平面向量在解析几何的应用策略分析

1、平面向量在解析几何中的应用与求解策略一、利用向量，可以很方便地解决有关平行、垂直、距离等相关问题，其基本理论是：b（一）、直线的方向向量 ：直线 L 的方向向量为m=（ a,b),则该直线的斜率为 k= a（二）、利用向量处理平行问题：=(x,y对非零向量 a =(x1,y ), b), a b 的充要条件是：有且仅有一个122=( b0 ) 的充要条件是 ?x1y2-x 2y1=0；实数 ，使得 ab ；亦即 a b a · b（三）、利用向量求角： 设 a =(x 1,y 1),b =(x 2 ,y 2), 则两向量 a 、 b 的夹角： cos = cos< a , b

2、> =|a |b1212=x x+y y其特殊情况即为垂直问题：对非零向量a =(x 1,y 1),b22·22x1 +y1x2 +y2=(x 2,y 2),x1x2- y 1y2=0；a b 的充要条件是 a · b =0?（四）、利用向量求距离： 222；设 a =(x,y),则有 | a |=a =x +y( x1x2 )2( y1y2 )2若 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 | AB|=二、典例分析：【题 1】、点 P（-3,1 ）在椭圆 x2y21(ab0) 的左准线上 .a2b2的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这

3、个椭圆的离心率为:()过点 P 且方向为 a =(2,-5)（ A）3（B） 1(C)2（D） 13322所以 KPQ5 , 则 l PQ ; y15 ( x3) ； 解析 ：如图 , 过点 P（ -3 ，1）的方向向量 a =(2,-5);22即 LPQ ;5x2 y13 ; 联立：5x2y13得 Q(9 ,2) ， 由光线反射的对称性知：K QF15y252所以 LQF ; y259)，即 LQF1 :5x2y50 ; 令 y=0, 得 F （ -1 ， 0 ） ; 综上所述得：c=1 ，( x1251a 23,则 a3 ; 所以椭圆的离心率ec13 .故选 A。ca33=(2,-5)，则

4、立即有直线的斜率为 点 拨 ： 本 题 中 光 线 所 处 直 线 的 方 向 向 量 是 aK PQ5 ,从而有 lPQ 方程为 : y15 ( x3) 。22【题 2 】设椭圆 x2y21 上一点 P 到左准线的距离为10， F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足2516.uuuur1 uuuruuuruuuurOM(OPOF)，则|OM |2|PF|=6 ，再由第一定义则|PF |=4 ；由于解：依据椭圆的第二定义则有：uuuur1 uuuruuurM处于 PF 的中点OM(OPOF ) ，由向量加法的平行四边形法则，则点2uuuur处，故由中位线定理可知|OM | 2。uuuur1uuur

5、uuurM点拨 ：本题中的向量条件OM2(OPOF ) ，抓住向量加法的平行四边形法则，从而转化得出点处于 PF 的中点位置。【例题 3】已知 A,B 为椭圆 x2y2x2y21的公共顶点 ,P,Q 分别为双曲线和椭a2b21(a>b>0) 和双曲线 a2b2 R,|>1),设 AP,BP,AQ,BQ斜率分别为 k1,k 2,k 3,k 4, 求圆上不同于 A,B 的动点 , 且有 AP+BP= ( AQ+BQ)(证 :k 1 +k2+k3+k 4 为一个定值 .解、点 A(-a,0)； B(a,0) ；由 AP+BP= ( AQ+BQ), 依据向量加法的平行四边22形法则

6、, 则有 O、 Q、 P 三点共线；设11P(x 1,y 1) 、Q（ x2， y2）, 则 x 2 -y 2 =1,ab则 x2-a2a22； k +k=y1+y1=2x1y12b2x11= 2· y11122=2· 1；b112x +ax -ax -aay-2b 2x2x1x2同样有 k3+k 4=a2·y2；由于 y1=y2， 所求的定值为 0。 点拨：本题中的向量条件 , 从而转化得出了O、 Q、: AP+BP= ( AQ+BQ)，通过向量加法的平行四边形法则P 三点共线；然后再继续进行推理、求解，从而得出结论。【例题 4】(2007 年全国高考·

7、;理科· 12 题) 设F为抛物线y24x的焦点，A BC为该抛物线， ，uuuruuuruuuruuuruuuruuur上三点，若 FAFBFC0，则 FAFBFC（）A 9B 6C 4D 3解：抛物线的焦点 F（ 1，0）设 A 、B、C 三点的坐标分别为( x1 , y1 ) 、( x2 , y2 ) 、( x3 , y3) ；1, y3 ) ，则有 FA=( x11, y1 ) ， FB=(x2 1, y2 ) ， FC=( x3uuuruuuruuur FAFBFC0 ； x11 + x21 +x3 1 =0 ； x1+x 2+x3=3, 又 由 抛 物 线 的 定 义 可

8、 知uuuruuuruuurFAFBFCx 1+1+x2+1+x3 +1=6，从而选（ B) 。uuuruuuruuur0 ；利用向量的坐标运算规律进行转化后可得x1+x 2+x3=3, 再点拨：本题中，向量条件FAFBFC由于所求均为焦半径，从而利用抛物线的定义马上可得到所求之答案为（B）。【例题 5】、（ 2004 年全国高考）给定抛物线C： y24x, F 是 C 的焦点，过点F.的直线 l与 C相交于 A、 B 两点 . （）设 l 的斜率为1，求 OA与 OB 夹角的大小；（）设 FBAF, 若 4,9 ，求 l 在 y 轴上截距的变化围 .解：（） C的焦点为 F（ 1， 0），直

9、线 L 的斜率为1，所以 L 的方程为 yx 1.将 yx 1 代 入 方 程 y 24x ， 并 整 理 得 x26x 10. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 有x1 x26, x1 x21.OA OB ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) x1 x2y1 y22 x1 x2( x1x2 ) 13.| OA |OB | x12y12x22y22x1 x2 x1 x24( x1x2 ) 1641.cos(OA, OB)OA OB3 14 .所以 OA与OB 夹角的大小为arccos 314 .| OA |OB |4141（）由题设 FBAF得 ( x2

10、1, y2 )(1 x1x2 1(1x1 ), y1 ), 即y1.y2又由于点 F 为抛物线的焦点，则有uuuuuruuuur+1= (x+1) ；联立方程|FB | AF | 依据抛物线的定义有： x21112） 或求得点 B( , 2), ；又 F（1， 0），则可得直线 L 的方和可求得 x1=；则点 A（ ，±程为：(1) y2( x 1)或 (1) y2(x1), 当4,9 时， l在方程 y 轴上的截距为2或2, 由 2212 ,可知 2在 4 ， 9 上是递减的，11111 324,423 ,直线 L 在 y 轴上截距的变化围为 4,33,4.4133143443点拔

11、：本题主要是将向量相等的条件FBAF ，转化为向量坐标关系等式：( x21, y2 )(1x2 1(1x1 ),然后可以此去求出交点A 的坐标数值，再往下进行转x1 , y1 ), 即y1.y2化推理，从而使问题得以解决。【例题 6】（ 2007 年高考理科 20题）已知双曲线x2y22 的左、右焦点分别为F1 ， F2，过点 F2的动直线与双曲线相交于A， B 两点uuuuruuuruuuruuur（I ）若动点 M 满足 FMF AF BFO （其中 O 为坐标原点） ，求点 M 的轨迹方程； （ II ）在 x 轴1111uuuruuurC 的坐标；若不存在，请说明理由上是否存在定点C

12、，使 CA · CB 为常数？若存在，求出点.解：由条件知F1 ( 2，0) ， F2 (2，0) ，设 A(x1， y1) ， B( x2， y2 ) （ IM ( x， y)uuuur，uuur，uuuruuur，）设，则， ，由FM ( x 2y)F A ( x 2 y )F B ( x 2 y ) FO (2 0)11111221uuuuruuuruuuruuurx2xx，26x1x2xFMF AF BFO 得1即4当 AB 不与 x 轴垂直时，设直线 AB1111yy1y2y1y2y的方程是 yk( x 2)(k1)代入 x2y22 有 (1 k 2 ) x24k 2 x(

13、4 k 22)0 则 x1， x2 是上述方程的两个实根，所以x1x24k2 y1y2k( x1x24)k4k 244k 由得k21k1k21x44k 2； y4k ；当 k0时， y0 ，由得，x 4k ，将其代入有k 21k 21y4x4y4 y(x4)22y整理得当k 0时，点M的坐标为，满足上( x 4) 2(x 4) 2y2( x 6)y4(4，0)1y 2述方程当AB与 x 轴垂直时，x1x22，求得M (80)M的轨迹方程是， ，也满足上述方程故点( x6) 2y24 ）假设在 x 轴上存在定点点uuuruuur（ IIC ( m，0) ，使 CA CB 为常数，当AB不与x轴垂

14、直时，由（I）有gx1x24k21 ， x1x24k 22 于是k 2k 21uuuruuur( xm)( xm)k2 (x2)( x2)(k 21)x1 x2(2k 2m)( x1x2 )4k 2m2CA CB2g121(k21)(4 k 22)4k2 (2 k 2m)4k 2m22(12m)k 22m22(12m)44mm2 k 2 1k 2 1k21k21uuuruuuruuuruuur因为 CAgCB 是与k无关的常数，所以44m0，即m，此时 CAgCB =11当 AB 与 x 轴 垂 直 时 ， 点 A，B 的 坐 标 可 分 别 设 为 (2， 2)， (2， 2)， 此 时uu

15、uruuur(1， 2) g(1，2)1CAgCBuuuruuur故在 x 轴上存在定点 C (1，0) ，使 CA CB为常数g点拨：本题中的向量条件的转化，关键是利用向量坐标的运算规律去加以运用与转化！【例题 7】设过点 P( x, y) 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A,B两点，点 Q与点 P关于y 轴对称， O 为坐标原点，若uuuruuuruuuruuur1 ，则点 P 的轨迹方程是BP2PA且 OQgAB( ).A 3x23y21(x0, y0)B3x23y21(x0, y0)C 3232x23 y21(x0, y0)Dx23y 21(x0, y0)22 解 ： 设

16、P （ x ， y ）， 则Q（ x ， y ）， 又 设A （ a ， 0 ）， B （ 0 ， b ）， 则a 0 ， b 0 ， 于 是uuuruuuruuur uuur3x， b 3y，（，），（ ， ），由 BP2PA 可得 aBPx yb PAa xy2uuuruuur uuurx23 y 21( x 0, y 0) 故所以 x 0，y0 又 AB （ a，b）（ 3 x，3y ），由 OQ ?AB 1 可得322选 D点拨：本题中的向量条件的转化，关键也是利用向量坐标运算规律去加以运用与转化！【例题 8】已知两点 M（ 2，0）、N（ 2，0），点 P 为坐标平面的动点，满足uu

17、uuruuuruuuuruuur|MN | |MP |MNNP 0，则动点 P（ x， y）的轨迹方程为（）（ A） y 28x（B） y28x（C） y24 x（ D） y 24 x解答、设 P(x, y) ， x0, y 0 ， M (uuuuruuur( xuuur2,0), N (2,0) ， MN4；则 MP2, y), NP ( x 2, y)由MN MPMN NP0，则4( x2)2y24(x2)0 ，化简整理得 y28x 所以选 B点拨：本题中的向量条件的转化，关键还是利用向量坐标运算规律去加以运用与转化！【例题 9】已知点 M（ 2，0），N（ 2，0），动点 P 满足条件

18、|PM | |PN |=2 2 ，记动点 P 的轨迹为 W.uuur uuur（）求 W 的方程；（）若 A ，B 是 W上的不同两点， O 是坐标原点，求OA · OB 的最小值 .解：（）由 |PM| |PN|= 22知动点 P的轨迹是以M , N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a2 ；又半焦距c=2 ，故虚半轴长bc2a22 ；所以W 的y方程为 x2y21, x2MHP22x（）设 A ， B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) ,(x2 , y2 ) ；当 AB x 轴时 , x1x2 ,OFuuuruuur2y 2从而 y1y2 , 从而 OA OB x xy yx2.

19、 当 AB与 x 轴121211不垂直时 , 设直线 AB 的方程为 ykxm , 与 W的方程联立 , 消去 y 得(1k2 )x22kmxm220. 故 x1x22km,x1 x2m22 ,所以1k 2k 21uuuruuurk 2 ) x1 x2 km(x1m2OA OBx1x2y1 y2x1 x2(kx1m)(kx2m)(1x2 )(1 k2 )( m22)2k2 m2m22k 2224. 又因为 x1x20,所以k 211 k 2k 2 1k21.k2uuur uuur2. 综上 , 当 AB x 轴时 ,uuur uuur1 0,从而 OA OBOA OB 取得最小值 2.uuur

20、 uuur点拨：向量条件OA OBx xy y 在综合题中的转化是经常要用到的，它实质是向量坐标运算1212规律的应用与转化。【例题 10】（ 2006 年卷）已知点 A( x1 , y1 ) , B(x2 , y2 ) ( x1x20) 是抛物线 y 22px ( p0) 上的两个动点 ,O是坐标原点,uuuruuuruuuruuuruuuruuur设圆C的方程为向量OA,OB满足OA OB OAOB.x2y2( x1x2 ) x ( y1y2 ) y 0(I)证明线段 AB 是圆 C 的直径 ;(II)当圆 C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时， 求 P的值。uuuruuuruuu

21、ruuuruuuruuuruuuruuur【解析】 (I)Q OAOBOAOB ,(OAOB )2(OAOB)2 ；整理得 :uuuruuuruuuruuurOA OB0x1 x2y1y20 ；设 M(x,y) 是以线段 AB为直径的圆上的任意一点,则 MA MB0 即( x x1 )( x x2 ) ( yy1 )( yy2 )0 ；整理得 :x2y 2( x1x2 ) x ( y1y2 ) y0故线段 AB 是圆 C 的直径xx1x22 y22(II)解 : 设圆 C 的圆心为 C(x,y), 则2222 px2 ( p0)x1 x2y1y1y2； Q y12 px1 , y24 p2y2

22、y 2 y22又因x1 x2 y1 y20 x1 x2y1 y2y1y212；0, y1 y20yy24 p4p2Q x1 x21xx1x2122)1222 y1 y2 )y1 y21( y22) ；所以圆心的轨迹方程为2( y1y2( y1y24 p2 p4 p4 ppy2px2 p2 ；设圆心 C 到直线 x-2y=0的距离为 d, 则| x 2y | 1 ( y22p2 ) 2 y | y 22py 2 p2 | ( y p)2p2 |dp555 p5p当 y=p 时 ,d 有最小值p , 由题设得p25p2 .555点拨：本小题考查了平面向量的基本运算，圆与抛物线的方程、点到直线的距离

23、公式等基础知识，以及综合运用解析几何知识解决问题的能力。【例题 11】（ 2006 年天津卷） 如图，以椭圆 x2y 21 a b 0 的中心 O 为圆心，分别以 a 和 b 为a2b 2半径作大圆和小圆。 过椭圆右焦点 F c,0 c b作垂直于 x 轴的直线交大圆于第一象限的点A 连结 OA.交小圆于点B设直线BF是小圆的切线 （1）证明c2，并求直线BF与y轴ab的交点 M 的坐标；uuur uuur1 b2 （ 2）设直线 BF 交椭圆于 P 、 Q 两点，证明 OP OQ2 证明：（）由题设条件知，RtVOFA RtVOBF 故 OFOB ，即 cb ；OAOFac因此， c2222

24、22ab.在 RtVOFA 中 ，ab ；在 RtVOFA ， FA OAOFac b.因此， cFA OA2OF 2a2c2b .于是，直线OA的斜率 koab . 设直线 BF 的斜率为 k ，则 k1c . 这时，直线BF与 y 轴的交ckoab点为 M (0, a) ；( ) 由（），得直线 BF得方程为 y kxa,且 k 2c2abab2b2b由已知，设P(x1, y1 ) 、 Q (x2 , y2 ) ，则它们的坐标建立方程组x2y21 ；由方程组消去y ，并整理得 (b2a2k 2 ) x22a3 kxa4a2b2a2b20ykxa由 式 、 和 ； x1 x2a4a2 b2a2 (a2b2 )a3