参数估计-山西大同大学

1、第七章参数估计1设总体X服从区间1,，上的均匀分布，(XX2,Xn)为其样本，求总体参数二2的矩估计量.解 由总体X服从区间1,上的均匀分布，可得总体X的数学期望2E(X)=2 二4由矩估计法，令2 - 7144=X解得v -4X -2为参数v的矩估计量.2.设总体X的分布密度为* ,0 . x : 1p(x)二i 0，其它总体X的一组观测值为0.63 , 0.78 , 0.92 , 0.57 , 0.74 , 0.86 求总体参数二的矩估计值.解由X的数学期望计算公式，有E(X) =xxdx =xdx 二L0L0日 +1按矩估计法建立方程解得二的矩估计为1 -X计算样本均值的观察值，有x h

2、0.63 0.78 0.920.57 0.74 0.86 /6 =0.75所以1-0.753.设总体X的分布密度为P(X)才日其它求总体参数v的矩估计量1解根据总体X的密度函数易知，总体 X服从参数为-的指数分布，因此有 e按矩估计法建立方程，即得亦即参数-的矩估计量为4.设总体XU 1Xn)为其样本，求总体参数的矩估计量.B2(Xin yX)2按矩估计法可建立方程组E(X)D(X)二12B2、二2的矩估计为5.设总体 X B ( N , p), (XifA=1=X - $3B2，Xn)为其样本，求未知参数N、P的矩估计量.解令 XXi , B2 ：2(Xi -X)按矩估计法可建立方程组E(X

3、)二Np=XD(X) = Np(1 p)二 B2解得N、p的矩估计量N? = X, ?亠皂?X6.设 总机在某段时间内接到呼唤的次数服从泊松分布如下：P().现收集了 42个数据接到呼唤的次数012345出现的频数71012832试求未知参数的极大似然估计量，并根据数据求出的估计值.解 设X表示总体，Xi,X2,Xn为来自总体X的样本，Xi,X2,，Xn为样本观测值似然函数为L(X1 , x2 , xn ； ' ) = P X1 = X, X2 二 x2, , XnXnn=PXi 二 Xii £ni 1.取对数，得nLn(X, X,nX'； =)、( iX ) I勺i

4、lXiGX ! n !x - ！n)i#由似然方程d ln L(')d 解得'的极大似然估计值为对应极大似然估计量为代入题中数值，得-0 7 1 10 2 12 3 8 4 3 5 242那么有x=1.9 =x=i.97.设X1 , X2，Xn是来自总体X的一个样本，试求未知参数 -的极大似然估计量，设总体X的分布密度分别为:(1)p(x其它(2)P(x其中a > 0为常数； 其它(3)P(x其它解1 设对应的样本观察值为x1,x2，, xn，建立似然函数为1L二 p(N；巧p(XnL) =-；eu对数似然函数为1 nIn L二-n In xi日im求导数得到似然方程沁古

5、=0解方程得故二的极大似然估计量为(2)建立似然函数为L(日)=p(Xi；%X p(XnP)=日妝气捲咲2Xn严ePeg")对数似然函数为In L(v) =nlnv nln .二 叫,-1)ln 为：:xn - v x -xn：求导数得到似然方程d In L(RXi：xj =0XJ解方程得nXi：Xn：故二的极大似然估计量为(3)建立似然函数为nX/xn：L(旳-J x"' 2 xn 对数似然函数为In L(R 二 nln r - ()1)ln x<: xn求导数得到似然方程d In Ld，n ln XiXn产0解方程得故二的极大似然估计量为v - -n/ln

6、 XXn22&设Xi , X2，Xn是总体XN ( 0 ,二)的一个样本，求方差二的极大似然估计.解 设对应的样本观测值为 为山2,，人建立似然函数为L；_二 2 -exp02；- iXi2对数似然函数为2In L；J =12；2nXi2i 4-l no22 n2In2 二2求导数得到似然方程d In L二d；22；4 i4解方程得1 n2 I 一b =-Zn i弓故匚2的极大似然估计量为2 1 n二丄 Xi2n i吕习题7.25111设X1,X2,X3是来自总体X的样本， 曲X1X2X3 ,1243X1X2X3X118X2X3(1)叫、J2、駡中哪个是总体均值 丿的无偏估计量?(2)

7、在所给的总体均值的无偏估计量中哪个更有效?解(1)因为X1 - +1X5- -.丄4+5- -14x2x339=1 1 . 4 .i =§ .y9399A1EE(6X1D-DX31 - 3+2X1 - 4+XI5- 2色丫+2 +2 丿1214丿3丿丿=0.3472；2=D1Xi674X2X318一9 JIG击丿飞丿丿2 2a = 0.3765b741 7+ X2 + X3) =( +1896 18A AA故叫与吗为的无偏估计量，但不是的无偏估计量可见DODLJ为更有效2.设总体XU，二，证明未知参数的矩估计量是无偏估计量.解由题意，EX =三一22" = 2EX -2，故

8、納矩估计量为八 2X -2因为r 2E E 2X -2 =2E X -2 =22 八2所以二为二的无偏估计.3.设总体X的均值EX =二，方差 二2未知，Xi , X2，Xn为其样本,证明：2 1 n匚=丄7 Xj2n i d是匚2的无偏估计.证因为E V X 2 " E Xi2-2XF 胪n yn yE Xi2 -2 八 EXi n2 n I' i Ji 4(DXj EXi 2) -) n2 2 n2n i1 2 2 2 2(n； n L ) - n.L - ；n所以估计量是无偏的。4.及C2 ,设K及ti2是二的两个独立的无偏估计量，且假定 D 比=2Dh2，求常数C14

9、44使V -C711 Cp2为二的无偏估计，并使得 DR到达最小.假设丁为的无偏估计，那么要yEG) c2E(二2)二心 c2)v -即要 C1 C2 =1，得到 C| =1因为 哮及6；是日 的两个独立的无偏估计量，且D 闵=2D曲2,那么2222D(q 门 q 二2)D(x) c2 D(2)=2° D(2) c2 Dp2)22八= (2C1C2)D(d2)=2(1_q 行C22d22 八121*当c2 时，Dr最小，此时&.即当c2， C|时，二为v的无偏估计3 333且方差最小.习题7.31通常某个群体的考试成绩均近似地服从正态分布,现抽样得到某高校 16名学生某次英语

10、四级考试成绩如下:76 ， 69 ， 72 ， 80 ， 71 ， 8875，63，82，91 ，54，77，68，84，95，49，为0.95的置信区间;(2)假设标准差未知，该校考试平均成绩的置信度为0.95的置信区间为何?(1)计算得到x= 74.625，1 16 2“屆£(X-X)= 12.5266由1 -=0.95，查标准正态分布表可得那么的0.95的置信区间为丄)=(74.625 -1.965 ,.n.16即为(67.28,81.98)。(2)总体标准差未知，查t分布表可得t (15) =t (15) = 2.1314-/20.025所以J的0.95的置信区间为s (Xf

11、(15) n，12.5266 = (74.625 -2.13144即为(67.96,81.3)。2某厂生产一批金属材料，其抗弯强度(单位:料中随机抽取11个试件，测得它们的抗弯强度为：42.5 , 42.7 , 43.0 , 42.3 , 43.4(1) 求平均抗弯强度(2) 求抗弯强度标准差sX 15)/12.526674.625 2.1314)4kg)服从正态分布现从这批金属材44.5 , 44.0 ,43.8 , 44.1 , 43.9 , 43.7二的置信度为0.95的置信区间；匚的置信度为0.90的置信区间.11/Xi-x10 id2:0.7216解(1)计算样本均值与样本均方差，得

12、x : 43.4455, s =由于总体二未知，由1 - 0.95 ,查t分布表可得t (10) =t (10) = 2.2281 -/ 20.025所以的0.95的置信区间为ss(X710)n，x "10).n)n yn 4 cn yn ac-(43.4455 -2.2281,43.44552.2281)<11V11即为(42.69,49.3)。222总体未知，s =0.7216 =0.5207,查分布表得0.95 (1° ) = 3.9402：. 10 = 20 10 "8.307,2所以二的0.90置信区间为(n 一1)s2(n- 1)s2、 2 )

13、2 n "1 2/10 0.5207=(18.30710 0.5207)3.940)即为0.2844,1.3216) o3 设总体X N (%其中 %为数，X1,X2，,Xn)为其样本,试导出未知参数-2的置信度为解利用总体X的样本X1,X2 ,Xn,构造枢轴量n' (Xi-%)2G亠 -CT由定理知G 2(n).由题意P 1 ：2( n)G：2：2( n) =1-：2尹=1->n工(Xi。)21 ：2(n厂：2、(Xi 一)i 41：2( n)112W 一2i A从而二2的1.置信区间为n'、(Xi -)2i 4n、Xi -2i丄一2(n)2*4 .设总体XN

14、叫,4，总体Y，分别独立地从这两个总体中抽取样本，样本容量分别为16和24,样本均值分别为16.9和15.3.求这两个总体均值差叫一 J2 2匚1匚2)，所以m nII X -丫 -(1 -2)U =N(0,1)的置信水平为0.95的置信区间.解 当二12, J2均为时，因为 X - 丫N 叫一t,使得对给定的置信水平1 - ，查标准正态分布表可得U -.，2P_uX-Y W)222r 1二久13=1-：m n1 一2 ： X -Y uPX -Y -u-.22 2二 1 - 22 :m n由此得叫-的置信水平为1 的置信区间为1二2以一丫二 mn2，X-Y U2-1c2J 2 )m n这里=4

15、卢22 =6为，置信水平1- 0.95二 二=0.05 ,由公式有，-=2的置信水平为1的置信区间为2、二 2n,X-Y u2 匚2n公式中，m =16, n = 24 , x = 16.9, y =15.3，且查表得- '0.021.96,2那么所求为J1615.3 停鳥；(0.214, 2.986)*5 某厂生产甲、乙两种型号的仪表. 为比拟其无故障运行时间 单位：小时的长短，检验部门抽取了甲种仪表 25只，测得其平均无故障运行时间为 x = 2000，样本标准差S1 =80 ;抽取了乙种仪表 20只，测得其平均无故障运行时间为y = 1900，样本标准差S2 =100 假设两种仪

16、表的无故障运行时间均服从正态分布且相互独立，求:1两总体均值之差2的置信度为0.99的置信区间，假设两种仪表的无故障运行时间的方差分别是3844 和 5625 ;2两总体方差之比的置信度为0.90的置信区间.解1经计算可得.2 二：38445625x-y =2000-1900 =100, x y20.8569, nxny V 2520由1 - 0.99，得=0.01 .查标准正态分布表得ua U0.005 = 2.572那么由公式知两总体均值之差J1 2置信区间为= 100-2.57 20.869, 100 2.57 20.8569即为(46.4,153.6).2由1 - 0.90，得? -0

17、.1.查F分布表得F - 24,19 = F0.05 24,19 = 2.112F24,19 十0.95 24,19 飞05 佝24 五=0.4926那么由公式知两总体方差之比2二 12二 2的置信度为0.90的置信区间为2S|SF - m -1, n -1222s，Z 802 12 ,10022.118022100 0.4926丿即为 0.3033,1.2992 .综合练习七、填空题1 设总体X B(4P),X1 , X2，Xn为其样本，那么未知参数P的矩估计量为P =2 设总体U0,X1 , X2，Xn为其样本，那么未知参数二的矩估计量为r -3 设总体e 九，X1 , X2，Xn为其样本

18、观测值，那么参数人的极大似然估X有方差 DX =：；2, B2为2阶样本中心矩，那么n -1二2 ) 5.假设随机区间耳,是未知参数二的置信度为1 - ：的置信区间，那么说明对于任意给定的 0(0 votv 1),有 p(曇 v8v 鶴)=(1 - «、选择题1 设总体2X 有方差 DX =二,(X1 , X2 ,- , Xn为来自总体X的样本，令-X)2那么 E( T)=(d) 2(a)二；(b)2 a；nn(c)齐(d)2 设总体X的期望为E(X , (X1 ,X2)为来自总体的样本，那么以下统计量中(d)不是未知参数I的无偏估计.(a)X1X2(b)X!1 X2 ;4(c)X2

19、(d)X13.设总体XN",；2其中 J均未知，Xi , X2，Xn为其样本，那么I的置信度为1 -的置信区间为(c)(a) sXt a (n)，< n 2 sX + 厂 t a(n)Jn 2/(b)t：.(n T)，nto(nT)； J(c)SX -t± (n - 0n "2Xn-1)Un 3 丿(d)X +n T) n "2"某总体的未知参数二的置信度为1 :的置信区间为 ，"2 ，那么(c) (a)讥(ti ,；(b)r落入随机区间k , 1的概率为1 ：；(c)随机区间* , R包含二的概率为(d)对于二、交的任意一组观

20、测值才期均成立二 衬,-225 .设总体X服从正态分布 N ，二2二,假设使未知参数i的置信度为1的置信区间的长度不超过k，那么样本容量n应不小于(c).c2u(a)| 2；k(b).224 匚 u.；(c)2 2加ua2；(d)三、解答题1.设XX?,，XJ为来自总体X的样本，X的密度函数为(2(八 x),p(x门)二丨0,其它其中二0是未知参数，求 v的矩估计量.E(XH 二Xa6p(x;旳dx 二 o x0-x)dx =3按矩估计法建立方程可解得d的矩估计量为-3X2 .设总体X的密度函数为0 ： x :1p(xj)二i o,其它1 Xi,X2，,Xn为来自总体X的样本，求总体参数 二的

21、矩估计量；2假设总体X的组观测值为0.6 , 0.8 , 0.9 , 0.5 , 0.7 , 0.6, 0.8, 0.7求总体参数71的矩估计值.解(1)由X的数学期望计算公式，有E(X)二Ixxdxdx廿按矩估计法建立方程解得二的矩估计为Q =1 -X(2 )计算样本均值的观测值，有x 二 0.6 0.8 0.9 0.5 0.70.6 0.8 0.7 /8 =0.7所以33.设总体X的分布密度为P(x ；迪 +1)xe其它其中r > 1是未知参数.X1 ,X2，Xn是总体X的样本，求参数二的矩估计和极大似然估计.解(1) X的数学期望为E(X)二1)x"dx亠x=22按矩估计

22、法建立方程1 E(X尸寸X解得二的矩估计为1 _ 2X 二 11 -XL(R =(二 1)n(X!X2Xn)二对数似然函数为nIn L(旳=nln(二 1) 八 In xii=4求导数得到似然方程d In L(r)dr解方程得' In xii 4故二的极大似然估计量为_n' In Xji £和n24设总体X NC'f2)，总体Y NC,；")，从两个总体中分别抽取容量为的两个独立样本，其样本方差分别为s2和口 S,2.(1)证明：对于任意a和b (a 1)，Z二aS2 bS22都是匚2的无偏估计量;*(2)试确定常数a和b (a巾=1)，使D(Z)到

23、达最小.解(1)因S2和S22分别是来自总体X与Y的样本方差，那么有e(s2) = d(x)"E(S22) =D(Y) L从而对于任意a和b (a b =1)，有E(ZE(aS12 bS22aE(S12) bE(S>2(a b)；2 =：；22 2 2故Z = aS bS>是二 的无偏估计量.由a b =1得b-a，那么有D(Z)二 D(aS2 bS22)=a2D(S2) (1 a)2D(S22)又因为(n 1)厂22(n222/2 3 ' (n1 -)?2 5 ' (n2 -)CTCT所以D(nS12 =2(m -1) , D (n2S222(n2-1)

24、acr于是D(Z) uDOSj b2) =a2D(S2) (1a)2D(S22)44a2 二D(n -1)S2 (1 a)2 二 D(n2 -1)S2二 a2 D 2 3 (1-a)2 D 2S2 (口 -1)二(比-1)二2 c42c4二a22(51) (1 - a)22 2仇一1)(厲-1)(n2-1)2 2二4“ 、2 2；4二 a(1a)厲 -1n 2 -14 a2(1-a)2=2；( ) 1n 2 _1解得当a二ni " 时,n 1 +n2 -2D(Z)最小，此时n? 1nin 2-25投资的回收利润率常用来衡量投资的风险.随机地调查 26个样本的年回收利润率(%)，得样本

25、标准差S=15(%).设回收利润率服从正态分布，求它的均方差的置信度为95%的置信区间.解 设二是总体的均方差，由§ 6. 3中结论知，；的置信度为1 的置信区间为巴n- 1)了也-1)S_此题中，s=15 , > - 0.05, n =26,查表可得尤0.0252(25) =40.646 , %.975(25) =13.12于是得匚的置信度为95%的置信区间为(11.76, 20.71)现抽样得到某高校 16名学生某6 通常某个群体的考试成绩均近似地服从正态分布,次英语四级考试成绩如下:75 , 63 , 82 , 91 , 54 , 77 , 68 , 84 , 95 ,

26、49 , 76 , 69 , 72 , 80 , 71 , 88(1)设该校英语四级考试成绩的标准差c = 15，试求考试平均成绩 J的置信度为0.95的置信区间;(2)假设标准差未知，该校考试平均成绩J的置信度为0.95的置信区间为何?解(1)计算得到 x=74.625，x =12.5266V15由1 - 0.95，查标准正态分布表可得Ua = Uo.025 = 1.962那么的0.95的置信区间为(Xi:工，"2n= (74.625 -1.9615,1674.625 1.9615,16即为(67.28,81.98)。(2)总体标准差未知，查 t分布表可得5(15) MS (15) = 2.1314所以J的0.95的置信区间为scr，sx.(15)：n)= (74.625 -2.131412.5266474.625 2.131412.52664即为(67.96,81.3).7 设总体XN(%，二2)(其中为数)，(X1 , X2，Xn)为其样本,2试导出未知参数的置信度为1 、=的置