。，y。)的某邻域内存在偏导数若(x, y)属于该邻域，则存在=X° J(x X。)和=y° 乙卜y°), 0 ：:宀:1 , 0 ：:乙:1 ,使得f(x,y) -f (x°,y°) = fx( ,y)(x-x°)fy(x°, )(y-y°).(证)例8设在区域D内fx二f y = 0 证明在D内f(X)三C 五.连续、偏导数存在及可微之间的关系：六可微性的几何意义与应用：1 可微性的几何意义：切平面的定义 1P115.Th 5曲面z = f (

8、x, y)在点P(Xo , yo , f ( Xo , yo )存在不平行于Z轴的切平面的充要条 件是函数f(x, y)在点Po(xo,yo)可微.(证略)2. 切平面的求法：设函数f (x,y)在点P0(x0, y0)可微，则曲面z=f(x,y)在点P(Xo ,yo , f(Xo, yo)处的切平面方程为(其中Zo = f (Xo, y°)zZo = fx(Xo,y°)(xxo) fy(xo,y°)(y - y。)，法线方向数为fx(x°,y°) , fy(xo，yo) , -1 ，法线方程为X - Xo_ y - yoz - Zofx(Xo

9、,yo)fy(xo,yo)-1例9试求抛物面 z = ax2 by2在点M (xo, yo, Zq)处的切平面方程和法线方程.1 P115 E63. 作近似计算和误差估计：与一元函数对照，原理.例 10 求 1.083.96 的近似值.1 P115 E71例11应用公式Sabsin C计算某三角形面积.现测得a = 12.50 ,b =8.30, C =30 .2若测量a, b的误差为一0.01, C的误差为一0.1求用此公式计算该三角形面积时的绝对误差限与相对误差限.1 P116 E8Ex 1 P116117514 ；§2复合函数微分法(5时)简介二元复合函数：z = f(x, y

10、), x = (s,t), y - (s,t).以下列三种情况介绍复合线路图：参阅4 P327 328 .Z 二 f (x, y), X 二(s,t), y =(s,t);u = f (x, y,z) , x 二(s,t), y =(s,t) , z = (s,t);u = f (x, y,z) , x 二(s,t, z), y r(s,t,z).一.链导法则：以“外二内二”型复合函数为例Th 设函数 x = (s,t), y = * (s,t)在点(s, t) D 可微,函数 z = f (x, y)在点(x, y)二(s,t)；- (s,t)可微,则复合函数 z 二 f'(s,t)

11、(s,t)在点(s,t)可微,且.:z:s(s,t).:z:x.x(s,t)；z-:y(x,y)(s,t)157#(s,t)(证)1 P155:z:x: z : yx | (x,y) | (s,t) 石(x,y)云 | (s,t)称这一公式为链导公式.该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加，沿线乘” (或“并联加，串联乘”)来概括对所谓“外三内二”、“外二内三”、“外一内二”等复合情况，用“并联加，串联乘” 的原则可写出相应的链导公式.链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数但对外函数的可微性假设不能减弱如1 P156的例.,Xn) (k =1,2, m),有对外 m 元 f (uU2，

12、 ,Um),内 n元 Uk 二#干：UkmXjk z! - UkXj= 1,2/ , n.#外n元内一元的复合函数为一元函数.特称该复合函数的导数为全导数#z= ln(u2 v), u =ex1 P157 E12z zx * y.求和.excy#2 2z = uvuv, u=x cos y ,z和zv = xsin y 求和 exoy#21 P158 E4(1 +x )ln xii > y =sin x +cosx例6设函数u = u(x, y)可微在极坐标变换x = r cost1f k2cU 1cu 1丄5>2CU+2 r1 3丿1 +0丿'、)1 P157 E2例7设

13、函数f (u)可微，z = yf (x2 - y2).求证2 :z:zy xy xz.xy复合函数的全微分：全微分和全微分形式不变性例8 z = exysin(x y).利用全微分形式不变性求,cz 十 czdz,并由此导出和一玫cy1 P160 E5Ex1P1601611 5.三 .高阶偏导数：1. 高阶偏导数的定义、记法:z二ex 2y,求二阶偏导数和；：3z2 '.y x1P167 E1例10 z二arct# .求二阶偏导数.x2. 关于混合偏导数：1P167 170.3. 求含有抽象函数的二元函数的高阶偏导数公式例11z = f (x,).求y-2：z和；：2z1P167 E2

14、1P1711 P171 E34.验证或化简偏微分方程例12-2 c z 证明+2:x(Laplace 方程)尸uFU例13 将方程x ' y '0变为极坐标形式)-arctg . xjy；xxx；r.yC0yxx , x2 2yJr:yJ rjxr2_'2 r:：u；:u；:r:：u円x ；:uy ；:u；:u ；:u；:uc0y_.:u x十 c；:u:x；:r；xxr ；:r2 r5.:y ；rcQr2.:r rcQ因此，x:uy；:u-y 一 =:Xxy ：:u r ；:r2 x2 r:ucQ_ xy rL、2uy2；rr:uc92 xy22 r；:udQ；:u_

15、 cQ解x = r cosr , y 二 r sin 二二 r = x2 y2 ,”r.方程化简为：U =0.cOx by将方程例14试确定a和b ,利用线性变换 s = x ay,-2:u-2x-24；uxy-23弓.r 厶y21592#：2化为一4 =ost解.x-：u.s：s:x-：u-:t-:t.x-U.s-：u-:t-U.:t-yu :u:s ： y .:t .:y.u二 a -:s-:x2：:xf rrc2齐严 2f cu,ou 1G ucsc u+ 丨=2 +<cs吐丿csexeset：t : 2u . s 2u -：t+ + ：:x :：t：s ：:x :t2:xC2uC

16、2u C2u-:s2 +2 ；:s:t + ；:t2h-2c F c口j-2c u C cu c u=+i = tcy ®ct 丿 cs-:s+-2二 u.:y ;：s -：t,2 2zt _ u s ：u t+ + t 2 :y:t s ： y ； t 'y；：2u+ (a-s-2b)二 + b:s-t；：2u:t2因此，；：2u_:u u a b -；s ；:t二 二 a2 专 + 2ab js込+b2 j;:t2一:S:：t?u.x24汽.xy3U2=(1 4a 3a )2? u-2_S+ (2 4a 4b 6ab)2£u_=S.=t+ (1 4b 3b2)u

17、Sto令 1 4a 3a = o, 1+ 4b+3b2=o, n a1, b = 1 或a = 1,b =31_3£2u,此时方程u 4 2x-2 - 2：u u32 o化简为.x :y jy口2;u .o.:s:tEx1P183方向导数和梯度 方向导数：1. 方向导数的定义:定义 设三元函数f在点F0(xo,yo,zo)的某邻域 (Po)R3内有定义为从点P0出发的射线.P(x,y,z)为I上且含于(Po)内的任一点，以t表示P与P0两点间的距离.若极限f (P) - f(Po) p存在，则称此极限为函数f在点Po沿方向I的方向导数,记为一Po或f| (Po)、 clf|(Xo,y

18、o,Zo).对二元函数Z二f (x, y)在点Po(Xo, yo),可仿此定义方向导数.易见， 、 和 是三元函数f在点Po分别沿X轴正向、Y轴正向和Z轴 excycz2161正向的方向导数例1 f(x,y,z) = x y方向导数的计算： z3.求f在点R (1,1,1)处沿丨方向的方向导数，其中i > l为方向(2 , - 2,1) ； ii > l为从点(1,1,1)到点(22,1)的方向解 i >丨为方向的射线为=红辺二匸1 = t ( 0). 即2 -2 1x=2t 1, y=2t 1, z 二t1, (t_0).f(F0) = f(1,1,1) =32332f(P

19、) =f(2t 1 , -2t 1, t 1) =(2t 1)(-2t 1) (t 1) -t 7t t 3卜-J(x -1)2 (y -1)2 (z -1)2 =J(2t)2 (-2t)2 t2、3t.因此：lP)f(P) -f(Po)+ p.t3+7t2+t 二 limt03t#163i > 从点(1,1,1)到点(2, -2,1)的方向l的方向数为(1, -3,0), l方向的射线为 x=t1, y-3t1, z=1, (t_0).f(P) = f(t 1, -3t 1,1) =9t2 -5t 3,f(R) = f(1,1,1) =3；卜 f;；(x -1)2 (y -1)2 (z

20、 -1)2 7；t2 (-3t)2 »；10t.因此汗；：l十艸f(P)【f(P0)29t-5t 5K、10t忖#Th若函数f在点P)(X0,y°,Z0)可微，贝U f在点P。处沿任一方向的方向导数都存在#fl(P。)= fx(P。)cos +fy(P°)cos1 +fz(R)COS ,其中cos：、cos ：和cos为l的方向余弦证)1P163#对二元函数 f (x, y),fl(p°)= fx(p°)cos+fy(P°)cos1,其中：和是 l 的方向角注：由 fl(P。)= fx(P°)cos： +fy(P°

21、)cos1 +fz(R)cos可见，f|(F0)为向量=fx(Po)，fy(Po)，fz(Po)COS： , COS cos ,fx(Po)，fy(Po) , fz(R) 在方向l上的投影例2(上述例1 )2 221解i > l的方向余弦为COS =, COS =, COS =.p'22 +(2)2 +12333fx(Po)=1 , fy(P°) = 2y y吕=2 , fz(Po) = 3z2 z3.干2211因此，=fx(P°)cos： +fy(P°)cos1 + fz(Po) COS =2 () 3.d333 3ii > l的方向余弦为c

22、os ：=V10cos = 0211cos ：=(2 -1)2 (-2 -1)2 (1 -1)210因此f 13=1 2 l、10.10，但不必要可微是方向导数存在的充分条件 例 31P164 E2 .二.梯度(陡度)：1.梯度的定义： gradf 二 fx(R), fy(R) , fz(P。)igradf |= J(fx(P°) f+(fy(P°) f+(fz(P°) f .易见，对可微函数f ,方向导数是梯度在该方向上的投影.2. 梯度的几何意义：对可微函数，梯度方向是函数变化最快的方向这是因为fl(P0) =gradf l =| gradf (F0) | c

23、os71.其中二是l与gradf (P0)夹角.可见- 0时f/P。)取最大值，在l的反方向取最小值3. 梯度的运算：i > grad (u c)二 grad u .ii > grad (: u + ： v) = :- grad u + grad v.iii> grad (u v) = u grad v + v grad u.,v ugradv vgraduiv > graduu> grad f(u) = f (u)gradu .165#HxuVx uxVgradv = 12 ( uvxu uuvy -uyv )二#12uuvx , u vy ) - ( uxv

24、, uyv) 1 =#,vy) -v(ux ,uy) ugradv - vgradu u#167Ex1P1651 , 2 , 3 , 6 .§ 4 Taylor公式和极值问题（4时）一. 中值定理： 凸区域2Th 1设二元函数f在凸区域D R上连续，在D的所有内点处可微则对D内任意两点P（a,b）, Q（a h , b k） int D ,存在二（0 ：八：1）,使f（a h,b k） - f（a,b）二 fx（a >i,b =k）h f（a +i,b =k）k.证 令:(t) =f(a th,b tk) j 在闭凸区域上的情况：1P173174.推论 若函数f在区域D上存在偏

25、导数，且fx三f y三0 ,则f是D上的常值函数二. Taylor 公式：Th 2 （Taylor公式）若函数f在点P°（x。，y°）的某邻域（P）内有直到n 1阶连续偏导数，则对（R）内任一点（X。 h,yo k）,存在相应的八（0,1）,使#f (xo h , yo k) ai!(a八C G上1( 戸h +k f(x0,y°) + “h + k 泳创)(n +1)!內丿f(X。汕，y° f#证1P1751 P175176 E4 .例1求函数f (x, y)二xy在点(1,4)的Taylor公式(到二阶为止).并用它计算 (1.08)3'96.

26、三. 极值问题：1. 极值的定义：注意只在内点定义极值例 21P176 E5EX 1P1835，6，7.2. 极值的必要条件：与一兀函数比较.Th 3 设P0为函数f(P)的极值点.则当fx(P0)和存在时，有fx(P0)= fy(F0) =0.(证)函数的驻点、不可导点函数的可疑点.3.极值的充分条件:代数准备：给出二元(实)二次型 g(x, y) = ax2 + 2bxy + cy2.其矩阵为'ab、2c丿g(x, y)是正定的，u顺序主子式全0 ,g(x,y)是半正定的，= 顺序主子式全一 0;ii > g(x, y)是负定的，二(-1)k |aij |k 0,其中| ai

27、j 为k阶顺序主子式g(x,y)是半负定的，二(-1)k |aj |k 0.a biii >< 0时，g(x, y)是不定的.b c丿充分条件的讨论：设函数f (x, y)在点P0(x0, y0)某邻域有二阶连续偏导数.由Taylor#公式，有f(xo h , yo - k)-Q2:x -yjr-J-11J-(Xo,y°)= h+k f (Po) + h+k2 创丿2!<f(Po) (，2)169#= fx(P) h+fy(Po)k +fxx(Po)h2+2fxy(Po)hk+ fyy(Po)k2】+qP2).令 A = fxx(Po) , B = fxy (F0), C = fyy (F0),则当 Po 为驻点时，有f (x0 h , y0 k) - f (x0, y0)=丄 Ah2 2Bhk Ck2 丨(：、2).其中二.h2 k2 . 2可见式f(x。 h, yo k f (xo，yo)的符号由二次型 Ah2 2Bhk - Ck2完全决定.称该二次型的矩阵为函数f（x, y）的Hesse矩阵.于是由上述代数准备，有2i >A 0,AC - Bo, =P）为（严格）极小值点；2ii >A ： 0,AC - B0, =F0为（严格）极大值点；iii > AC -B