第五章 弹性理论平面问题

1、51 弹性理论的基本方程弹性理论的基本方程52 弹性理论问题的基本解法弹性理论问题的基本解法53 基本定理基本定理54 直角坐标系下平面问题的基本方程直角坐标系下平面问题的基本方程55 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 56 用多项式应力函数解平面问题用多项式应力函数解平面问题57 三角形截面坝三角形截面坝 58 山字型构造、用多项式解平面问题解例山字型构造、用多项式解平面问题解例 第五章第五章 弹性理论的平面问题弹性理论的平面问题51 弹性理论的基本方程弹性理论的基本方程一、基本方程一、基本方程1. 平衡微分方程平衡微分方程 2. 几何方程几何方程 应变与位移关系方程应变与位移关系方程应

2、变相容方程应变相容方程二、本构方程广义胡克定律二、本构方程广义胡克定律 各向同性体的本构方程的几种形式各向同性体的本构方程的几种形式zxzxyzyzxyxyzzyyxx222以应变表示应力以应变表示应力GGGEEEEEEEEEzxzxyzyzxyxyxyzzzxyyzyxx以应力表示应变以应力表示应变体积应变虎克定律体积应变虎克定律二、边界条件二、边界条件1.面力边界条件面力边界条件 2.位移边界条件位移边界条件 三、弹性力学基本问题三、弹性力学基本问题 弹性力学的基本未知量为弹性力学的基本未知量为三个位移分三个位移分量量，六个应力分量六个应力分量和和六个应变分量六个应变分量，共计，共计十五个

3、未知量。基本方程为三个平衡微分十五个未知量。基本方程为三个平衡微分方程，六个几何方程和六个物理方程，也方程，六个几何方程和六个物理方程，也是十五个基本方程是十五个基本方程 第一类边值问题：第一类边值问题： 已知弹性体内的体力和其表面的面力，求平已知弹性体内的体力和其表面的面力，求平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量，这时的边界条衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量，这时的边界条件为件为面力边界条件面力边界条件。 第三类边值问题：已知弹性体内的体力分量，以及物体表面第三类边值问题：已知弹性体内的体力分量，以及物体表面的部分位移分量和部分面力分量，求平衡状态的弹性体内各的部分位移分量和部

4、分面力分量，求平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量。这时的边界条件在面力已知的部点的应力分量和位移分量。这时的边界条件在面力已知的部分，用面力边界条件，位移已知的部分用位移边界条件，称分，用面力边界条件，位移已知的部分用位移边界条件，称为为混合边值问题混合边值问题。 第二类边值问题：已知弹性体内的体力分量以及表面的位移第二类边值问题：已知弹性体内的体力分量以及表面的位移分量，分量， 求平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量，求平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量， 这时的边界条件为这时的边界条件为位移边界条件位移边界条件。 位移边界条件位移边界条件边界位移已知边界位移已知位移边

5、界Su 位移边界条件就是弹性体表面的就是弹性体表面的变形协调弹性体临近表面的位移与已知边界位移相等弹性体临近表面的位移与已知边界位移相等 wwuvuu混合边界条件混合边界条件弹性体边界弹性体边界 SS Su部分边界位移已知部分边界位移已知位移边界Su 部分边界面力已知部分边界面力已知面力边界S 不论是不论是面力边界条件，位移边界条件，还是还是混合边界条件，任意边界的边界条件，任意边界的边界条件数必须等于数必须等于3 3个。个。52 弹性理论问题的基本解法弹性理论问题的基本解法直接解法：直接解法：应力法应力法位移法位移法间接解法：间接解法：逆解法逆解法半逆解法半逆解法53 基本定理基本定理弹性力

6、学解的弹性力学解的迭加原理迭加原理是指在线弹性条件下，对于是指在线弹性条件下，对于满足小变形条件的弹性体，在两组不同的外力作用满足小变形条件的弹性体，在两组不同的外力作用下所得到的弹性力学解相加等于这两组外力同时作下所得到的弹性力学解相加等于这两组外力同时作用于弹性体的解答。用于弹性体的解答。 弹性力学弹性力学解的唯一性定理解的唯一性定理：假如弹性体内受已知体力的：假如弹性体内受已知体力的作用，物体表面面力已知，或者表面位移已知；或者部作用，物体表面面力已知，或者表面位移已知；或者部分表面面力已知，部分表面位移已知。则弹性体处于平分表面面力已知，部分表面位移已知。则弹性体处于平衡状态时，弹性体

7、内任一点的应力分量和应变分量都是衡状态时，弹性体内任一点的应力分量和应变分量都是唯一的。对于表面有部分或全部位移已知的，则位移分唯一的。对于表面有部分或全部位移已知的，则位移分量也是唯一的。量也是唯一的。 圣维南局部影响原理圣维南局部影响原理其主要内容为：物体表面某一小其主要内容为：物体表面某一小面积上作用的外力力系，如果被一个静力等效的力系所面积上作用的外力力系，如果被一个静力等效的力系所替带，那么物体内部只能导致局部应力的改变。而在距替带，那么物体内部只能导致局部应力的改变。而在距离力的作用点较远处，其影响可以忽略不计。离力的作用点较远处，其影响可以忽略不计。 根据圣维南局部影响原理，假如

8、我们用一静力等效根据圣维南局部影响原理，假如我们用一静力等效力系取代弹性体上作用的原外力，则其影响仅在力力系取代弹性体上作用的原外力，则其影响仅在力的作用区域附近。离此区域较远处，几乎不受影响。的作用区域附近。离此区域较远处，几乎不受影响。 54 直角坐标系下平面问题的基本方程直角坐标系下平面问题的基本方程工程上，空间问题转化为平面问题工程上，空间问题转化为平面问题平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题平面应力问题讨论的弹性体为薄板，厚度为h远远小于结构另外两个方向的尺度。一、平面应力问题一、平面应力问题因此应力沿厚度方向不变 二、平面应力问题二、平面应力问题 这类弹性体是具有很长的

9、纵向轴的柱形物体，横截面这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。沿长度不变；柱体的两端受固定约束。 沿沿z方向的位移恒等于零方向的位移恒等于零 三、平面问题的基本方程三、平面问题的基本方程1.平衡微分方程：平衡微分方程：0Xyxyxx0Yyxyxy2.几何方程：几何方程：yvyxuxyuxvxyyxxyxyxx222223. 本构方程：本构方程：平面应力问题平面应力问题GEEEExyxyxyyyxx平面应变问题平面应变问题GEEEExyxyxyxyyy

10、xyxx)(1)1(1)(1)1(11121124. 面力边界条件：mlYmlXyyxxyx55 按应力求解平面问题按应力求解平面问题一、一、应力表示的变形协调方程应力表示的变形协调方程在常体力条件下，可以通过应力函数表达应力分量。这样问题的基本未知量由三个应力分量简化为一个应力函数。 体力为常量体力为常量二、体力为常量时微分方程的特解二、体力为常量时微分方程的特解0Xyxyxx0Yyxyxy此微分方程组的解为特解与通解的和此微分方程组的解为特解与通解的和特解：特解：YyXxYyXxYyXxxyxxxyxxxyxx, 0, 000,三、应力函数和双调和方程三、应力函数和双调和方程1.应力函数应

11、力函数则满足上式的函数为：则满足上式的函数为：yxxyxyyx22222应力函数应力函数2. 双调和方程双调和方程 应力分量不仅需要满足平衡微分方程，而且还需要应力分量不仅需要满足平衡微分方程，而且还需要满足变形协调方程，将上述应力分量代入变形协调方程，满足变形协调方程，将上述应力分量代入变形协调方程，可得可得 00244422444yyxx函数应满足双调和方程函数应满足双调和方程 56 用多项式应力函数解平面问题用多项式应力函数解平面问题 逆解法逆解法的基本思想是：对于一些具有矩形边界并的基本思想是：对于一些具有矩形边界并不计体力的平面问题，分别选用幂次不同的多项不计体力的平面问题，分别选用

12、幂次不同的多项式，令其满足基本方程，求出应力分量，并由边式，令其满足基本方程，求出应力分量，并由边界条件确定这些应力分量对应边界上的面力，从界条件确定这些应力分量对应边界上的面力，从而确定该应力函数所能解决的问题。而确定该应力函数所能解决的问题。 一、应力函数为一次多项式一、应力函数为一次多项式cybxa00022222yxxyxyyx一次多项式应力函数对应一次多项式应力函数对应无应力应力状态无应力应力状态。这个结论说明在应力函数中增加或减少一个这个结论说明在应力函数中增加或减少一个x，y 的线性函数，将不影响应力分量的值。的线性函数，将不影响应力分量的值。 二、应力函数为二次多项式二、应力函数为二次多项式22cybxyaxbyxaxcyxyyx2222222二次多项式应力函数对应二次多项式应力函数对应常应力的应力状态常应力的应力状态三、应力函数为三次多项式三、应力函数为三次多项式3223dycxyybxaxcybxyxbyaxxdycxyxyyx22266222222三次多项式应力函数对应三