第三章 误差的合成与分配

1、本章阐述了函数误差、误差合成与分配的基本方法，并讨论了微小误差的取舍、最佳测量方案的确定等问题 。通过本章的学习，读者应掌握函数系统误差和函数随机误差的计算以及误差的合成和分配。前面讨论的主要是直接测量的误差计算问题，但在有些情况下，由于被测对象的特点，不能进行直接测量，或者直接测量难以保证测量精度，需要采用间接测量。n间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其他量，按照已知的函数关系式计算出被测的量。因此间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是各个直接测得值误差的函数，故称这种误差为函数误差。研究函数误差的内容，实质上就是研究误差的传递问题，而对于这种具

2、有确定关系的误差计算，也有称之为误差合成。间接测量间接测量 函数误差函数误差 间接测得的被测量误差也应是直接测得量及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函数误差函数误差 通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算出被测量 一、函数系统误差计算一、函数系统误差计算间接测量的数学模型 12( ,.,)nyf x xx 与被测量有函数关系的各个直接测量值 y 间接测量值12,nx xx求上述函数 y 的全微分，其表达式为：nndxxfdxxfdxxfdy2211 和 的量纲或单位不相同，则 起到误差单位换算的作用 和 的量纲或单位相同，则 起到误差放大或缩小的作用由 y 的全微分，函数系统误差 的

3、计算公式y1212.nnfffyxxxxxx 为各个输入量在该测量点 处的误差传递系数 (1,2, )ifx in12( ,)nx xxixyifxixyifx几种简单函数的系统误差几种简单函数的系统误差 1、线性函数1 122.nnya xa xa x1122.nnyaxaxax 12.nyxxx 1ia 2、三角函数形式 12sin,.,nf x xx11cosniiifxx12cos,.,nf x xx11sinniiifxx系统误差公式当 当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测量值系统误差之和 【例】 用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高 h

4、= 50mm ，弦长l = 500mm。已知，弓高的系统误差 h = -0.1mm , 玄长的系统误差 l = 1mm 。试问车间工人测量该工件直径的系统误差，并求修正后的测量结果。 【解】建立间接测量大工件直径的函数模型 24lDhhD2lh 不考虑测量值的系统误差，可求出在 处的直径测量值 50mmh 500mml 201300mm4lDhh车间工人测量弓高 h 、弦长 l 的系统误差 5050.10.1mmh 5004991mml 直径的系统误差: 7.4mmffDlhlh 500522 50fllh2222500112444 50flhh 故修正后的测量结果: 013007.41292

5、.6mmDDD计算结果：计算结果：误差传递系数为: 例例: 用双圆球法检定高精度内锥角用双圆球法检定高精度内锥角，如图如图,已知已知:测得尺寸及系统误差为:求检定结果。解：根据图所示的测量方法，可得函数关系式若不考虑测得值的系统误差，则计算出的角度值0为角度的系统误差为式中各个误差传递函数为将已知各误差值及误差传递系数代人角度的系统误差式，得 将所求得的角度系统误差修正后，则得被检内锥角的实际值为 随机误差是用表征其取值分散程度的标准差来评定的，对随机误差是用表征其取值分散程度的标准差来评定的，对于函数的随机误差，也是用函数的标准差来进行评定。于函数的随机误差，也是用函数的标准差来进行评定。

6、因此，因此，函数随机误差计算，函数随机误差计算， 就是研究函数就是研究函数y y的标准差与各测量值的标准差与各测量值x1，x2，xn 的标准差之间的关系。但在式的标准差之间的关系。但在式(3-1)(3-1)中，若以各测中，若以各测量值的随机误差量值的随机误差x1，x2，xn 代替各微分量代替各微分量dx1，dx2，dxn，只能得到函数的随机误差只能得到函数的随机误差y，而得不到函数的标准差，而得不到函数的标准差y。因此，必须进行运算处理，以求得函数的标准差。因此，必须进行运算处理，以求得函数的标准差。二、函数随机误差计算二、函数随机误差计算数学模型数学模型 12( ,.,)nyf x xx变量

7、中只有随机误差泰勒展开，并取其一阶项作为近似值函数的一般形式 1122(,)nnyyf xx xxxx121212( ,.,)nnnfffyyf x xxxxxxxx得到 1212nnfffyxxxxxx即：可得：2222222121122nyxxxnijijnijfffffDxxxxx 2222222121122nyxxxnijxixjijnijfffffxxxxx 函数标准差计算函数标准差计算 或 第i个直接测得量 的标准差 xiix 第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数 ij 第i个测量值和第j个测量值之间的协方差 ijijxixjD 第i个直接测得量 对间接量 在该测量点 处的误差

8、传递系数 ifxixy12( ,)nx xx22222221212yxxxnnfffxxx2222221212yxxxnnfffxxx或0ijijD相互独立的函数标准差计算相互独立的函数标准差计算若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项 iifax令2222221122yxxnxnaaa则 当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式 2222221122yxxnxnaaa 第i个直接测得量 的极限误差 xiix三角形式的函数随机误差公式三角形式的函数随机误差公式2222222121cos1xnnxxxfxfxf1） 正弦函数形式为: 函数随机误差公式为：

9、 nxxxf,sin212） 余弦函数形式为: 函数随机误差公式为： nxxxf,cos21三角函数标准差计算三角函数标准差计算3） 正切函数形式为: 函数随机误差公式为： nxxxf,tan2122222221212cosxnnxxxfxfxf4） 余切函数形式为: 函数随机误差公式为： nxxxf,cot2122222221212sinxnnxxxfxfxf2222222121sin1xnnxxxfxfxf【解】【解】【例】【例】 用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦长l = 500mm。已知，弓高的系统误差 h = -0.1mm ,

10、 玄长的系统误差 l = 1mm 。试求测量该工件直径的标准差，并求修正后的测量结果。已知： ，0.005mmh0.01mml2222222224()()50.01240.005169 10 mmDlhfflh0.13mmD有修正后的测量结果 01292.6mmDDD0.13mmD若用直径的极限误差表示测量结果，则若用直径的极限误差表示测量结果，则 所求直径的最后结果为所求直径的最后结果为已知：已知： 相关系数对函数误差的影响相关系数对函数误差的影响 2222222121122nyxxxnijxixjijnijfffffxxxxx 反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误差的影响 222

11、2221122yxxnxnaaa1122yxxnxnaaa0ij1ij 函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性的传播关系 函数随机误差公式ij当相关系数 时当相关系数 时2 2、 相关系数估计相关系数估计相关系数的确定相关系数的确定可判断 的情形 0ij 断定 与 两分量之间没有相互依赖关系的影响 ixjx 当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正负交替变化，反之亦然 与 属于完全不相干的两类体系分量，如人员操作引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量 ixjx 与 虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽略不计的弱相关 ixjx可判断 或 的情形 断定 与 两分量间近似呈现正的线性关系或负的

12、线性关系 ixjx当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或减小，反之亦然 与 属于同一体系的分量，如用1m基准尺测2m尺，则各米分量间完全正相关 ixjx1ij 1ij 用多组测量的对应值(i，i)作图，将它与标准图形相比，看它与哪一图形相近，从而确定相关系数的近似值。nnn31cos其中，4321nnnnnn2n3n4n10 根据 的多组测量的对应值 ，按如下统计公式计算相关系数 ( ,)ijx x,ikjkxx将多组测量的对应值将多组测量的对应值(i，i)在平面坐标上作图，如图在平面坐标上作图，如图3-4所示，所示，然后作平行于纵轴的直线然后作平行于纵轴的直线A将点阵左右均分，再作平

13、行于横轴将点阵左右均分，再作平行于横轴的直线的直线B将点阵上下均分，并尽量使将点阵上下均分，并尽量使A、B线上无点，于是将点线上无点，于是将点阵分为四部分，设各部分的点数分别为阵分为四部分，设各部分的点数分别为n1、n2、n3、n4，则可以，则可以证明相关系数为证明相关系数为22()()( ,)()()ikijkjkijikijkjkkxxxxx xxxxx 、 分别为 、 的算术平均值 ixjxikxjkx 有些误差间的相关系数，可根据概率论和最小二乘法直接求出。 如果求得两个误差与间为线性相关，即= a+b，则相关系数为 任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是测量过程中各个环节一系列误差

14、因素作用的结果。误差合成就是在正确地分析和综合这些误差因素的基础上，正确地表述这些误差的综合影响。 标准差合成 极限误差合成解决随机误差的合成问题一般基于标准差方和根合成的方法，其中还要考虑到误差传递系数以及各个误差之间的相关性影响 随机误差的合成形式包括：一、标准差合成一、标准差合成合成标准差表达式合成标准差表达式: : 211()2qqiiijijijiijaa a q个单项随机误差，标准差 12,q 误差传播系数 12,qa aav 由间接测量的显函数模型求得 v 根据实际经验给出 v 知道影响测量结果的误差因素 而不知道每个 和 iiiyaiaiiiafx 当误差传播系数 、且各相关系

15、数均可视为0的情形 若各个误差互不相关，即相关系数 21()qiiia21qii0ij1ia 则合成标准差 用标准差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标准差，均可计算出总的标准差 视各个误差分量的量纲与总误差量的量纲都一致，或者说各个误差分量已经折算为影响函数误差相同量纲的分量 二、极限误差合成二、极限误差合成 单项极限误差单项极限误差: : 1,2,.,iiikiq 单项随机误差的标准差 单项极限误差的置信系数 合成极限误差合成极限误差: : kiik 合成标准差 合成极限误差的置信系数 k合成极限误差计算公式合成极限误差计算公式211()2q

16、qjiiiijijiijiijaka akk k 根据已知的各单项极限误差和所选取的各个置信系数，即可进行极限误差的合成 各个置信系数 、 不仅与置信概率有关，而且与随机误差的分布有关 ikk 对于相同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数相同 对于不同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数也不相同 ij 为第i个和第j个误差项之间的相关系数，可根据前一节的方法确定。应用极限误差合成公式时，应注意：应用极限误差合成公式时，应注意：211()2qqiiijijijiijaa a 21qii0ij1ia 当各个单项随机误差均服从正态分布时，各单项误差的数目q较多、各项误

17、差大小相近和独立时，此时合成的总误差接近于正态分布12qkkkk合成极限误差：合成极限误差： 若和各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为广泛使用的极限误差合成公式 时：此时一、已定系统误差的合成一、已定系统误差的合成系统误差的分类：系统误差的分类： 1） 已定系统误差2） 未定系统误差定义定义：误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差表示符号：表示符号：合成方法合成方法：按照代数和法进行合成按照代数和法进行合成riiiai 为第i个系统误差，ai为其传递系数 系统误差可以在测量过程中消除，也可在合成后在测量结果中消除二、未定系统误差的合成二、

18、未定系统误差的合成（一）（一） 未定系统误差的特征及其评定未定系统误差的特征及其评定定义定义：误差大小和方向未能确切掌握，或者不须花费过多精力去掌握，而只能或者只需估计出其不致超过某一范围 e 的系统误差特征特征：1） 在测量条件不变时为一恒定值，多次重复测量时其值固定不变，因而单项系统误差在重复测量中不具有低偿性2） 随机性。当测量条件改变时，未定系统误差的取值在某极限范围内具有随机性，且服从一定的概论分布，具有随机误差的特性。表示符号：表示符号： 极限误差：极限误差：e 标准差：标准差：u1、标准差合成、标准差合成（二）（二） 未定系统误差的合成未定系统误差的合成 未定系统误差的取值具有一

19、定的随机性，服从一定的概率分布，因而若干项未定系统误差综合作用时，他们之间就具有一定的抵偿作用。这种抵偿作用与随机误差的抵偿作用相似，因而未定系统误差的合成，完全可以采用随机误差的合成公式，这就给测量结果的处理带来很大方便。 同随机误差的合成一样，未定系统误差合成时即可以按照标准差合成，也可以按照极限误差的形式合成。 若测量过程中有 s 个单项未定系统误差，它们的标准差分别为 u1，u2，us ， 其相应的误差传递系数为a1，a2，as ，则合成后未定系统误差的总标准差 u 为:则由各单项未定系统误差标准差得到的合成未定系统误差极限误差为：式中，ij 为第 i 个和第 j 个误差项的相关系数s

20、jijijiijsiiiuuaauau1122siiiuau12iiiute当 ij=0 时2、极限误差的合成、极限误差的合成 因为各个单项未定系统误差的极限误差为:si,2, 1tueisjijijiijsiiiuuaauate1122 若总的未定系统误差极限误差表示为：则有：则由各单项未定系统误差标准差得到的合成未定系统误差极限误差为：式中，ij 为第 i 个和第 j 个误差项的相关系数sjijijiijsiiiuuaauau1122siiiuau12iiiute当 ij=0 时2、极限误差的合成、极限误差的合成 因为各个单项未定系统误差的极限误差为:si,2, 1tuesjijijiij

21、siiiuuaauate1122 若总的未定系统误差极限误差表示为：则有：sjijjiijiijsiiiitutuaatuate1122siiieatu12或者，由各单项未定系统误差极限误差得到的合成未定系统误差极限误差为： 当各个单项未定系统误差均服从正态分布，且相互间独立无关，即 ，则上式可简化为：0ij一、按极限误差合成一、按极限误差合成 误差的合成可按照两种形式合成：按极限误差误差形式合成、按标准差形式合成。 测量过程中，假定有 r 个单项已定系统误差，s 个单项未定系统误差，q 个单项随机误差。它们的误差值或极限误差分别为：qsreee,2121211、单次测量情况、单次测量情况 若

22、各个误差的传递系数取 1，则测量结果总的极限误差为：Rttetqiiisiiirii12121总式中，R 为各个误差之间的协方差之和。 当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，测量结果总的极限误差可简化为：qiisiiriie12121总 一般情况下，已定系统误差经修正后，测量结果总的极限误差就是总的未定系统误差与总的随机误差的均方根值，即：qiisiie1212总2、n 次重复测量情况次重复测量情况 当每项误差都进行 n 次重复测量时，由于随机误差间具有低偿性、系统误差（包括未定系统误差）不存在低偿性，总误差合成公式中的随机误差项应除以重复测量次数 n 。qiisiine12121

23、总总极限误差变为：二、按标准差合成二、按标准差合成 测量过程中，假定有 s 个单项未定系统误差，q 个单项随机误差，它们的标准差分别为：qsuuu,21211、单次测量情况、单次测量情况 若各个误差的传递系数取 1，则测量结果总的极限误差为：式中，R 为各个误差之间的协方差之和。 若用标准差来表示系统误差和随机误差的合成公式，则只考虑未定系统误差与随机误差的合成。Ruqiisii1212 当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，测量结果总标准差为：qiisiiu12122、n 次重复测量情况次重复测量情况 当每项误差都进行 n 次重复测量时，由于随机误差间具有低偿性、系统误差（包括未

24、定系统误差）不存在低偿性，总误差合成公式中的随机误差项应除以重复测量次数 n 。qiisiinu12121总极限误差变为：【例】【例】 在万能工具显微镜上用影像法测量某一平面工件的长度共两次，测得结果分别为 ， ，已知工件的和高度为 ，求测量结果及其极限误差。150.026mml 250.025mml 80mmH 序号123456误差因素极限误差/m随机误差 未定系统误差备注阿贝误差光学刻尺刻度误差温度误差读数误差瞄准误差光学刻尺检定误差0.810.50.351.251未修正时计入总误差修正时计入总误差根据工具显微镜的工作原理和结构可知，测量过程中主要的误差见表。【解】【解】两次测量结果的平均

25、值为:01211()(50.02650.025)mm50.0255mm22Lll 根据万能工具显光学刻线尺的刻度误差表，查得在 50mm 范围内的误差 =-0.0008mm ，此项误差为已定系统误差，应予修正。则测量结果为：050.0255mm0.0008mm50.0247mmLL 在万工显上用影像法测量平面工件尺寸时，其主要误差分析如下：1、随机误差 由读数误差和工件瞄准引起，其极限误差分别为 1）读数误差： 2）瞄准误差：m8 . 01m0 . 122、未定系统误差 由阿贝误差等引起，其极限误差分别为 1）阿贝误差： 2）瞄准误差：mmHLe0 . 14000508040001mmme25

26、. 1)200501 ()20011 (2 3）温度误差：mmmLe35. 070050770073 4）光学刻度尺的检定误差：me5 . 043、计算测量值及其误差 计算测量值的误差时有两种方法：方法1当未修正光学刻尺刻度误差时23221122222121(10.8 )(11.250.35 )21.870.0019mmijije m测量结果可表示为： 050.0255mm0.0019mmL 方法2当已修正光学刻尺刻度误差时 23221122222121(10.8 )(10.50.35 )21.480.0015mmijije m50.0247mm0.0015mmL 【例例】 用TC328B型天

27、平，配用三等标准砝码称一不锈钢球质量，一次称量得钢球质量 ，求测量结果的标准差。14.004gM (1)随机误差: 天平示值变动性所引起的误差为随机误差。多次重复称量同一球的质量的天平标准差为 10.05mg(2)未定系统误差: 标准砝码误差和天平示值误差，在给定条件下为确定值，但又不知道具体误差数值，而只知道误差范围（或标准差），故这两项误差均属未定系统误差。砝码误差: 天平称量时所用的标准砝码有三个，即的一个， 的两个，标准差分别为:10g20g故三个砝码组合使用时，质量的标准差为 根据TC328B型天平的称重方法，其测量结果的主要误差如下：mgumgu2 . 0,4 . 01211mmu

28、uu5 . 02 . 024 . 02222122111 天平示值误差 该项标准差为:mgu03. 02 三项误差互不相关，且各个误差传播系数均为1，因此误差合成后可得到测量结果的总标准差为 最后测量结果应表示为（倍标准差）： 14.004g0.0005gM 222121uu 22203. 05 . 005. 0)(5 . 0mg误差分配误差分配 给定测量结果允许的总误差，合理确定各个单项误差。 在误差分配时，随机误差和未定系统误差同等看待。 假设各误差因素皆为随机误差，且互不相关，有：y22212yyyny 若已经给定 ，如何确定 Di 或相应的 i ,使其满足22221nyDDD式中， 称

29、为部分误差，或局部误差iiiiiaxfD一、按等影响原则分配误差一、按等影响原则分配误差 等影响原则等影响原则： 各分项误差对函数误差的影响相等，即 12yyyynn由此可得： 11/yyiiifxann或用极限误差表示： 11/iiifxann 函数的总极限误差 各单项误差的极限误差 i 进行误差分配时，一般应按照下述步骤：二、按可能性调整误差二、按可能性调整误差 (1) 对各分项误差平均分配的结果，会造成对部分测量误差的需求实现颇感容易，而对令一些测量误差的要求难以达到。这样，势必需要用昂贵的高准确度等级的仪器，或者以增加测量次数及测量成本为代价。按等影响原则分配误差的不合理性按等影响原则

30、分配误差的不合理性 (2) 当各个部分误差一定时，则相应测量值的误差与其传播系数成反比。所以各个部分误差相等，相应测量值的误差并不相等，有时可能相差较大。 在等影响原则分配误差的基础上，根据具体情况进行适当调整。对难以实现测量的误差项适当扩大，对容易实现的误差项尽可能缩小，其余误差项不予调整。 测量一圆柱体的体积时，可间接测量圆柱直径 D 及高度 h，根据函数式 三、验算调整后的总误差三、验算调整后的总误差 误差按等影响原理确定后，应按照误差合成公式计算实际总误差，若超出给定的允许误差范围，应选择可能缩小的误差项再进行缩小。若实际总误差较小，可适当扩大难以实现的误差项的误差，合成后与要求的总误

31、差进行比较，直到满足要求为止。 【例】【例】24DVh求得体积 V ，若要求测量体积的相对误差为1，已知直径和高度的公称值分别为 ， 试确定直径 D 及高度 h 的准确度。 020mmD 050mmh 一、按等影响分配原则分配误差一、按等影响分配原则分配误差得到测量直径 D 与高度 h 的极限误差: 120.071mmVVDVDhnnD2140.351mmVVhVDnnh【解】【解】 计算体积 0V2230003.1416 205015708mm44DVh体积的绝对误差: 3301%15708mm1%157.08mmVV 用这两种量具测量的体积极限误差为 222278.54VDhVVmmDh因

32、为 3378.54157.08Vmmmm 查资料，可用分度值为0.1mm的游标卡尺测高 ，在50mm测量范围内的极限误差为，用0.02mm的游标卡尺测直径，在20mm范围内的极限误差为 。 20mmD 50mmh 0.150mm0.04mm二、调整后的测量极限误差二、调整后的测量极限误差 显然采用的量具准确度偏高，选得不合理，应作适当调整。若改用分度值为0.05mm的游标卡尺来测量直径和高度，在50mm测量范围内的极限误差为 。此时测量直径的极限误差虽超出按等作用原则分配所得的允许误差，但可从测量高度允许的多余部分得到补偿。 0.08mm调整后的实际测量极限误差为 22222128.1524V

33、DhDhDmm因为 33128.15157.08Vmmmm 因此调整后用一把游标卡尺测量直径和高度即能保证测量准确度。 微小误差微小误差 测量过程包含有多种误差时，当某个误差对测量结果总误差的影响，可以忽略不计的误差。已知测量结果的标准差： 若将其中的部分误差取出后，则得 如果 ，yy则称为微小误差 2212212221nkkkyDDDDDDkDkD221212221nkkyDDDDD根据有效数字运算准根据有效数字运算准则则， ，对对一般精度的一般精度的测测量，量，测测量量误误差的有差的有效数字取一位。在此情况下，若将某效数字取一位。在此情况下，若将某项项部分部分误误差舍去后，差舍去后，满满足足则对测则对测量量结结果的果的误误差差计计算没有影响。算没有影响。换换算算为测为测量量误误差有差有一般可取一般可取 对对一般精度的一般精度的测测量量对对于比于比较较精密的精密的测测量，量，误误差的有效数字可取二位，差的有效数字可取二位，则则有有换换算算为测为测量量误误差有差有 一般可取一般可取 最佳测量方案的确定：最佳测量方案的确定： 当测量结果与多个测量因素有关时，采用什么方法确定各个因素，才能使测量结果的误差最小。 研