中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第7章课后习题详解

1、第七章空间解析几何与向量代数第七章空间解析几何与向量代数内容概要内容概要名称主要内容（7-1，7-2，7-3）向量及线性运算向量的加减法三角形法则平行四边形法则向量与数的乘法a：当0时，a表示和a同向，aa的向量；当0，a表示和a反向，aa的向量；主要性质：（1）a单位化向量为aa，（2）baa/b向量的坐标),(),(22221111zyxMzyxM的距离：212212212)()()(zzyyxx向量的代数运算kjiazyxaaakjibzyxbbbkjiba)()()(zzyyxxbababakjiazyxaaa向量a的模、方向余弦：222zyxaaaa，aaazxxabacos,cos

2、,cos向量a在轴上的投影：aaaa),cos(Pr j数量积向量积混合积数量积定义及运算：zzyyxxbababa),cos(bababa主要性质： （1）2aaa； （2）0baba， （3）bababa),cos(向量积定义运算ba的模为),sin(bababa，方向为a指向b大拇指方向zyxzyxbbbaaakjiba性质：（1）ba表示以a、b为邻边的平行四边形面积；（2）bbaaba , 混合积定义及运算：zyxzyxzyxcccbbbaaacba)(性质：（1）bacacbcba)()()(（2）cba,共面的充要条件：0)(cba习题习题 7-17-11填空：（1）要使baba

3、成立，向量ba , 应满足ba （2）要使baba成立，向量ba , 应满足 /ba，且同向2设cbavcbau3 , 2，试用cba , , 表示向量vu32 知识点知识点：向量的线性运算解解：cbacbacbavu7115393422323设Q , P两点的向径分别为21 , rr，点R在线段PQ上，且nmRQPR，证明点R的向径为nmmnrrr12 知识点知识点：向量的线性运算证明证明：在OPQ中，根据三角形法则PQOPOQ，又)(21rr nmmPQnmmPR，nmmnnmmPROPOR22rrrrr111)(4已知菱形ABCD的对角线baACBD , ，试用向量ba , 表示DACD

4、BCAB , , , 。知识点知识点：向量的线性运算解解：根据三角形法则，baBDAD , ABACBCAB，又ABCD为菱形，BCAD （自由向量），222ABACBDABCDDCAB abbaab2ba BCAD，2DA ab5把ABC的BC边五等分，设分点依次为4321 , , , DDDD，再把各分点与点A连接，试以acBCAB , 表示向量 , , 321ADADAD和AD4。知识点知识点：向量的线性运算解解：见图 7-1-5，ABC1D2D3D4Dca图 7-1-5根据三角形法则，)51(51 ,11111ac ADADBCBDADBDAB同理：)54( ),53( ),52(43

5、2acacacADADAD习题习题 7-27-21 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？(2 ,2 , 3)A；5) , 3 , 3(B；)4 , 2 , 3(C；2) , 3 , 4(D答答：(2 ,2 , 3)A在 第 四 卦 限 ，5) , 3 , 3(B在第五卦限，)4 , 2 , 3(C在第八卦限，2) , 3 , 4(D在第三卦限2在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？并指出下列各点的位置：ABCD(2,3,0); (0,3,2); (2,0,0); (0, 2,0)知识点知识点：空间直角坐标答答：在各坐标面上点的坐标有一个分量为零，坐标轴上点的坐标有两个分量为零，点

6、A在 xoy 坐标面上；B在 yoz 坐标面上；C在 x 轴上；D在 y 轴上。3求点a b c( , , )关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标。答答：（1）a b c( , , )关于 xoy 面的对称点的坐标为),(cba；关于 xoz 面的对称点的坐标为),(cba ；关于 yoz 面的对称点的坐标为),(cba。（2）a b c( , , )关于 x 轴的对称点的坐标为),(cba；关于 y 轴的对称点的坐标为),(cba；关于 z 轴的对称点的坐标为),(cba （3）a b c( , , )关于原点的对称点的坐标为),(cba4过点P xyz0000(

7、,)分别作平行于 z 轴的直线和平行于 xoy 坐标面的平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？答答：过点P xyz0000(,)平行于 z 轴的直线上的点 x、y 坐标一定为00, yx，因此坐标为xyz00(, )；过点P xyz0000(,)平行于 xoy 坐标面的平面上的点的竖坐标一定为0z，因此坐标为x y z0( , ,)5求点M(5, 3,4)到各坐标轴的距离。解解：),(zyxM到 x 轴的距离为22yz M(5, 3,4)到 x 轴的距离为516922 yz；同理M(5, 3,4)到 y 轴的距离为41162522 zx；M(5, 3,4)到 z 轴的距离为3492522

8、yx6在 yoz 面上，求与三点ABC(3,1,2), (4, 2, 2), (0,5,1)等距离的点。知识点知识点：空间两点的距离解解：所求点在 yoz 面上，设所求点的坐标为), 0(zy，由条件可知：222222) 1()5()2()2(16)2() 1(9zyzyzy2164543zyzyzy，所求点为)2, 1 , 0(7已知两点MM12(0,1,2),(1, 1,0)，试用坐标表示式表示向量M MM M1212, 2。知识点知识点：空间两点的距离、向量的坐标表示及代数运算解解：2 , 2, 121MM；4 , 4 , 22 , 2, 12221MM8求平行于向量a6,7, 6的单位

9、向量知识点知识点：向量的坐标表示及代数运算解解：平行于向量a6,7, 6的单位向量有和a同向和反向两个，116 ,117 ,1166, 7 , 63649361aaa09已知两点MM12(4, 2,1),(3,0,2)，计算向量M M12的模、方向余弦、方向角。知识点知识点：向量的坐标表示及代数运算解解：根据向量模、方向余弦、方向角的计算公式可得：22cos,21cos , 21211 , 2 , 12121MMMM21cos3 , 43 , 3210已知向量a的模为 3，且其方向角60 ,45，求向量a。知识点知识点：向量的坐标表示及相关概念解解：根据向量、向量的模、方向余弦之间的关系可得：

10、23,223,233cos,4cos,3cos3cos,cos,cosaa11设向量a的方向余弦分别满足(1)cos0,(2)cos1,(3)coscos0问这些向量和坐标轴或坐标面的关系如何？知识点知识点：向量的方向余弦解解：（1）0cos表示向量和 x 轴正向夹角为2，因此该向量和 x 轴垂直，或平行于 yoz 面（2）1cos表示向量和 y 轴正向夹角为零，因此该向量和 y 轴平行且方向相同（3）0coscos表示向量和 x、y 轴正向夹角都为2，说明该向量和 x、y 轴都垂直，因此平行于 z 轴12已知rr4,与轴的夹角是60，求jrPr。知识点知识点：向量在轴上的投影解解：根据投影公

11、式2),cos(Prrrrj13一向量的终点为B(2, 1,7)，它在 x 轴、y 轴和 z 轴上的投影依次为4, 4,7，求该向量的起点A的坐标。知识点知识点：向量在坐标轴上的投影解解：向量的坐标分量即为它在 x 轴、y 轴和 z 轴上的投影，设起点A为),(zyxA，则：)0 3, , 2(),(7 , 4 , 47 ,1 ,2zyxzyxAB14求与向量a16, 15,12平行，方向相反，且长度为 75 的向量b。知识点知识点：向量的坐标表示及代数运算解解：由条件可得：ba，b长度为 75，375121516222b和a反向，3 b 48,45, 36a =，习题习题 7-37-31设5

12、 , 3ba，且两向量的夹角3/，试求)23()2(baba。知识点知识点：向量的数量积及其运算规律解解：根据数量积的运算规律：224623)23()2(babbaababa22443bbaa，103)23()2(215)cos(bababababa2已知(3,1,3) 3,3,1),( ),2 , 1, 1 (321MMM，求同时与3221 , MMMM垂直的单位向量知识点知识点：向量的向量积解解：由向量积性质：bbaaba ,，2 , 2, 0 , 12,4,3221MMMMkjikji446220142 3221MMMM为同时与3221 , MMMM垂直的向量所求单位向量为172 , 1

13、72,1732 , 2, 322312223设力kjif532作用在一质点上，质点由1,1,2)(1M沿直线移动到3,4,5)(2M，求此力所做的功（设力的单位为 N，位移的单位为 m）知识点知识点：数量积的物理意义解解：数量积的物理应用之一：力沿直线作功。位移为3,3,221MM，)(10)332()532(21mNMMkjikjifW4求向量3,4)4, a在向量2,2,1b上的投影。知识点知识点：向量在轴上的投影解解：根据公式2),cos(Prbbababaabaaabj。5设2,1,4 , 23,5,ba，问与有怎样的关系能使ba与 z 轴垂直？知识点知识点：两向量垂直的充要条件解解：

14、根据两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为零，取 z 轴的单位向量) 1 , 0 , 0，则() 0,0,12402 ab6 在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为1x的点1P处， 有一与1OP成角1的力1F作用着， 在O的另一侧与点O的距离为2x的点2P处，有一与2OP成角2的力2F作用着，如图，问1，2，1x，2x，1F，2F符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？2F1F1x2x12o图 7-3-6知识点知识点：向量积的物理应用解解：1P处1F作用产生的力矩11FM1OP，2P处2F作用产生的力矩22FM2OP，要使杠杆平衡，只要21MM2211sinsin21FFxx7设jickjibkjia2

15、 , 3 , 32，求（1）bcacba)( )；（2）)()(cbba；（3）cba )(知识点知识点：向量运算的坐标表示解解（1）24 , 8 , 088)(bcbcacba)（2）kjkjicbba3324433 , 3, 24 , 4, 3)()(（3）20 , 2, 11 , 5 , 8)311132()(ckjicba8直线L通过点2,1,3)(A和,2)1, 0( B求点10,5,10)(C到直线L的距离。知识点知识点：向量积思路思路：在CBA,为顶点组成的三角形中，AB边上的高即为所求距离。解解：设所求的距离值为h，3AB，又根据向量积的性质：12SABACABC 210321

16、212303226107412122hhACABSACABACABABCkjikji9试证向量baabba表示向量a与b夹角的平分角线向量的方向。思路思路：按题意，只要证该向量在a方向上的投影和它在b方向上的投影相同。解解：设baabbac，,)()(Prbaabbaabbaaababaaaabacacaj而cbaabbaabbabbbabababbbcbcabjjPr)()(Pr又)( , )1 (babbabaabbackkkc和a、b在同一平面上，c表示向量a与b夹角的平分角线向量的方向10设ban , bamk2，其中2 , 1ba，且ba 。知识点知识点：向量的数量积、向量积及其性质

17、（1）k为何值时，nm ？解解：0nmnm，由04)2(2)()2(0baba banmkkkba ，0ba2 k（2）k为何值时，m与n为邻边的平行四边形面积为 6。解解：m与n为邻边的平行四边形面积baba banm)2()()2(kkSba ，2baba1622kkS或5k11设cba,均为非零向量，其中任意两个向量不共线，但ba 与c共线，bc 与a共线，试证0cba。证明证明：ba 与c共线，bc 与a共线，可设)0, 0( , ,)(2121a bccba代入可推得ba)1 ()(112，又其中任意两个向量不共线， 则由ba,不共线且为非零向量，可得：101121120cba12试

18、证向量kjickjibkjia6123 , 432 , 23在同一平面上，并沿a和b分解c。知识点知识点：向量的混合积及其几何意义解解：根据向量混合积的几何意义：cba,共面0)(cba，又015203306123432231)(cba，cba,共面设c=ba21，将cba,代入 642 ,12)(3 , 32212112bac5 1 , 52113设点CBA,的向径分别为kjirkjirkjir3219104 , 573 , 42，试证：CBA,三点在一直线上。思路思路：只要证：向量AB和AC平行证明证明：3,7,5 2,4,11,3,4ABOBOA ；4,10,9 2,4,12,6,8AC

19、OCOA 2/ /ACABABAC 14已知, , , , ,321321321cccbbbaaacba，试利用行列式的性质证明：bacacbcba)()()(证明证明：321321321)(cccbbbaaacba，321321321)(aaacccbbbacb，而行列式321321321aaacccbbb是行列式321321321cccbbbaaa交换两次两行得到，acbcba)()(。同理可证：bacacb)()(，bacacbcba)()()(15试用向量证明不等式：332211232221232221babababbbaaa。思路思路：232221aaa可看作向量,321aaaa的模

20、；232221bbb是向量,321bbbb的模，而332211bababa是ba的值。证明证明：设,321aaaa，,321bbbb，则232221232221,bbbaaababababababa)cos(即：332211232221232221babababbbaaa内容概要内容概要主要内容（7-4，7-5，7-8）曲面及其方程旋转曲面xoy 面上曲线0),(yxf绕 x 轴旋转的旋转曲面方程：0,(22zyxfyoz 面上曲线0),(zyf绕 z 轴旋转的旋转曲面方程：0),(22zyxfxoz 面上曲线0),(zxf绕 z 轴旋转的旋转曲面方程：0),(22zyxf常见旋转曲面（1）圆

21、锥面：)(2222yxaz（yoz 面上曲线yz 绕 z 轴旋转而成）（2）旋转单叶双曲面：122222czayx（zox 面上的曲线12222czax绕 z轴旋转而成）柱面0),(yxf表示准线为：00),(zyxf母线平行于 z 轴的柱面0),(zyf表示准线为：00),(xzyf母线平行于 x 轴的柱面0),(zxf表示准线为：00),(yzxf母线平行于 y 轴的柱面柱面方程特点：缺少某个变量常见柱面（1）抛物柱面：baxy2表示母线平行于 z 轴的抛物柱面（2）椭圆柱面：12222bzax表示母线平行于 y 轴的椭圆柱面（3）双曲柱面：12222bzay表示母线平行于 x 轴的双曲柱

22、面二次曲面椭球面、抛物面、双曲面空间曲线L的一般方程L的参数方程0),(0),(zyxGzyxF)( , )( , )(tztytx及其方程L在坐标面上的投影消去L方程中的变量 z 得到的0),(yxH即为L在 xoy 面上的投影柱面，00),(zyxH就是L在 xoy 面上的投影曲线（以此类推）习题习题 7-47-41求以点)2 , 2, 1 ( O为球心，且通过坐标原点的球面方程。知识点知识点：空间两点的距离解解：设球面上点的坐标为),(zyx，则根据两点距离公式：2222)2()2() 1(Rzyx，原点在球面上， , 32)2(1222R球面方程：9)2()2() 1(222zyx。2

23、一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离，求该动点的轨迹方程。解解：设动点的坐标为（zyx,），则根据等距离的条件：222222)6()5()4() 1()3()2(zyxzyx动点的轨迹方程为：0631044zyx3方程07442222zyxzyx表示什么曲面？解解：方程可化为：16)2()2() 1(222zyx该方程表达的是以)2 , 2, 1 ( 为球心、半径为 4 的球面。4将 xoz 坐标面上的抛物线xz52绕 x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面方程。知识点知识点：旋转曲面解解：xoz 坐标面上的抛物线xz52是绕 x 轴旋转旋转曲面方程为xzyxzy55)(222225

24、将 xoz 坐标面上的抛物线922 zx绕 z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面方程。解解：xoz 坐标面上的抛物线922 zx是绕 z 轴旋转旋转曲面方程为99)(2222222zyxzyx。6指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？（1）0 x；（2）1 xy；（3）422 yx；（4）122 yx答答：（1）0 x在平面解析几何中表示 y 轴，在空间解析几何中表示 yoz 坐标面（2）1 xy在平面解析几何中表示一条直线，在空间解析几何中表示平行于 z 轴，在 xoy 坐标面上投影为1 xy的一个平面。（3）422 yx在平面解析几何中表示 xoy 面上，原点为心、半

25、径为 2 的圆线，在空间解析几何中表示准线为 xoy 面上的圆线422 yx，母线平行于 z 轴的圆柱面。（4）122 yx在平面解析几何中表示 xoy 面上的双曲线，在空间解析几何中表示准线为 xoy 面上的双曲线122 yx，母线平行于 z 轴的双曲柱面。7说明下列旋转曲面是怎样形成的：（1）1994222zyx；（2）14222zyx；（3）1222zyx。知识点知识点：旋转曲面解解：方程1994222zyx可变化为19)(42222zyx，方程表达的是：xoy 坐标面上的曲线19422yx绕 x 轴旋转一周所得的旋转曲面注注：方程1994222zyx也可看作是：xoz 坐标面上的曲线1

26、9422zx绕 x 轴旋转一周所得的旋转曲面8指出下列各方程表示哪种曲面：（1）0222zyx；（2）022 yx；（3）022 yx（4）03 zy；（5）0342yy；（6）116922yx（7）1922yx；（8）yx42；（9）0222yxz答答：（1）方程表达开口向着 z 轴正向的圆抛物面（或旋转抛物面）（2）220 xyyx 或yx，表达两个垂直于 xoy 面的平面：yx ；yx（3）2200,0 xyxy表示 z 轴（4）平行于 x 轴且经过 yoz 面上的直线03 zy的平面（5）3y和1y这两个平行于 xoz 坐标面的平面（6）准线为 xoy 坐标面上的椭圆116922yx，

27、母线平行于 z 轴的椭圆柱面xyz7-5-1-（2）0229zxyxy（7）准线为 xoy 坐标面上的双曲线1922yx，母线平行于 z 轴的双曲柱面（8）准线为 xoy 坐标面上的抛物线yx42，母线平行于 z 轴的抛物柱面（9）yoz 坐标面上的直线zy 绕 z 轴旋转一周所得的圆锥面习题习题 7-57-51画出下列曲线在第一象限内的图形：（1）42yx；（2）0922yxyxz；（3）222222azxayx解解（1）24xyz7-5-1-（1）（2）（3）0 xyzx7-5-1-（3）2方程组5225xyxy在平面几何与空间解析几何中各表示什么？答答：方程组5225xyxy在平面几何中

28、表示两条直线的交点，在空间解析几何中表示垂直于 xoy 坐标面的两平面的交线。3方程组219422xyx在平面几何与空间解析几何中各表示什么？答答：方程组219422xyx在平面几何中表示一个点（2，0），在空间解析几何中表示椭圆柱面19422yx和平面2x的交线：02yx。4求曲面zyx10922与 yoz 平面的交线。解解：yoz 平面方程为0 x，交线为22291091000 xyzyzxx5分别求母线平行于 x 轴及 y 轴而且通过曲线0162222222yzxzyx的柱面方程。知识点知识点：曲线在坐标面上的投影柱面及投影曲线解解：要求过曲线0162222222yzxzyx且母线平行于

29、 x 轴的柱面方程，只要方程组消去变量 x所求柱面方程为16322 zy要求过曲线0162222222yzxzyx且母线平行于 y 轴的柱面方程，只要方程组消去变量 y所求柱面方程为223216xz6求曲线91222zyxzx在 xoy 面上的投影方程。知识点知识点：曲线在坐标面上的投影柱面及投影曲线解解：要求曲线91222zyxzx在 xoy 面上的投影方程，只需方程组消去变量 z所求柱面方程为：8229)1 (22222xyxxyx7求曲线033230122zxyzzxzy在 xoz 面上的投影方程。解解：要求曲线033230122zxyzzxzy在 xoz 面上的投影方程，只需方程组消去

30、变量 y所求投影方程为：2242300 xzxy8将曲线xyzyx9222化为参数方程。思路思路：若将xy 代入9222zyx，可得9222 zx，因此可通过椭圆方程的参数式求出曲线的参数式。解解：将xy 代入9222zyx，可得9222 zx，该方程可用参数式表达为：sin3cos223zx，曲线xyzyx9222的参数式为sin3cos223cos223zyx9将曲线的一般方程04) 1() 1(222zzyx化为参数方程。解解：将0z代入4) 1() 1(222zyx，可得：3) 1(22yx，该圆方程的参数式为：sin3cos31yx，曲线04) 1() 1(222zzyx的参数方程为

31、：0sin3cos31zyx。10指出下列各方程组表示什么曲线：（1）0302yx（2）0220222zzyx（3）13694222yzyx（4）24422yzyx（5）88422zzyx答答：（1）两平面的交线，该直线平行于 z 轴（2）表示球面22220 xyz与平行于 xoy 面的平面2z 的交线，为一在2z 平面上的圆线：22162xyz（3）表示单叶双曲面2224936xyz和1y 平面的交线，为一在1y 平面上的椭圆线：229401xzy（4）表示双曲抛物面（即马鞍面）2244xyz与2y 平面的交线，为一在2y 平面上的抛物线：21642xzy （5）表示双曲抛物面（即马鞍面）2

32、248xyz与8z 平面的交线，为一在8z 平面上的双曲线：224648xyz11求旋转抛物面)40(22zyxz在三坐标面上的投影。知识点知识点：曲面的投影和空间区域的投影解解：见图 7-5-11，xyzoxyzo图 7-5-11（1）由于旋转抛物面)40(22zyxz投影到 xoy 面上时，它的边界线是422zyxz，在 xoy 面上的投影为：0422zyx；（2）由于旋转抛物面)40(22zyxz投影到 yoz 面上时，它的边界线是：0)40( ,22xzyxz在 yoz 面上的投影为：042xzy（3）同理，旋转抛物面)40(22zyxz在 xoz 面上的投影为：042yzx12假定直

33、线L在 yoz 平面上的投影方程为0132xzy，而在 zox 平面上的投影方程为02yzx，求直线L在 xoy 面上的投影方程。解解：直线L在 yoz 平面上的投影方程为0132xzy，直线L一定在投影柱面132 zy上，同理，直线L也一定在投影柱面2 zx上，直线L方程为2132zxzy，消去 z 得到直线L在xoy 面上的投影方程：0723zyx内容概要内容概要主要内容（7-6，7-7）空间平面及其方程平面的点法式方程过),(0000zyxM，法矢为,CBAn的平面方程：0)()()(000zzCyyBxxA平面的一般方程0DCzByAx平面的截距式方程1czbyax点),(0000zy

34、xM到平面0DCzByAx的距离：222000CBADCzByAxd两平面的夹角：212121212121cosCBACCBBAA（1：01111DzCyBxA，2：02222DzCyBxA）空间直线及其方程对称式方程过),(0000zyxM，方向矢为,pnms的直线方程：pzznyymxx000对称式方程和一般方程的关系：222111CBACBAkjis 一般方程0022221111DzCyBxADzCyBxA参数方程000 , , zptzyntyxmtx两直线的夹角：222222212121212121cospnmpnmppnnmm2121ssss（1L的方向矢,111pnm1s，2L的

35、方向矢,222pnm2s）直线和平面的夹角：222222sinCBApnmpCnBmAsnsn（直线L：pzznyymxx000，L的方向矢为,pnms；平面：0DCzByAx），的法矢为,CBAn平面束方程（L为一般方程式）：0)(22221111DzCyBxADzCyBxA习题习题 7-67-61 求通过点)3, 4 , 2(且与平面5532zyx平行的平面方程。知识点知识点：平面及其方程思路思路：已知平面上的一点和平面的法矢，可求出平面方程解解：所求平面与已知平面5532zyx平行，的法矢5, 3 , 2n，由平面的点法式方程可得：315320)3(5)4(3)2(2zyxzyx2求过点

36、0(2,9, 6)M且与连接坐标原点及点0M的线段0OM垂直的平面方程。知识点知识点：平面及其方程解解：所求平面与0OM垂直，的法矢02,9, 6nOM，又过点0(2,9, 6)M，：2(2)9(9)6(6)0296121xyzxyz3求过点)3 , 0 , 2( , )3 , 2 , 3( , )2 , 1 , 1 (321MMM三点的平面方程。思路：根据条件，平面过已知点，若能求出平面的法矢就可得平面方程。解：所求平面 EMBED Equation.3过三点 EMBED Equation.3，平面 EMBED Equation.3的法矢EMBED Equation.3应满足：EMBED E

37、quation.3， EMBED Equation.3；可选择 EMBED Equation.3， EMBED Equation.3： EMBED Equation.3注：三点 EMBED Equation.3组成的任意两个向量的向量积都可作为平面 EMBED Equation.3的法矢EMBED Equation.34平面过原点 EMBED Equation.3，且垂直于平面 EMBED Equation.3， EMBED Equation.3求此平面方程。思路：根据条件，已知平面过原点，若能求出平面的法矢就可得平面方程。解：设所求平面 EMBED Equation.3和已知平面 EMBED

38、 Equation.3、 EMBED Equation.3的法矢分别为 EMBED Equation.3、 EMBED Equation.3、 EMBED Equation.3， EMBED Equation.3EMBED Equation.3，EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBEDEquation.3， EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3， EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3可选择 EMBED Equa

39、tion.3的法矢 EMBED Equation.3EMBED Equation.3， EMBED Equation.3：EMBED Equation.35指出下列各平面的特殊位置：（1） EMBED Equation.3；（2） EMBED Equation.3；（3） EMBED Equation.3；（4）EMBED Equation.3；（5） EMBED Equation.3； （6） EMBED Equation.3；（7） EMBED Equation.3。答：（1）该平面平行于 yoz 面；（2）该平面平行于 xoz 面；（3）该平面平行于 z 轴；（4）该平面平行于 z 轴且

40、过原点，即过 z 轴； （5）该平面平行于 x 轴； （6）该平面平行于 y 轴且过原点，即过 y 轴（7）该平面过原点6求平面 EMBED Equation.3和各坐标轴的夹角余弦知识点：平面及向量的方向余弦解：平面 EMBED Equation.3的法矢 EMBED Equation.3，和 x、y、z 轴的夹角余弦分别为：EMBED Equation.37已知 EMBED Equation.3和 EMBED Equation.3，求平行于 EMBED Equation.3所在的平面且与它的距离等于 2 的平面方程。思路：可先借鉴本单元的习题 3，求出过 EMBED Equation.3的

41、平面的法矢，也是所求平面的法矢。解：设所求平面 EMBED Equation.3的法矢为 EMBED Equation.3， EMBED Equation.3设 EMBED Equation.3的平面一般方程为： EMBED Equation.3，有条件 EMBED Equation.3所在的平面与 EMBED Equation.3的距离等于 2点 EMBED Equation.3到平面的距离 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3的方程为： EMBED Equation.3或EMBED Equation.38确定 EMBED Equation.3的值，使平面 EM

42、BED Equation.3适合下列条件之一：（1）经过点 EMBED Equation.3；（2）与 EMBED Equation.3垂直；（3）与 EMBED Equation.3平行；（4）与 EMBED Equation.3成 EMBED Equation.3角； （5）与原点的距离等于 3；（6）在 y 轴上的截距为 EMBED Equation.3。解：（1） 平面 EMBED Equation.3经过点 EMBED Equation.3， 点代入平面方程可得：EMBED Equation.3（2）平面 EMBED Equation.3与平面 EMBED Equation.3垂直，

43、两平面的法矢 EMBED Equation.3垂直， EMBED Equation.3（3）平面 EMBED Equation.3与平面 EMBED Equation.3平行，两平面的法矢 EMBED Equation.3平行 EMBED Equation.3（4）平面 EMBED Equation.3与平面 EMBED Equation.3成 EMBED Equation.3角，两平面的法矢EMBED Equation.3夹角为 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3（5）平面 EMBED Equation.3与原点的距离等于 3， EMBED Equation.

44、3（6）平面 EMBED Equation.3在 y 轴上的截距为 EMBED Equation.3，根据平面的截距式方程： EMBEDEquation.3EMBED Equation.39求点 EMBED Equation.3到平面 EMBED Equation.3的距离。解：根据点到平面的距离公式： EMBED Equation.310求平行于平面 EMBED Equation.3且与球面 EMBED Equation.3相切的平面方程。思路：所求平面 EMBED Equation.3/平面 EMBED Equation.3，所以可知 EMBED Equation.3的法矢，由 EMBED

45、 Equation.3与球面相切的条件又可知球心到平面的距离。解：所求平面 EMBED Equation.3/平面 EMBED Equation.3， EMBED Equation.3的法矢 EMBEDEquation.3，设 EMBED Equation.3的方程为：EMBED Equation.3， EMBED Equation.3与球面相切，球心到平面的距离为球半径 10， EMBED Equation.3： EMBED Equation.311求平面 EMBED Equation.3与 EMBED Equation.3的夹角的平分面的方程。知识点：平面与平面的夹角、点到平面的距离思路：

46、两平面的夹角平分面上的点应满足到两平面的距离相等解：设所求平面 EMBED Equation.3上的动点坐标 EMBED Equation.3， EMBED Equation.3是平面EMBED Equation.3与平面EMBED Equation.3的夹角的平分面， EMBED Equation.3到两平面的距离相等，于是：EMBED Equation.3，EMBED Equation.3习题 7-71求过点 EMBED Equation.3且平行于直线 EMBED Equation.3的直线方程。知识点：直线的对称式方程解：所求直线 EMBED Equation.3/直线 EMBED E

47、quation.3， EMBED Equation.3的方向矢 EMBEDEquation.3，又已知 EMBED Equation.3过点 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3： EMBED Equation.32求过两点 EMBED Equation.3和 EMBED Equation.3的直线方程。知识点：直线的对称式方程解：所求直线 EMBED Equation.3过两点 EMBED Equation.3和 EMBED Equation.3， EMBEDEquation.3的方向矢 EMBED Equation.3可取为EMBED Equation.3，

48、EMBED Equation.3： EMBED Equation.33用对称式方程及参数方程表示直线 EMBED Equation.3。知识点：直线的各种表达式之间的转换解：直线 EMBED Equation.3表达为两平面交的一般方程形式： EMBED Equation.3，则 EMBEDEquation.3的方向矢 EMBED Equation.3和两平面的法矢都垂直， EMBED Equation.3，取 EMBEDEquation.3上的一点：令 EMBED Equation.3EMBED Equation.3， EMBED Equation.3的对称式方程： EMBED Equati

49、on.3，EMBED Equation.3的参数方程： EMBED Equation.34证明两直线 EMBED Equation.3与 EMBED Equation.3平行。证明：根据上一题解答可知直线 EMBED Equation.3EMBED Equation.3的方向矢 EMBED Equation.3直线 EMBED Equation.3EMBED Equation.3的方向矢 EMBED Equation.3， EMBED Equation.3/ EMBED Equation.35求过点 EMBED Equation.3且与两直线 EMBED Equation.3和 EMBED E

50、quation.3都平行的平面方程。思路：所求平面 EMBED Equation.3和两直线平行，则说明 EMBED Equation.3的法矢和两直线的方向矢都垂直。解： 设所求平面 EMBED Equation.3的法矢为 EMBED Equation.3； 两直线 EMBED Equation.3： EMBEDEquation.3和 EMBED Equation.3： EMBED Equation.3的方向矢分别为 EMBED Equation.3。 EMBED Equation.3/ EMBED Equation.3， EMBED Equation.3/ EMBED Equation.

51、3EMBEDEquation.3，其中EMBED Equation.3， EMBED Equation.3， EMBED Equation.3： EMBED Equation.36求过点 EMBED Equation.3且与两平面 EMBED Equation.3和 EMBED Equation.3平行的直线方程。思路：所求直线 EMBED Equation.3与两已知平面平行，所以 EMBED Equation.3的方向矢和两平面的法矢都垂直。解：设所求直线 EMBED Equation.3的方向矢为 EMBED Equation.3，两平面 EMBED Equation.3：EMBED E

52、quation.3和 EMBED Equation.3： EMBED Equation.3的法矢分别为 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3， EMBED Equation.3： EMBED Equation.37求过点 EMBED Equation.3且通过直线 EMBED Equation.3的平面方程。思路：易知：已知点不在直线上，所以通过点和直线的平面方程和通过三点的平面方程的求法相似。解： 设所求的平面 EMBED Equation.3的法矢为 EMBED Equation.3， 直线 EMBED Equation.3： EMBEDEquation.3的

53、方向矢 EMBED Equation.3， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3在 EMBED Equation.3上， EMBED Equation.3；取直线上的一点 EMBED Equation.3，和已知点 EMBED Equation.3组成向量 EMBED Equation.3，易知： EMBED Equation.3EMBED Equation.3，EMBEDEquation.3：EMBEDEquation.305922980)2(22) 1(9)3(8zyxzyx8求直线003zyxzyx与平面01zyx的夹角。知识点知识点：直线与平面的夹角解解：

54、设直线L：003zyxzyx的方向矢为s，平面：01zyx的法矢为n，直线L与平面的夹角为。则 1 , 1, 1 , 242111311nkjikjis，可取1, 2 , 1s/00),cos(sinLsnsnsn9试确定下列各组中的直线和平面间的关系：（1）37423zyx和3224zyx；（2）723zyx和8723zyx；（3）431232zyx和3zyx。思路思路：通过直线和平面的夹角即可确定它们的关系解解：在每道小题中都设直线L的方向矢为s，平面的法矢为n，直线L与平面的夹角为。则（1）/0),(cossin1 , 1, 2,3 , 7 , 2Lnsnsnsns，又L上的点)0 ,

55、4 , 3(不满足3224zyx，L不在上，/L（2）L1),(cossin7 , 2, 3,7 , 2 , 3nsnsnsns（3）/0),(cossin1 , 1 , 1,4 , 1 , 3Lnsnsnsns又L上的点)3 , 2 , 2(满足3zyx，L在上。10求点)0 , 2 , 1(在平面012zyx上的投影。思路思路：根据点在平面上的投影的定义可知求投影点的过程：（1）过点作平面的垂线；（2）垂线和平面的交点（即投影点）解解：过点M)0 , 2 , 1(作平面：012zyx的垂线L，设L的方向矢为s，平面的法矢为n，则可选ns ，L：tztytxtzyx22112211，将L的参

56、数方程代入求出L和的交点（即投影点）0M：)32 , 32 , 35(3201)()22(2) 1(0Mtttt11设0M是直线L外一点，M是直线L上任意一点，且直线的方向向量为s，试证：点0M到直线L的距离ss0MMd。知识点知识点：向量积和空间直线及其方程思路思路：画简图可知：距离d是由M、0M以及当把s的起点放在M时的终点坐标1M三点组成的三角形底边1MM上的高，见图 7-7-11sML0Md图 7-7-111M解解：设当把s的起点放在M时s的终点坐标为1M，d即为10MMM底边1MM上的高根据向量积的性质可知10MMM的面积s0MMS，又dSs21ss0MMd12求直线0101:zyx

57、zyxL在平面0zyx: :上的投影直线方程。方法一方法一：可根据求投影直线的过程逐步求得：（1）求过直线L垂直于的平面1；（2）与1的交线即为L在上的投影直线。解解：过L的平面束方程为0) 1(1zyxzyx01) 1()1 ()1 (zyx，此平面束中和垂直的平面应满足：10) 1()1 ()1 (，过直线L垂直于的平面1：10) 1(1zyzyxzyx，L在平面上的投影直线方程为：10zyzyx方法二方法二：可通过求L和的交点以及L的方向矢写出所求投影直线的对称式方程解解：L和的交点),(0zyxM满足：)21 ,21 , 0(001010MzyxzyxzyxL的方向矢kjkjis221

58、11111，设的法矢为n，则L和它的投影直线组成平面的法矢1n满足：sn1且kjsnnnn11投影直线的方向矢1s应满足：ss1且kjisnsns11112投影直线方程：15 . 015 . 02zyx13已知直线0720532:zyxzyL，求：（1）直线在 yoz 平面上的投影方程；（2）直线在 xoy 平面上的投影方程；（3）直线在平面083zyx: :上的投影直线方程。解解：（1）由曲线在坐标面上投影知识可知：0720532:zyxzyL中消去 x，可 得L在yoz面 上 的 投 影 ：00532xzy注注：也可参照习题 12 的方法做（2）0720532:zyxzyL中消去在 ， 可

59、 得L在 xoy 面 上 的 投 影 ：001643zyx注注：也可参照习题 12 的方法做（ 3 ） 过L的 平 面 束 方 程 为0)72(532zyxzy057)3()22(zyx，此平面束中和垂直的平面应满足：0)3(3)22(无解，说明这些平面都不垂直于，过L且不在平面束方程中的平面只有一个：072zyx，此平面设为1，确有：1 ，1即为过直线L且垂直于的平面L在平面上的投影直线方程为：072083zyxzyx14证明直线138131zyx与直线337241zyx相交，并求它们交角的平分线方程。知识点知识点：直线及其方程证证：将直线1L：138131zyx化为参数式：3, 18, 1

60、3tztytx，代入直线2L（题有问题？）（题有问题？）习题习题 7-87-8画出下列方程所表示的曲面：（1）44222zyx；（2）44222zyx；（3）94322yxz。xyzo图 7-8-1-1xyzo图 7-8-1-32指出下列方程所表示的曲线：（1）325222xzyx；（2）13694222yzyx；（3）3254222xzyx；（4）408422yxzy。答答：（1）3x平面上的圆1622 zy；（2）1y平面上的椭圆32922 zx；（3）3x平面上的双曲线16422yz；（4）4y平面上的抛物线02442 xzxyz图 7-8-1-23画出下列各曲面所围成的立体的图形：（1