二次函数中平行四边形通用解决方法

1、v1.0可编辑可修改 探究 (1)在图1中，已知线段ABCD其中点分别为E,F。 若A(-1,0),B(3,0),则E点坐标为; 若C(-2,2),D(-2,-1),则F点坐标为; (2)在图2中，已知线段AB的端点坐标为A(a,b),B(c,d),求出图中AB中点D的坐标(用含a,b,c,d的代数式表示)，并给出求解过程；归纳无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置,当其端点坐标为A(a,b),B(c,d),AB中点为D(x,y)时，x=,y=(不必证明)运用3在图2中，一次函数y=x-2与反比例函数y的图象交点为A,Bo求出交点A,B的坐标；若以A,O,B,P为顶点的四边形是平行四边形，请利

2、用上面的结论求出顶点P的坐标。11v1.0可编辑可修改23图i22平行四边形顶点坐标公式口ABCD勺顶点坐标分别为 A（xa, yA）、B（ xb, yB）、 yA+yc=y+yo.证明： 如图2,连接AC BD,相交于点E.点E为AC的中点,图2以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高.对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决.由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解.为此，笔者另辟蹊径，借助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这

3、一类题.1两个结论，解题的切入点数学课标，现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式，也没有平行四边形的顶点坐标公式，我们可帮助学生来探究，这可作为解题的切入点。线段中点坐标公式平面直角坐标系中，点A坐标为（xi,yi）,点B坐标为（X2,y2）,则线段AB的中点坐标为（xiX2yiy2）22证明：如图1,设AB中点P的坐标为（xp,yp）.由xp-xi=x2-xp,彳导xp=xx2,同理2yp=y2,所以线段AB的中点坐标为（2,卫普）2Qxc,yc）、D（xd,yo）,贝U：xa+xc=xb+xd；v1.0可编辑可修改，E点坐标为(xAxC,yAyC).22又点E为BD的中点，.E点坐标为(

4、生W,®D).22Xa+XC=Xb+Xd；yA+yC=yB+yD.即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等.2一个基本事实，解题的预备知识如图3,已知不在同一直线上的三点ABC,在平面内另找一个点D,使以A、RCD为顶点的四边形是平行四边形.答案有三种：以AB为对角线的DACBD以AC为对角线的ABCD以BC为对角线的DABDC.3两类存在性问题解题策略例析与反思三个定点、一个动点，探究平行四边形的存在性问题例1已知抛物线y=x2-2x+a(a<0)与y轴相交于点A,顶点为M直线y=-x-a分别与2x轴、y轴相交于BC两点，并且与直线AMf交于点N(1)填空：试用含

5、a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M)，N():(2)如图4,将NAOy轴翻折，若点N的对应点N'恰好落在抛物线上，AN与x轴交于点D,连接CQ求a的值和四边形ADCN勺面积；(3)在抛物线y=x2-2x+a(av0)上是否存在一点P,使彳#以P、A、CN为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.解：(1)M1,a-1),N(-a,-a);(2)a=-§；S四边形ADC=189；3341633v1.0可编辑可修改由已知条件易得A(0,a)、C(0,-a)、N(fa,-1a).设P(mm2-2m+a).33当以AC为对角线时，由平行四边形顶点坐标

6、公式(解题时熟练推导出)，得:0 0 a mm 3212,15a a -am 2m a a 38当以AN为对角线时，得c4c0 a0 m31 2a -a a m 2m a35m 2 (不合题意，舍去).15a 一8当以CN为对角线时，得40 a 0 m3一 1 一一 2a -a a m 2m a31238在抛物线上存在点R(9，-5)和 P2(- 1,7 ),使得以 P、A、C282 8N为顶点的四边形是平行四边形反思：已知三个定点的坐标， 可设出抛物线上第四个顶点的坐标,运用平行四边形顶点坐标公式列方程(组)求解.这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚,往往要以这三条线段分别

7、为对角线分类，分三种情况讨论两个定点、两个动点，探究平行四边形存在性问题例2如图5,在平面直角坐标系中，抛物线A(-1,0), B(3,0), C(0,(1)求该抛物线的表达式；(2)点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q P、A B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P的坐标.图5v1.0可编辑可修改解：(1)易求抛物线的表达式为y=1x2-x1；33(2)由题意知点Q在y轴上，设点Q坐标为(0,t);点P在抛物线上，设点P坐标为(m1m22m1).33尽管点Q在y轴上，也是个动点，但可理解成一个定点，这样就转化为三定一动了.当以AQ为对角线时，由四个顶点的横坐标公式得：-1+0=

8、3+mm=-4,Pi(-4,7);当以BQ为对角线时，得：-l+m：3+0,m=4,P2(4,E)；3当以AB为对角线时，得：-1+3=m+),m=2,F3(2,-1).综上，满足条件的点P为P1(-4,7)、P2(4,另)、P3(2,-1).3反思：这种题型往往特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴(y轴)或对称轴或某一定直线上.设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0,则用平行四边形顶点纵坐标公式；若在y轴上，横坐标为0,则用平行四边形顶点横坐标公式.该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式.本例中点Q的纵坐标t没有用上，可以不设.另外，把在定直线上的动点看成一个定点，

9、这样就转化为三定一动了，分别以三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论.例3如图6,在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m,4AMB勺面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能使以点P、QRO为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.解：(1)易求抛物线的解析式为y=1x2+x-4；2(2)s=-m2-4m-4<n<0)；s最大=4(过程略)；(3)尽管

10、是直接写出点Q的坐标，这里也写出过程.由题意知O(0,0)、B(0,-4).由于点Q是直线y=-x上的动点，设Qs,-s),把Q看做定点；设P(mn2+m4).255v1.0可编辑可修改当以OQ为对角线时,0s0m1 2,0s4mm4图62s=-22,y5.Q(-2+275,2-275),Q(-2-2j5,2+2后;当以BQ为对角线时，0m0s1 20mm44s2.si=-4,s2=0(舍).，Q(-4,4);当以OB为对角线时，00sm1204smm421- si=4,s2=0(舍).Q(4,-4).综上，满足条件的点QQ(-2+2痣,2-2斯)、Q(-2-2遥,2+2石)、Q(-4,4)、

11、Q(4,-4).反思：该题中的点Q是直线y=-x上的动点，设动点Q的坐标为（s,-s）,把Q看做定点,就可根据平行四边形顶点坐标公式列方程组了4问题总结这种题型，关键是合理有序分类：无论是三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为定点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程（组）.这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广.其本质是用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、数形结合的思想66v1.0可编辑可修改如图，在平面直角坐标系中，

12、已知RtAOB的两条直角边OAOB分别在y轴和x轴上，并且OAOB的长分别是方程x27x+12=0的两根(OA<0B),动点P从点A开始在线段AO上以每秒l个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒.求A、B两点的坐标。(2)求当t为何值时，APQ与4AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标.(3)当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M使以AP、。M为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由.77v1.0可编辑可修改如图，抛物线经过A(-1,0),B(5,0),C(0,一旦)三

13、点.2(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小，求点P的坐标;N四点构成的四边(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M形为平行四边形若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由.88v1.0可编辑可修改如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，抛物线G：y=-Lx2+bx+c过A、B两点，与x轴另一交点为C.4(1)求抛物线解析式及C点坐标.(2)向右平移抛物线Ci,使平移后的抛物线C2恰好经过ABC的外心，抛物线Ci、G相交于点D,求四边形AOCD勺面积.(3)已知抛物线G的顶点为M,设P为抛物线Ci对称轴上一点，Q为抛物线C上一点，是否存在以点MQP、B为顶点的四边形为平行四边形若存在，直接写出P点坐标；不存在，请说明理由.99v1.0可编辑可修改如图，在平面直角坐标系中，直线y=