【黄冈中考】备战2012年中考数学 综合型问题的押轴题解析汇编一 人教新课标版

1、用心 爱心 专心 1 【黄冈中考】备战【黄冈中考】备战 20122012 年中考数学年中考数学综合型问题综合型问题的押轴题解的押轴题解析汇编一析汇编一 综合型问题 一、选择题 1. （2011 江苏无锡，10,3 分）如图，抛物线 y=x2+1 与双曲线 y=xk的交点 A 的横坐标是 1，则关于 x 的不等式xk+ x2+11 Bx1 C0 x1 D1x0 【解题思路】由题意可得，把x1 代入 y=x2+1 得，y=2，再将x1， y=2 代入 y=xk得，k2， 由已知 x 的不等式xk+ x2+10 得，x2+1xk，即 x2+1x2，设 y1x2+1，y2x2， 求 y1y2时 x 的

2、取值范围，也就是 x 的不等式xk+ x2+10 的解集.如图所示，分别画出函数的图像，交点坐标（1,2），所以当1x0 ，y1y2，即xk+ x2+10.所以选择 D. 【答案】D 【点评】本题主要考查利用图像法，解关于 x 的不等式xk+ x2+10，显然不能直接画出两个函数图象求解，必须绘制一个新的函数图象，例如：绘制 y1x2+1，y2x2的图象，求出交点坐标（1,2），由图象可得，x 的不等式xk+ x2+10 的解集是1x0)的图象与线段 OA、AB 分别交于点 C、D.若 AB=3BD，以点C 为圆心， CA 的54倍的长为半径作圆， 则该圆与 x 轴的位置关系是 (填“相离”、

3、 “相切”、“相交”). 用心 爱心 专心 29 【解题思路】根据 A (3，3）知 OB=3，AB=3 BD 得 BD=13AB=1，因此 D (3，1）代入 y=kx 得 k=3，因此反比例函 数为 y=3x；设直线 OA 为 y=mx，把 A (3，3）代入 y=mx 得 m=3 ，所以直线 OA 为 y=3x，解方程33yxyx，得13xy或13xy 所以 C (1，3），过 C 作 CHx 轴于 H，则 OH=1，CH=3，则 OC=222OHCH， OA=222 3OBAB，AC=OAOC=2 32，r=5(2 32)4=5( 31)2 因为5( 31)32，即 d0)是直线 y=

4、x上的一个动点，Q 是 OP 的中点，以 PQ 为斜边按图（15.2）所示构造等腰直角三角形 PRQ. 当PBR 与直线 CD 有公共点时,求 x 的取值范围； 在的条件下，记PBR 与COD 的公共部分的面积为 S.求 S 关于 x 的函数关系式，并求S 的最大值。 【解题思路】用待定系数法确定一次函数、二次函数的解析式，从而进一步解决问题。 【答案】解：.设以 A(1,5)为顶点的二次函数解析式为512xay 512xay的图像经过了点 B(5,5) 5) 15(12 a 解得41a 51412xy 用心 爱心 专心 38 即：41921412xxy . 如图，作点 A 关于 y 轴对称点

5、A,与 y 轴交与点 D,作点 B 关于 x 轴对称点B,与 x 轴交与点C,连接 AD,AC,CB,BA.四边形 ABCD 的周长最小。 A(1,5),B(5,1) 155 , 1，BA DACDBCABCABCD四边形 BAAB 2102624155115512222 .如图 155 , 1，BA 直线 AB 的解析式为4xy 直线4xy与直线xy 的交点2 , 2M yxP,，点 Q 为 OP 的中点 用心 爱心 专心 39 2,2yxQ PBR 与直线 CD 有公共点，2 , 2M 222xx，即42 x 【点评】本题考查了一次函数、二次函数、三角形、四边形等知识的综合运用。难度较大。

6、 2011 江苏盐城，28，12 分）如图，已知一次函数y = - x +7 与正比例函数y = 43 x的图象交于点A，且与x轴交于点B （1）求点A和点B的坐标； （2）过点A作ACy轴于点C，过点B作直线ly轴动点P从点O出发，以每秒 1个单位长的速度，沿OCA的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒. 当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为 8？ 是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在

7、，请说明理由 【解题思路】第（1）小题联立两函数解析式解方程组即可得到 A 点坐标，B 点为直线ABOyxy=-x+7y=43x（备用图） ABOyxy=-x+7y=43x用心 爱心 专心 40 与x轴交点，令y=0 求出x就能得到坐标；第（2）小题按照 P 点的运动路线，分为 P 在 OC上与 P 在 CA 上（即 0t4、4t7）两种情况画出相应图形分类讨论，第问第一种情况利用梯形面积减三个三角形面积列出方程求解， 第二种情况直接利用三角形面积列出方程求解，第要按腰相等分三种情况进行讨论等腰三角形 PAQ 的存在 【答案】解：（1）根据题意，得y=-x+7y=43x，解得 x=3y=4，A

8、(3，4) .令y=-x+7=0，得x=7B（7，0）. （2）当P在OC上运动时，0t4. 由SAPR=S梯形COBA-SACP-SPOR-SARB=8，得 12(3+7)4-123(4-t)- 12t(7-t)- 12t4=8 整理,得t2-8t+12=0, 解之得t1=2,t2=6（舍） 当P在CA上运动，4t7. 由SAP R = 12(7-t)4=8，得t =3（舍） 当t=2 时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为 8. 当P在OC上运动时，0t4. AP=(4-t)2+32，AQ=2(4-t)，PQ=7-t 当AP =AQ时，(4-t)2+32=2(4-t)2, 整理得，t2-8

9、t+7=0. t=1, t=7(舍) 当AP=PQ时，(4-t)2+32=(7-t)2, 整理得，6t =24. t=4(舍去) 当AQ=PQ时，2(4-t)2=(7-t)2 整理得，t2-2t-17=0 t=13 2 (舍) 当P在CA上运动时，4t7. 过A作ADOB于D，则AD=BD=4. 设直线l交 AC 于 E，则QEAC，AE=RD=t-4，AP=7-t. 由cosOAC= AEAQ = ACAO，得AQ = 53(t-4) 当AP=AQ时，7-t = 53(t-4)，解得t = 418. 当AQ=PQ时，AEPE，即AE= 12AP 得t-4= 12(7-t)，解得t =5. 当

10、AP=PQ时，过P作PFAQ于F，AF= 12AQ = 1253(t-4). 在RtAPF中，由cosPAF AFAP 35，得AF 35AP 即 1253(t-4)= 35(7-t)，解得 t= 22643. 综上所述，t=1 或 418或 5 或 22643 时，APQ是等腰三角形. lxyOBACPRQlxyOBACPRlRPCABOyxDFElxyOBACPRQ用心 爱心 专心 41 【点评】此题属于代数与几何的动态综合型问题，它综合考查了直线与坐标轴交点求法、列方程组求直线与直线交点、用变量 t 表示线段长度、图形面积与方程、等腰三角形等方面的知识重点考查学生运用转化思想、方程思想和

11、分类讨论的思想解决实际问题的能力求解动态型问题的关键是抓住变化中的 “不变” ， 以变化中的几个关键位置为切入点， 分类讨论，将“运动”转化为“静止”进行求解本题入口虽然不难，但学生极易出现分类讨论不 如图，在ABO 中，已知点3 , 3A、1, 1B、0 , 0O，正比例函数xy图像是直线l，直线 ACx轴交直线l与点 C。 C 点的坐标为 ； 以点 O 为旋转中心，将ABO 顺时针旋转角（90180），使得点 B 落在直线l上的对应点为B，点 A 的对应点为A，得到BOA = 画出BOA 写出所有满足DOCAOB 的点 D 的坐标。 【解题思路】（1）由直线 ACx轴交直线l与点 C，知点

12、 C 纵坐标为 y=3，代入 y=-x 求出x=-3,点 C（-3,3）；（2）由点 C 和点 B 的坐标可判断BOC=900；（3）由DOCAOB 根据对应关系可求点 D 的坐标。 【解答】（1）根据题意，点 C 纵坐标为 y=3，代入 y=-x 求出 x=-3,点 C（-3,3）；（2）=900； 画图略； （3） 根据勾股定理得 OC=32， OB=2,OA=23,DOCAOB,OD=63,点 D 的坐标有两个解，（33，-9）和（9，-33）。 【点评】本题是一道综合试题，解答本题的关键是对函数知识有充分的理解，以及对相似三角形的对应性的正确认识，还要注意分类讨论思想的运用。 （201

13、1 常州市第 28 题,本小题 10 分） 在平面直角坐标系 XOY 中，直线1l过点0 , 1A且与y轴平行，直线2l过点2 , 0B且与x轴平行，直线1l与直线2l相交于点 P。点 E 为直线2l上一点，反比例函数xky （k0）的图像过点 E 与直线1l相交于点 F。 若点 E 与点 P 重合，求k的值； 连接 OE、OF、EF。若k2，且OEF 的面积为PEF 的面积的 2 倍，求 E 点的坐标； 用心 爱心 专心 42 是否存在点 E 及y轴上的点 M，使得以点 M、E、F 为顶点的三角形与PEF 全等？若存在，求 E 点坐标；若不存在，请说明理由。 【解答】（1）k=12=2. （

14、2）当 k2 时，如图 28-1， 点 E、F 分别在 P 点的右侧和上方过 E 作 x 轴的垂线 EC，垂足为 C，过 F 作 y 轴的垂线 FD，垂足为 D，EC 和 FD 相交于 G，则四边形 OCGD 为矩形。 PFPE. 211112122 24PEFkSPEPFkkk 四边形 OCGD 为矩形 PEFEFGSS 2211(1)1244OEFOCGDCEFFEGCDEkSSSSSkkkkk OEFS=2PEFS 2114k =212(1)4kk 解得 k=6 或 2.因为 k=2 时,E、F 重合,所以 k=6. 所以 E 点的坐标为(3,2) （3）存在点 E 及 y 轴上的点 M

15、,使得MEF 与PEF 全等 当 k2 时，如图 28-3， 只可能只可能MEFPEF，作作 FQy 轴于 Q， FQMMBE 得：BMEMFQFM FQ=1,EM=PF=k-2,FM=PE=12k, 2112BMkk,BM=2, 在 RtMBE 中，由勾股定理得222EMEBMB, 222222kk 解得 k=163或 0，但 k=0 不符合题意，所以 k=163。 此时 E 点的坐标为（83，2），符合条件的 E 点坐标为 【点评】本题是一次函数、反比例函数、全等、相似等知识的综合，难度较大，还考查了分类讨论的思想. （2010 年江苏省宿迁市，26，10）（本题满分 10 分）如图，在平

16、面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数yx6（x0）图象上的任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B （1）判断P是否在线段AB上，并说明理由； （2）求AOB的面积； （3）Q是反比例函数yx6（x0）图象上异于点P的另一点，请以Q为圆心，QO为半径画圆与x、y轴分别交于点M、N，连接AN、MB求证：ANMB 用心 爱心 专心 44 【解题思路】（1）利用圆的性质“90 的圆周角所对的弦是直径”进行判断（2）利用反比例函数的性质和三角形中位线定理进行解决即可（3）通过面积相等得出等积式，再由等积式得出比例式，从而证明三角形相似，得出对应角相等，最后得出两直线平行

17、【答案】（1）点P在线段AB上，理由如下： 点O在P上，且AOB90， AB是P的直径 点P在线段AB上 （2）过点P作PP1x轴，PP2y轴 由题意可知PP1、PP2是AOB的中位线， 故SAOB21OAOB212 PP12PP2 P是反比例函数yx6（x0）图象上的任意一点， SAOB21OAOB212 PP12PP22 PP1PP212 （3）如图，连接MN，则MN过点Q，且SMONSAOB12 OAOBOMON OBONOMOA AONMOB， AONMOB OANOMB ANMB 【点评】本题属于代数、几何综合运用题，主要考查了反比例函数、三角形中位线、三角形相似、圆的性质等知识解答

18、此类题应具备综合运用能力，包括知识综合、方法综合以及数学思想的综合运用，能较好地区分出不同数学水平的学生，保证区分结果的稳定性，从而确保试题具有良好的区分度， 进而有利于高一级学校选拔新生 对我们学生而言要注意从简单的地方入手， 将一些数学语言用自己熟悉的便于理解的即换一种语言表达出来， 这些方法对解答综合题有一定的作用难度较大 （2010 年江苏省宿迁市，27，12）（本题满分 12 分）如图，在边长为 2 的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQt（0t2），线段PQ的垂直平分线分别交yxQPABO（第 26 题） NMyxQPABO用心 爱心 专心 45 边AD、B

19、C于点M、N，过Q作QEAB于点E，过M作MFBC于点F （1）当t1 时，求证：PEQNFM； （2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值 【解题思路】（1）根据正方形的性质可以证明三角形全等（2）利用二次函数图象的性质，求最小值 【答案】（1）四边形ABCD是正方形， ABD90，ADAB QEAB，MFBC AEQMFB90 四边形ABFM、AEQD都是矩形 MFAB，QEAD，MFQE 又PQMN EQPFMN 又QEPMFN90 PEQNFM （2）点P是边AB的中点，AB2，DQAEt PA1，PE1t，QE2 由勾股

20、定理，得PQ22PEQE4)1 (2t PEQNFM MNPQ4)1 (2t 又PQMN SMNPQ 214)1 (212t21t2t25 0t2 当t1 时，S最小值2 综上：S21t2t25，S的最小值为 2 【点评】本题属于代数、几何综合运用题，主要考查了二次函数、三角形全等等知识解答此类题应具备综合运用能力，包括知识综合、方法综合以及数学思想的综合运用，能较好地区分出不同数学水平的学生，保证区分结果的稳定性，从而确保试题具有良好的区分度，进而有利于高一级学校选拔新生难度较大 （2011 江苏苏州，27，8 分）已知四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，以 AB 为直径在正方形内作半

21、圆，P 是半圆上的动点（不与点 A、B 重合），连接 PA、PB、PC、PD. （1）如图，当 PA 的长等于 时，PAB=60； 当 PA 的长度等于 时，PAD 是等腰三角形； （2）如图，以 AB 边所在直线为 x 轴、AD 边所在直线为 y 轴，建立如图所示的直角坐标第（点 A 即为原点 O），把PAD、PAB、PBC 的面积分别记为 S1、S2、S3.设 P 点坐标为（a，b）， QPNMFEDCBA（第 27 题） 用心 爱心 专心 46 试求 2S1S3S22的最大值，并求出此时 a、b 的值. 【解题思路】(1)由直径 AB 可知ABC 是直角三角形，AP=cos60AB=2；

22、把 AD作为底时，AD 的垂直平分线与半圆的交点就是顶点 P 的位置，这时 P 刚好是切点，AP=cos454=22，把 AP 作为底时，DP 与半圆相切，利用等积公式可得 AP=8 55；(2)过点 P 作 AD、AB、BC 的垂线，用 P 点的坐标表示三个三角形的面积，利用射影定理找到 a、b 之间的关系，求出表示 2S1S3S22的函数解析式，用二次函数的性质求出其最大值. 【解答】（1）2；22或8 55， （2）如图，过点 P 分别作 PEAB，PFAD， 【点评】本题综合了四边形、圆、二次函数等知识点，要综合考虑，第二小问题中求最大值，就要想到二次函数. 用心 爱心 专心 47 2

23、5.（2011 湖北孝感，25, 14 分）如图（1），矩形 ABCD 的一边 BC 在直角坐标系中 x轴上，折痕边 AD，使点 D 落在 x 轴上点 F 处，折痕为 AE，已知 AB=8，AD=10，并设点 B 坐标为（m，0），其中 m0. （1）求点 E，F 的坐标(用含 m 的式子表示);(5 分) (2)连接 OA，若OAF 是等腰三角形，求 m 的值;(4 分) (3)如图(2)，设抛物线 y=a(xm6)2+h 经过 A、E 两点，其顶点为 M，连接 AM，若OAM=90，求 a、h、m 的值.(5 分) 【解题思路】 对于(1),由折叠可知,AF=10,故 BF=6,则 CF=

24、4,可结合相似或勾股定理求出EF,CE;对于(2), OAF 是等腰三角形， 要分为三种情况讨论,结合勾股定理解决;(3)的难度较大,借用轴对称性和相似,构造方程. 【答案】（1）四边形 ABCD 是矩形, AD=BC=10， ABDC8 ，DDCBABC90. 由折叠对称性：AF=AD=10，FE=DE. 在 RtABF 中，BF=68102222 ABAF. FC=4 . 设 EF=x,则 EC=8-x 在 RtECF 中，42+（8-x）2=x2解得 x=5. CE =8-x=3. B (m,0) E (m+10,3) ,F (m+6,0). (2)分三种情况讨论： 若 OF=AF，AB

25、OFOB=BF=6， m=6. 若 AO=OF，则 m+6=10 ,解得 m=4. 若 AO=OF，在 RtAOB 中，AO2=OB2+AB2=m2+64 (m+6)2=m2+64,解得 m=37. 综合得 m=6 或 4 或37. （3）由（1）知 A（m,8）,E (m+10,3). 用心 爱心 专心 48 依题意：3)610(8)6(22hmmahmma 得141ha. M（m+6，-1）. 设对称轴交 AD 于 G，G（m+6,8） AG =6 ,GM =8-(-1)=9. OAB +BAM =90, BAM +MAG =90, OAB =M . 又ABO=MGA=90, AOBAMG

26、. AGABMGOB，即689m , m=12. 【点评】本题作为压轴题,主要考查了轴对称,勾股定理,二次函数和相似等重要知识点,也考查了用字母表示数,方程思想以及分类讨论思想等难度较大 24. （2011 年怀化 24，10 分） 在矩形 AOBC 中，OB=6，OA=4，分别以 OB，OA 所在直线为 x 轴和 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，F 是边 BC 上的一个动点（不与 B，C 重合），过 F 点的反比例函数)0( kxky的图像与 AC 边交于点 E. （1） 求证：AEAO=BFBO； （2） 若点 E 的坐标为（2，4），求经过 O、E、F 三点的抛物线的解析式； （3）

27、 是否存在这样的点 F，使得将CEF 沿 EF 对折后，C 点恰好落在 OB 上？若存在，求出此时的 OF 长；若不存在，请说明理由. 【解题思路】(1)本题主要考查的是反比例函数系数 k 的几何意义,由点 E、F 都在反比例函数图像上可求解. (2)给点 E 的坐标后能够求出反比例函数的表达式，从而求出点 F 的坐标，得到抛物线的解析式. (3)由（1）得到 CE=1.5CF，在利用轴对称的 性质可以得到 CF=CF，CE=CE，ECF=C=90，过点 E 作 EHOB 于点 H，构造相似三角形，利用相似三角形的性质得出边 BC的长度，在 RtBCF 中，结合勾股定理求出 BF 的长，从而可

28、求出 OF 的长度. 【答案】 用心 爱心 专心 49 (1)证明：由题意知，点 E、F 均在反比例函数)0( kxky图像上，且在第一象限，所以AEAO=k，BFBO=k，从而 AEAO=BFBO. (2)将点 E 的坐标为（2，4）代入反比例函数)0( kxky得 k=8， 所以反比例函数的解析式为xy8. OB=6，当 x=6 时，y=34，点 F 的坐标为（6，34）. 设过点 O、E、F 三点的二次函数表达式为)0(2acbxaxy，将点 O（0，0），E（2、4），F（6，34）三点的坐标代入表达式得： 346364240cbacbac 解得092694cba 经过 O、E、F 三

29、点的抛物线的解析式为：xxy926942. (3) 如图 11，将CEF 沿 EF 对折后，C 点恰好落在 OB 边于点 C.过点 E 作 EHOB 于点H. 设 CE=n，CF=m，则 AE=6-n，BF=4-m 由（1）得 AEAO=BFBO (6-n)4=(4-m)6 ,解得 n=1.5m. 由折叠可知，CF=CF=m，CE=CE=1.5m，ECF=C=90 在 RtEHC中，ECH+CEH=90， 又ECH+ECF+FCB=180，ECF=90 CEH=FCB EHC=CBF=90 ECHCFB，FCCEBCEH 5 . 15 . 1mmFCCEBCEH， 由四边形 AEHO 为矩形可

30、得 EH=AO=4 CB=38. 用心 爱心 专心 50 在 RtBCF 中，由勾股定理得，CF2=BF2+CB2，即 m2=(4-m)2+238 解得：m=926 BF=4-926=910, 在 RtBOF 中，由勾股定理得，OF2=BF2+OB2，即 OF2=62+2910=813016. OF=97542 存在这样的点 F，OF=97542,使得将CEF 沿 EF 对折后，C 点恰好落在 OB 上. 【点评】 本题是关于代数与几何的综合性问题， 第一问考察了反比例函数的 k 的几何意义， 由于用字母代替了数字增加了一定的难度； 第二问是用三点求二次的表达式， 系数中有分数增加了计算的难度

31、，学生要细心；第三问综合运用轴对称的性质、相似三角形、勾股定理、等知识求OF 的长，难度在于要通过两个等量关系求解，学生在此问有难度，加上计算量加大，易出错，难度较大. 24（2011 湖南株洲，24，10 分）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线2(0)yax a的性质时， 将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题： （1）若测得2 2OAOB（如图 1），求a的值； （2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图 2 所示位置时，过B作BFx轴于点F，测得1OF ，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标

32、； （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标 yxBAO图 1 FEyxBAO图 2 用心 爱心 专心 51 【解题思路】 （1）直接由抛物线的对称性，结合等腰直角三角形即可求得点 B 的坐标，进而求解.（2）可过点A作AEx轴于点E，利用相似三角形，或锐角三角函数，或勾股定理求解.（3）设出直线的解析式，并和二次函数联立方程，利用相似三角形求得.或利用面积求解. 【答案】解：（1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点， 2 2OAOB，90AOB，2ACOCBC，B(2，2) 将B(

33、2，2)代入抛物线2(0)yax a得，12a .（2）解法一：过点A作AEx轴于点E，点B的横坐标为1，B (1，12)，12BF . 又 90AOB，易知AOEOBF ， 又90AEOOFB，AEO O F B，1212AEOFOEBF2AEOE设点A（m，212m）（0m ），则OEm，212AEm，2122mm4m ， 即点A的横坐标为4.解法二： 过点A作AEx轴于点E，点B的横坐标为1，B (1，12)， 1tan212OFOBFBF 90AOB， 易 知A O EO B F ，tantan2AEAOEOBFOE，2AEOE设 点A（ -m，212m） （0m ） ， 则OEm，2

34、12AEm，2122mm4m ，即点A的横坐标为4. 解法三：过点A作AEx轴于点E，点B的横坐标为1，B (1，12)， 设A（-m，212m）（0m ） ， 则222151( )24OB ，22414OAmm，222211(1)()22ABmm ， 90AOB222ABOAOB，2222221111(1)()(1)()2222mmmm ，解得：4m ，即点A的横坐标为4. （3）解法一：设A（m，212m）（0m ），B（n，212n）（0n ），设用心 爱心 专心 52 直线AB的解析式为：ykxb， 则221 (1) 21 (2) 2mkbmnkbn ，(1)(2)nm 得，2211(

35、)()()22mn bm nmnmn mn ， 12bmn 又易知AEOOFB，AEOEOFBF，220.50.5mmnn，4mn 1422b .由此可知不论k为何值，直线AB恒过点 （0，2） （说明： 写出定点C的坐标就给 2 分） 解法二： 设A（m，212m）（0m ），B（n，212n）（0n ），直线AB与y轴的交点为C，根据0A O BA O EBFA O CB O CABFESSSSSS梯形，可得 2222111111111()()222222222nmmnmmnnOC mOC n ， 化简，得12OCmn. 又易知AEOOFB，AEOEOFBF，220.50.5mmnn，4m

36、n 2OC 为固定值.故直线AB恒过其与y轴的交点C（0,2） 说明：mn的值 也 可 以 通 过 以 下 方 法 求 得 . 由 前 可 知 ，22414OAmm，22414OBnn，2222211()()22ABmnmn ，由222OAOBAB，得：242422221111()()()()4422mmnnmnmn，化简，得4mn . 【点评】本题将一只三角板有机地放入平面直角坐标系中，并与抛物线结合，同时构建FEyxBAO 用心 爱心 专心 53 动态问题，应该说是一道十分不错的好题，求解时除了要能灵活运用所学知识外，还必须 充分运用数学思想方法.难度较大 27 （2011 年湖南衡阳 27，10 分） （本题满分 10 分）已知抛物线217222yxmxm （1）试说明：无论 m 为何实数，该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点； （2）如图 15，当抛物线的对称轴为直线 x=3 时，抛物线的顶点为点 C直线1yx与抛物线交于 A、B 两点，并与它的对称轴交于点 D 抛物线上是否存在点 P 使得四边形 ACPD 是正方形，若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由 平移直线 CD，交直线 AB 于点 M，交抛物线于点 N，通过怎样的平移能使得以 C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形 【解题思路】（1）欲说明此抛物线与 x 轴总有两个不同的交点，只