实数,无理数常见形式

1、 中国领先的个性化教育品牌精锐教育学科教师辅导讲义学员编号：xxxxx 年 级：xx 课 时 数：xx学员姓名：xxxx 辅导科目：数学 学科教师：xx 授课类型C(数的开方)C （实数及其运算）T （实数应用）授课日期及时段Xxxx年x月x日xxxx-xxxx教学内容 一、专题讲解平方根定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，或叫a的二次方根。特点：一个正数有正负两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根。表示方法：一个整数a的正的平方根表示为“”或“”，其中a叫做被开方数;“”中的2叫做根的指数（一般可省略不写）；“”或“”读作“二次根号a”或“根号

2、a”；正数a的负的平方根表示为“”或“”；正数a的平方根为 ± ，读作“正负根号a”我们把a的正的平方根称为a的算术平方根。开平方运算定义：求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方，其中数a叫做被开方数；平方运算与开平方运算是互为逆运算的关系平方根（或算术平方根）的几个公式：式子±有意义的条件为a0； 表示a的算术平方根，是非负数，即0； =a（a0），=a（a0）；=a，a0或；a，a0例题：1、使式子有意义的x的取值范围是 。2. 使等式成立的x 的值（ ） A、是正数 B、是负数 C、是0 D、不能确定3.的平方根是（）AB CD非负性：A非负数：若a0，则称a为非负数

3、，初中阶段有三种非负数：， B若几个非负数的和为0 ，在这几个非负数均为0.例题：1. 已知 。2. 已知实数 。3.ABC的三边长为a、b、c，a和b满足，求c的取值范围。立方根定义：如果一个数x的立方等于a，即=a，那么就称这个数x为a的立方根或三次方根。表示法：a的立方根表示为，其中a为被开方数，“”中的3为根指数（根指数3不能省略）；读作“三次根号a”或“a的立方根”。性质：任意数都有立方根，任意一个数都有唯一的立方根。正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0的立方根仍为0.有关立方根的补充说明和公式1）在中，被开方数a可为正数，负数，0；且的正负与a一致2）= ； 3）=a4）

4、开立方运算：求一个数a的立方根的运算叫做开立方运算。（开立方运算与立方运算是互为逆运算的关系）练习：1、已知实数a满足 。2. 立方根等于的数是（）ABCD3. 设开平方与开立方的联系与区别在遇到开方开不尽的情况时，如无特殊说明，计算结果一律保留四位有效数字。在实数运算中，被开方数如果是带分数，要先化为假分数，然后再进行计算二、专题达标一、细心填一填（每空2分，共32分）1、125的立方根是_ ，9的算术平方根是 。的平方根是 ；2、如果，那么x_；如果，那么_3、要使有意义，则x可以取的最小整数是 .4、平方根等于本身的数是_ ； 立方根等于本身的数是_5、如果，那么 若，则x 6、若是实数

5、，则7、的立方根是 。计算： 8、若和互为相反数，求的为 9式子中的的取值范围是 15+2的相反数是_；绝对值是_。10、已知正数a和b，有下列命题：（1）若，则（2）若则（3）若则，根据以上的规律猜想：若，则_16若13，化简+=_。20已知实数,在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 _0acb二、精心选一选（每小题3分，共21分）1、的算术平方根是（ ） A、9 B、3 C、 D、32、下列叙述正确的是（ ） A、0.4的平方根是 B、的立方根不存在 C、是36的算术平方根 D、27的立方根是33、下列等式中，错误的是（ ） A、 B、 C、 D、4、下列各数中，无理数的个数有（ ） A、

6、1 B、2 C、3 D、45、化简的结果是（ ） A、 B、 C、2 D、8下列说法正确的个数是（ ） 两个无理数的和一定是无理数 两个无理数的和一定是有理数 两个无理数的积一定是无理数 两个无理数的积一定是有理数A0个 B1个 C2个 D3个三、认真答一答（共47分）2、求下列各式中的x的值：（8分） 3、已知满足，求的平方根. （6分）4、若，求yx的值。（5分）5、代数式的最大值为 。6、，求a+b的值四、实践与探究:（12分） 先计算下列各式：=_，=_，=_，=_，=_，=_.根据计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来.利用你总结的规律，计算 若

7、，则 =_ 一、专题精讲 实数可以分为有理数和无理数两类无理数：无限不循环小数叫做无理数。三种常见的无理数：1）所有开不尽的方根都是无理数，2）一些含的数是无理数，3）无限不循环的小数例题：1、下面5个数：，其中是有理数的有（ ）A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 2. 在下列说法中，错误的是（）A无限小数都是无理数B实数与数轴上的点一一对应C无理数都是无限小数D带有根号的数不都是无理数实数a的相反数为-a；0的相反数是其本身，若a与b互为相反数，则a+b=0实数a的倒数为（a0）若a与b互为倒数，则有ab=1实数a的绝对值表示为，正实数的绝对值等于它本身，0的绝对值为0，负实数的绝对值是

8、它的相反数，即=a，a0；-a，a0例题：1.的倒数是；的绝对值是；的相反数是实数与数轴上的点一一对应，数轴上每一个点都表示一个实数；反过来，每一个实数都可以用数轴上的一个点表示。在数轴上，右边对应的实数比左边点对应的实数大；正实数大于一切负实数，0大于一切负数，正实数大于0。实数的运算顺序和有理数一样练习：1.若（ ）A、0 B、1 C、-1 D、2实数的大小比较方法：1）数轴比较法：2）代数比较法；3）差值比较法；4）商值比较法；5）倒数比较法：若，a0，b0，则a b6）平方比较法：若a0，b0， 则ab7）开方比较法：若a0，b0， 则ab8）估算法。5.实数中的非负数即性质（1）任意

9、实数a的绝对值是非负数，即 0；任意实数a的平方是非负数，即0.（0，n为正整数）；任意非负数a的n次算术平方根是非负数，即0（a0），常用的是0（2）性质：若+ =0，则a=0，b=0，反之亦然，若+=0，则a=0，b=0，反之亦然若+=0则 a=0，b=0，非负数有最小值，最小值为0，有限个非负数之和仍然是非负数。例题：1若，则的值等于（）ABCD2. 已知m，n是有理数，且，求m，n的值。二、专题过关（一）填空题1、的算术平方根是_。2、 _。3、2的平方根是_。4、实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示化简_。5、若m、n互为相反数，则_。6、若0，则m_，n_。 7、若 ，则a_0。

10、8、的相反数是_。9、 _，_。10、绝对值小于的整数有_。（二）选择题11、代数式，,中一定是正数的有（ ）。A、1个 B、2个 C、3个 D、4个12、若有意义，则x的取值范围是（ ）。A、x B、x C、x D、x13、若x，y都是实数，且，则xy的值（ ）。A、0 B、 C、2 D、不能确定14、下列说法中，错误的是（ ）。A、4的算术平方根是2 B、的平方根是±3C、8的立方根是±2 、立方根等于的实数是15、64的立方根是（ ）。A、±4 B、4 C、4 D、1616、已知，则的值是（ ）。A、 B、 C、 D、17、计算的值是（ ）。A、1 B、&#

11、177;1 C、2 D、718、有一个数的相反数、平方根、立方根都等于它本身，这个数是（ ）。A、1 B、1 C、0 D、±119、下列命题中，正确的是（ ）。A、无理数包括正无理数、0和负无理数 B、无理数不是实数C、无理数是带根号的数 D、无理数是无限不循环小数20、下列命题中，正确的是（ ）。A、两个无理数的和是无理数 B、两个无理数的积是实数C、无理数是开方开不尽的数 D、两个有理数的商有可能是无理数（三）、解答题：21、求的平方根和算术平方根。 22、计算的值。23、解方程x80。 24、若，求的值。25、计算26、若，求3xy的值。四、综合应用：（本题共10小题，每小题2

12、分，共20分）27、若a、b、c满足，求代数式的值。 28、已知，求7（xy）20的立方根。 1、实数应用题例7.(1)检修小组从A地出发，在东西路上检修线路.如果规定向东行驶为正,向西行驶为负,一天中行驶记录如下(单位:km): -4,+7,-9,+8,+6,-4,-3(1)求收工时距A地多远? (2)若每千米耗油0.3L,问从出发到收工共耗油多少升? (2)小丽想用一块面积为400cm2正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积位300 cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，不知能否裁出来，正在发愁.小明见了说“别发愁,一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片”,你同意小明的说法吗?小

13、丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗?(3)已知某商品价格逐年下降,到第四年销售价已经变成原来的80%.假设每年下降的百分比是一样的,试求该商品每年下降的百分比(已知,结果精确到0.1%).2.技巧性实数运算（1） （2） 例8计算：（1）（2）（3）练习：（1） （2）3.实数规律,探索性问题例9.(1)观察下列数2,5,10,26,37,50,根据规律其中 . (2)观察下面三行数 -3,9,-27,81,-243,729, 0,12,-24,84,-240,732, -1,3,-9,27,-81,243, (a)第行数按什么规律排列?(b)第行数与第行数分别有什么关系?(c)取每行数的第1

14、0个数,计算这三个数的和.(2)已知:若(都是正整数),则的最小值是 . (3)由猜想= . (4)观察下列式子:,请根据上述规律计算:2002+2004+2006+2008+2100.（5）观察下列各式：请你将猜想到的规律用含自然数的代数式表示出来是 课堂检测1、小明买了一个体积为4100的球形礼物，商店里有15×15×15、20×20×20、40×40×40的三种规格的包装盒，盒越大，价格越高。小明选择哪种包装盒比较合适（）？2、设实数的整数部分为a，小数部分为b，求的值。3、已知甲数是的平方根，乙数是的平方根，求甲、乙两个数的积

15、。4、火星有两个非常小的卫星，较大的一颗直径为27km，较小的一颗的体积是较大卫星的，求较小卫星的直径。5、求与这两个数的小数部分的差（结果精确到0.01）6如图，在数轴上1，的对应点A、B， A是线段BC的中点，则点C所表示的数是 ( )A B C D7细心观察图表，认真分析各式，然后解答问题。OS2S4S3S5A2A1A3A4A5A611111 （）2+1=2， S1= ； （）2+1=3， S2= ；（）2+1=4， S3=； （1） 请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2） 推算出OA10的长；（3） 推算出S12+ S2 2+ S32+S102 的值。8.已知的平方根是

16、,4是的算术平方根,求的值.9.已知，求的平方根.10.已知是的整数部分, 是的小数部分, 求的值.11、已知实数 a、b 在数轴上的位置如图所示：ba0试化简：ab12、若(2x3)2和互为相反数，求 xy 的值。13、如果A的平方根是2x1与3x4，求A的值？14、已知与互为相反数，求的值。15、已知是的算术平方根，是的立方根的平方根。16、已知x、y都是实数，且，求的平方根17、如果一个数的平方根是和，求这个数。18、已知a、b满足，解关于的方程。19、一个正方形的表面积为2400，求这个正方形的体积。20（1） （2） （3）21、化简 22、已知a、b满足，解关于的方程。课后作业一、

17、选择题：1.在实数范围内，下列判断正确的是（ ）A.若 B.若C.若 D.若2.以下四个命题:若是无理数，则是实数；若是有理数，则是无理数；若是整数，则是有理数；若是自然数，则是实数其中，真命题的是（） 3.当，下列关系式成立的是（） .， .， .， .，4.已知：0<x<1,则的大小关系是（ ） A.B. C.D.5.如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ） A. B.1.4 C. D.6.如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（ ）A1 B1

18、 C2 D27.如果一个自然数的算术平方根是n，则下一个自然数的算术平方根是（ ） A.n+1 B.+1 C. D.8.若的小数部分是a，的小数部分是b，则a+b的值为（ ）A.0 B.1 C.-1 D.2二、填空题：9.实数a、b、c在数轴上对应的位置如下：则= 10.的平方根是 11.若12.若和都是5的立方根，则=，=13.估计与0.5大小关系是 0.5（填“”“=”或“）。14.比较大小: ; ; 2.35.(填“>”或“<”)15.使式子有意义的x的取值范围是 16.大于，小于的整数有_个。17.点在数轴上和原点相距个单位，点在数轴上和原点相距个单位，则，两点之间的距离是_18.点A在x轴上，且到y轴的距离为，B与A点关于点（1，0）对称，则B点坐标为（ ， ）19.若，其中、为整数，则 20.如果是的整数部分，是的小数部分， =_21.若有意义，则a能取的最小整数值为 22.是个整数,那么最小正整数a是_23.已知x、y是有理数，且x、y满足，则x+y= 24.我们知道，黄老师又用计算器求得：、， 则计算等于 25.请你观察、思考