世界上最美的方程

1、世界上最美的方程2013年11月14日 心蛛 来源：科学公园 【译者按】：对于什么是最美的数学方程，在Quora上，目前榜首为复分析领域的欧拉方程（后文提到的欧拉方程是在几何学与代数拓扑学领域的形式），获得了3300多个投票：ei+1=0其次是麦克斯韦方程：EB×E×B=0=0=Bt=0(J+0Et)简介数学方程不仅实用，很多还非常优美。许多科学家承认，他们常常喜欢一些特别的公式，不仅仅因为它们功能强大，还因为它们形式优雅、简洁及其中所蕴涵着诗一般的真理。当某些特别著名的方程，比如爱因斯坦的质能方程E=mc2，在公众面前享誉极盛时，许多公众不那么熟悉的方程在科学家群体中却拥

2、者甚众。LiveScience咨询了许多物理学家、天文学家和数学家，将他们喜爱的数学公式罗列如后： 广义相对论G=8G(T+g)上面的公式是爱因斯坦于1915年发现的，是具有划时代意义的广义相对论中的一部分。该理论让科学家对引力的认识发生了革命性的转变，引力在这里是空间与时间结构的一种弯曲。“让我惊奇的是，这样一个方程就揭示了全部的时空本质。”太空望远镜科学研究所的天体物理学家马里奥·利维奥（Mario Livio）如是说，他声明此方程为自己的最爱。“爱因斯坦所有的真正的天才之处都蕴含在这个方程中。”“方程的右侧描述了宇宙的能量构成(包括促使宇宙加速膨涨的暗能量)，左侧是时

3、空的几何结构。”利维奥解释道，“此方程揭示了这样的事实，在爱因斯坦广义相对论中，质量和能量决定了几何，以及伴随的时空弯曲，它显示为我们所说的引力。”“这是个非常优雅的方程，它还揭示了时空、物质和能量之间的关系。”纽约大学物理学家凯利·克兰默（Kyle Cranmer）说，“此方程告诉你它们之间是如何关联的比如，太阳的存在如何导致了时空弯曲，从而令地球沿着其轨道运转，等等。它还告诉你宇宙自从 大爆炸之后是如何演化的，并且预言了黑洞的存在。” 标准模型LSM=+14WW14BB14GaGa规范玻色子的动能和自相互作用L(i12gW12gYB)L+R(i12gYB)R费米子动能和

4、弱相互作用12(i12gW12gYB)2V() W±, Z, , 希格斯子质量和耦合过程g”(q¯Taq)Ga夸克和胶子之间的相互作用+(G1L¯¯R+G2L¯¯cR+h.c.)费米子获得质量及与希格斯子的耦合标准模型是物理学中的另一个主流理论，它描述了构成目前宇宙的所有可见的基本粒子。这个理论可浓缩为一个主方程，即标准模型的拉格朗日量，该名字来自于十八世纪法国数学家和天文学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph Louis Lagrange）。加利福尼亚SLAC国家加速器实验室的兰斯

5、3;迪克逊（Lance Dixon）在他的著名公式中采用了这个方程。“它成功地描述了迄今所有在实验室中能够观测到的基本粒子和力除了引力，这当然包括了最新发现的希格斯玻色子，即公式中的。它与量子力学和狭义相对论完全自洽，”迪克逊向LiveScience杂志解释道。标准模型理论还没有与广义相对论统一起来，所以它还不能够描述引力。 微积分abf(x)dx=f(b)f(a)前两个方程描述了宇宙的特定形态，而微积分这个令人喜爱的方程则可以应用于各种各样的情况。微积分基础理论是微积分学数学方法的基石，它将两个主要思想连接了起来，即积分与求导的概念。“简单来讲，它表明，平滑连续的量的净改变，比如经

6、过给定时间区间后的行进距离（也就是说，时间区间端点的量的差值），等于该量的变化率的积分，亦 即，速度的积分，”美国福德汉姆大学（FordHam University）数学系主任特里维西克（MelkanaBrakalova-Trevithick）如是说，她将此方程选为最爱。“微积分的基础理 论(FTC)允许我们基于整个区间内的速率变化来测定该区间的净变化。”微积分的萌芽从古代就开始了，但其完善集中在十七世纪并归功于艾萨克·牛顿，他使用微积分解释了行星环绕太阳的运动。 毕达哥拉斯定理a2+b2=c2说到经久不衰的方程，非著名的毕达哥拉斯定理（勾股定理）莫属，每个几何初学者都要学

7、习它。这个方程表明，对任意直角三角形，弦（直角三角形的最长边）的平方等于其余两边长的平方和。“第一个令我惊奇的数学事实就是毕达哥拉斯定理。”康奈尔大学（Cornell University）的数学家丹尼娅·泰敏娜（Daina Taimina）如是说，“当我还是孩子时，它就令我惊奇不已，它不仅在几何中有用，在数论中也一样！” 欧拉公式（Eulers equation）VE+F=2这个简单的公式蕴含着球体的纯粹本质：“如果把一个球切割成面、棱和顶点，令F表示面数，E表示棱数,V表示顶点数，你始终能得到VE+F=2，”马萨诸塞州威廉姆斯学院（Williams College）一名

8、数学家科林·亚当斯（Colin Adams）解释说。“比如以四面体为例，它有4个三角形，6根棱和4个顶点，如果你使劲吹一个表面柔软的四面体，它会胀成一个球，故这样看来，一个球可以切割成四个 面、六根棱和四个顶点。我们就有了VE+F=2。对于金字塔方锥也一样，它有五个面四个三角形和一个正方形，八根棱和五个顶点。对于任意其它的面、 棱和顶点组合也一样，”亚当斯说。“这是一个非常酷的事实！顶点、棱和面的组合提示了球体的一些非常基本的东西。” 狭义相对论t=t11v2c2爱因斯坦又一次榜上有名，这次是因为他的狭义相对论方程，它表明时间和空间不是绝对的概念，而是受观察者速度影响的相对

9、概念。上面的方程表明，一个人在任意方向运动得越快，时间会愈加膨涨，或变得更慢。“它非常简洁，任何一名高中毕业生都会用，没有复杂的求导和线性代数。”欧洲核子中心日内瓦实验室的一名粒子物理学家比尔·莫瑞（Bill Murray）说，“但它表达的是一种全新的观察世界的方式，一种对待现实和我们与它之间关系的全新态度。突然间，那个刚性的不变的宇宙被扫除干净了，取 而代之的是一个人性的世界，它同你的观察相关。你从在宇宙之外的审视者变成了其中的一部分。而这个概念和数学可以被任何想学的人掌握。”莫瑞说，比起爱因斯坦后续理论中的复杂方程，他更偏爱狭义相对论方程。“我都没弄懂广义相对论中的数学。”他补充

10、道。 1 = 0.9999999991=0.9999999999999这是一个简单的方程式，它的意思是，0.999紧跟着无限个小数位的9，其结果与1等价。这是康奈尔大学数学家斯蒂芬·斯托加兹（Steven Strogatz）的最爱。他说：“我爱它的简单，任何人都能够理解其意思但是它又多么挑衅啊！许多人就不相信这是真的。它也是优美的平衡，左侧代表数学的开始，而右侧则代表神秘的无限。” 欧拉拉格朗日方程及诺特定理ddt(Lq)=Lq“这非常抽象，但令人惊奇的强大。”纽约大学的克兰默说，“更酷的是，这种思考物理的方式经历了物理学的许多主要革命却依然正确，比如量子力学、相

11、对论的出现，等等。”在这里，L表示拉格朗日量，它代表一个物理系统的能量量度，比如弹簧、杠杆或基本粒子。“求解这个方程会让你明白系统会如何随时间演化，”克兰默解释说。拉格朗日方程的一个副产品是诺特定理，以二十世纪德国数学家埃米·诺特（Emmy Noether）命名。“该定理对于物理学和对称论来说非常基础。简单地讲，该理论是说如果你的系统有一个 对称性，则必伴随一个守恒量。比如，今天的物理基本定律与明天是一样的（时间对称性），这个思想则意味着能量是守恒的。物理定律在这儿的与在外太空是相同 的，则意味着动量守恒。对称性在基础物理中是起推进作用的概念，这主要得益于诺特的贡献，”克兰默补充道。

12、 卡兰 -西曼齐克方程（Callan-Symanzik Equation）MM+(g)g+nGn(x1,x2,xn;M,g)=0“从 1970 年起，卡兰-西曼齐克方程就是非常重要的第一原则性方程，尤其是用于描述朴素的预测在量子世界中会如何失败，”罗格斯大学（Rutgers University）的理论物理学家马特·斯特拉斯（Matt Strassler）说。此方程有很多应用，包括让物理学家用它来预测质子和中子的质量和大小。质子和中子是构成原子核的基本粒子。基础物理告诉我们，两个物体之间的引力和电磁力，与它们之间的距离成平方反比关系。简单来讲，这也适用于强核子力，该力把质子

13、和中子捆绑起来构成了 原子核，也是它将夸克捆绑起来构成了质子和中子。但是，微小的量子涨落会影响力与距离的依赖关系，这对强核力带来的影响是巨大的。“这阻碍了此力在长距离处的衰减，结果导致对夸克的囚禁，迫使它们形成了质子和中子，从而构造了我们的世界，”斯特拉斯解释说。“卡兰 -西曼齐克方程的作用与这个巨大的难以计算的效应相关联，当距离在大概质子大小的尺寸时它很重要，当距离比质子尺寸小很多时它更加敏感，更容易计算其效 应。” 极小曲面方程A(u)=(1+|u|2)1/2dx1dxn“极小曲面方程以某种方式形成了美丽的肥皂薄膜，这个你可以用金属框伸进肥皂水中泡一下再拿出来而制作。”威廉姆斯学院的数学家弗兰克·摩根 （Frank Morgan）说，“此方程是非线性的，涉及到导数的幂和乘积，其中暗含的数学表现在肥皂薄膜的奇怪反应上。它的非线性与大家熟悉的线性偏微分方程相不 同，比如热传导方程，波动方程，以及量子力学中的薛定谔方程。” 欧拉线（The Euler line）纽约数学博物馆的奠基人格伦·惠特尼（Glen Whiteney）选择了另一个几何定理，它与欧拉线有关，以十八世纪瑞士数学家和物理学莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）来命名。惠特尼这样解释：“选择任一