不等式证明例题讲解(共8页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上不等式证明例题讲解例1已知a，bR，求证a2 + b2ab + a + b1证明： (a2 + b2)(ab + a + b1) ， a2 + b2ab + a + b1，当且仅当a = b = 1时等号成立评述 这是一个用求差比较法证明的不等式，对差式的变形是拆项和配方，以利用实数的性质：a20此不等式的证明还可采用函数的方法：设f ( a ) = ( a2+b2 )(ab + a + b1) = a2(b + 1)a + b2b + 1，这是一个a的二次函数式，由于二次项系数大于0，且= (b+1)24(b2b+1) =3(b1)20，故 f ( a )0对一切a

2、R恒成立例2已知a，b为不相等的正数，求证：分析 由于a，b为不等正数，所证不等式中各式都是幂与积的结构，可选用求商比较法证明：a，b为不等正数，不失一般性，设a > b > 0 a > b > 0 ，由指数函数性质可知 ，故 同理 故 综上可得 例3已知a，b，cR+，求证：分析 直接作差，再通分变形，所得分式很繁，使判定差式符号十分困难为此将含三个字母的差式作分项变形，以使每一差式只含两个字母，就会使判定差式符号变得容易证明： a，b，cR+， 同理 ，三式相加，可得：，即评述 采用比较法证明不等式时，对差式或商式的变形至关重要例4已知a，b，cR，求证：分析：此不

3、等式的左边是关于a，b，c的三个根式，而右边是关于a，b，c的整式，采用恒等变换难以化简各个根式为此应选用适当的放缩变换使各根式的被开方式化为完全平方式就有可能通过化简根式证明不等式证明： a2 + b2 2ab， 2 (a2 + b2) a2 + 2ab + b2 = (a + b)22即 两边开方，得 ，同理可得 ， 三式相加，得评述 此不等式的证明采用的是综合法，在由因导果的推理过程中，选用了合理的放缩变换，而这一变换是在分析了不等式两边的差异后寻求到的例5已知x，y，zR，且x + y + z =1，求证：分析 条件与结论有次数上的差异，升次或降次可拉近两者的距离条件与结论均含三个字母

4、，利用等式x + y + z =1 可实施等量代换，以取得消元的效果证法一： x + y + z =1 (x + y + z)2 =1证法二：由x + y + z =1 得 z = 1xy，因此评述 这是一个条件不等式的证明问题，抓住条件与结论的特征和差异，就能设计出有效的变形策略由于结论中不等式的左边是二次齐次式实施配方是很自然的例6已知a，b，c是不等正数，且abc = 1，求证：分析 所证不等式的两边有根式与分式的差异，在题设的abc =1的条件下，或将左式变形为，或将左式变形为bc + ca + ab，都有可能拉近左、右两式的距离，找到进行不等式变换的途径证法一： a，b，c是不等正数

5、，且abc =1， 证法二： a，b，c是不等正数，且abc =1 = bc + ca + ab=评述 例4例6都是采用综合法由因导果证明不等式，为能有效地揭示条件与结论之间的因果关系，需要着力分析已知与求证之间的差异和联系，不等式两边之间的差异和联系在此基础上实施有效的等式变换与不等式变换例7已知a，bR+，且a + b =1，求证：3a + 3b < 4分析 此题中已知条件的结构简单，而求证的不等式结构复杂，利用a + b =1 消元，将结论化为一元不等式后逐步化简，寻求使其成立的充分条件证明：由于a + b =1，a，bR+3a + 3b < 4 3a + 31-a <

6、 4 (3a 1) (3a 3) < 0 1< 3a < 3 0 < a < 1 而在 a，bR+，且a + b =1的条件下，0 < a < 1一定成立，故3a + 3b < 4成立例8已知a + b > 0，求证：证明：由于a + b > 0，a2 + 1 > 0，b2 + 1 > 0 (a + b)2 ( a2 + 1) ( b2 + 1 ) a2 + 2ab + b2 a2 b2 + a2 + b2 + 1 a2 b2 2ab +1 0 (ab1)2 0不等式 (ab1)2 0一定成立，故 成立例9设函数f ( x

7、 ) = tan x，已知x1，x2，且x1x2，求证证明 ( * )由于x1，x2，且x1x2，可知x1 + x2(0，)，且x1x20，因此：sin (x1 + x2) > 0，0 < cos ( x1 + x2 ) + cos ( x1x2 ) < 1 + cos ( x1 + x2 )由此可知，不等式（*）一定成立，故不等式成立评述 例7例9 都是采用分析法执果索因证明不等式从所需证明的不等式出发，逐步寻求使其成立的充分条件的过程，同时具有简化结论的作用，用分析法比较适宜例9中的“切”化“弦”就是一种简化例10已知a，b，cR，且 a + b + c > 0，a

8、b + bc + ca > 0，abc > 0，求证a，b，c全是正数分析 此题的已知条件结构比较复杂（分别是a，b，c的和、两两乘积之和，以及积均为正数），而结论只是a，b，c的符号求证的结论及对结论的否定的结构都比较简单，因此可从对结论的否定的假设出发进行推理，并推出矛盾，从而推证结论成立，即采用反证法证明：假设a，b，c不全是正数，则由abc > 0可知a，b，c三个实数中有两个负数，一个正数不失一般性，设a < 0，b < 0，c > 0 a + b + c > 0， c >( a + b ) > 0两边同乘以负数a + b ，得c

9、 (a + b) < ( a + b )2即ca + bc < a22abb2由此可得 ab + bc + ca < a2abb2 = (a2 + ab + b2) < 0，与已知ab + bc + ca > 0矛盾，假设错误，故a，b，c全是正数评述 采用反证法证明不等式的关键步骤有两个，一是提出与结论相反，即对结论的否定的假设；二是由假设出发，进行正确的推理，推出矛盾此命题的逆命题“若a，b，c全是正数，则a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0”也是真命题，因此可得出“a，b，c全是正数的充要条件是a +

10、 b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0”的结论例11求证：当nN，n2时，证明：1 当n =2时，左边=，右边=，不等式成立2 假设当n = k（k2）时不等式成立：则 ， 由此可得 ，说明当n = k+1时不等式仍成立由1、2可知不等式对一切不小于2的自然数n都成立评述 此题采用数学归纳法证明是很自然的、有效的但数学归纳法并不是惟一的证法采用放缩变换也可证明此不等式 nN，n2， 例12已知i，m，n是正整数，且1< i m < n（1）证明 ；（2）证明 (1+ m )n > (1 + n )m分析 ，是两个排列数，各是i个连续正整数的积第（1）问应采用商值比较法第（2）问所需证明的不等式两边都是二项式，应从其展开式的项数及对应项的大小入手进行证明证明：（1） i，m，n是正整数，且1< i m < n ， m < n， 对整数 k = 1，2，i1，n (mk)m ( nk ) = k ( mn ) < 0即 0 < n (mk) <