专题03+导数及其应用

1、 专题03 导数及其应用 易错点1 不能正确识别图象与平均变化率的关系 A，B两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量与时间t(天)的关系如图所示，则一定有A两机关单位节能效果一样好BA机关单位比B机关单位节能效果好CA机关单位的用电量在上的平均变化率比B机关单位的用电量在上的平均变化率大DA机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大【错解】选C.因为在(0，t0)上，的图象比的图象陡峭，所以在(0，t0)上用电量的平均变化率，A机关单位比B机关单位大【错因分析】识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢等要弄清【试题解析】由题可知，A机关

2、单位所对应的图象比较陡峭，B机关单位所对应的图象比较平缓，且用电量在上的平均变化率都小于0，故一定有A机关单位比B机关单位节能效果好故选B.【参考答案】B1平均变化率函数从到的平均变化率为，若，则平均变化率可表示为.2瞬时速度一般地，如果物体的运动规律可以用函数来描述，那么，物体在时刻的瞬时速度v就是物体在到这段时间内，当无限趋近于0时，无限趋近的常数.1巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力想想看，为什么？你能用数

3、学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？【答案】见解析.【解析】山路从A到B高度的平均变化率为hAB，山路从B到C高度的平均变化率为hBC，hBChAB，山路从B到C比从A到B要陡峭的多易错点2 求切线时混淆“某点处”和“过某点”若经过点P(2,8)作曲线的切线，则切线方程为ABC或D或【错解】设，由定义得f (2)=12，所求切线方程为，即.【错因分析】曲线过点P的切线与在点P处的切线不同求曲线过点P的切线时，应注意检验点P是否在曲线上，若点P在曲线上，应分P为切点和P不是切点讨论【试题解析】易知P点在曲线上，当P点为切点时，由上面解法知切线方程为.当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由

4、定义可求得切线的斜率为.A在曲线上，解得或x0=2(舍去)，k=3，此时切线方程为y+1=3(x+1)，即.故经过点P的曲线的切线有两条，方程为或.【参考答案】D1导数的几何意义函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率.2曲线的切线的求法若已知曲线过点，求曲线过点P的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解：（1）当点是切点时，切线方程为；（2）当点不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P(x1，f (x1)；第二步：写出过的切线方程为；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；第四步：将x1的值代入方程，可得过点的切线方程2已知函数，则AB1CD【

5、答案】B【解析】，又因为，所以，解得，故选B.【名师点睛】本题主要考查导数的运算法则以及初等函数的求导公式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.在求曲线的切线方程时，要注意区分是求某点处的切线方程，还是求过某点（不在曲线上）的切线方程，前者的切线方程为，其中切点，后者一般先设出切点坐标，再求解.易错点3 不能准确把握导数公式和运算法则求下列函数的导数：（1）；（2）.【错解】（1）；（2）.【错因分析】（1）求导是对自变量求导，要分清表达式中的自变量.本题中的自变量是x，a是常量；（2）商的求导法则是：分母平方作分母，分子是差的形式，等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以分子的积

6、.本题把分数的导数类同于分数的乘方运算了.【试题解析】（1）；（2）.【参考答案】（1）；（2）.1导数计算的原则先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导2导数计算的方法连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；对数形式：先化为和、差的形式，再求导；根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；3已知，则A B C D【答案】D【解析】依题意有，故，所以选D.【名师点睛】本小题主要考查基本初等函数的导数，考查复合函数的导数计算，考查函数

7、除法的导数计算，属于中档题.易错点4 区分复合函数的构成特征求下列函数的导数：（1）；（2）.【错解】（1）；（2）.【错因分析】这是复合函数的导数，若，则.如（1）中，遇到这种类型的函数求导，可先整理再求导，或用复合函数求导公式求导【试题解析】解法一：（1），.（2），.解法二：（1）（2）.【参考答案】（1）；（2）.1求复合函数的导数的关键环节：中间变量的选择应是基本函数结构；正确分析出复合过程；一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；善于把一部分表达式作为一个整体；最后结果要把中间变量换成自变量的函数.2求复合函数的导数的方法步骤：分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量；求每

8、一层基本初等函数的导数；每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数.4曲线在点处的切线方程是_【答案】【解析】，所以斜率为，切线方程为易错点5 审题不细致误设函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）若在定义域上是增函数，求实数a的取值范围【错解】（1），.，令，得或，令，得，函数的单调递增区间为，单调递减区间为（2）在定义域上为增函数，恒成立，恒成立，即实数a的取值范围是.【错因分析】错解有多处错误：一是忽视了定义域的限制作用，研究函数一定要注意函数的定义域；二是将单调区间取并集，函数的单调区间不要随意取并集；三是对不等式恒成立处理不当，对于自变量取值有限制条件的恒成立问题要和自变量在R上

9、取值的恒成立问题加以区分【试题解析】（1）由已知得x0，故函数的定义域为(0，+)，.，令，得或，令，得，函数的单调递增区间为，单调递减区间为（2）若在定义域上是增函数，则对x0恒成立，需x0时恒成立，即对x0恒成立，当且仅当x=1时取等号，即实数a的取值范围是.【参考答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.用导数求函数的单调区间的“三个方法”：1当不等式(或)可解时，确定函数的定义域；求导数；解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间2当方程可解时，确定函数的定义域；求导数，令，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；把函数的间

10、断点(即的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；确定在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性3当不等式(或)及方程均不可解时，确定函数的定义域；求导数并化简，根据的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定的符号；得单调区间5已知函数，其中.（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求与满足的关系；（2）当时，讨论的单调性；（3）当时，对任意的，总有成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增；在上单调递减；当时，函数在和上单调递增；在上单调递减；（3）.【解析

11、】（1）由题意，得. 由函数在点处的切线与平行，得. 即. （2）当时，由知. 当时，在恒成立，函数在上单调递增. 当时，由，解得或；由，解得.函数在和上单调递增；在上单调递减.当时，解得或；由，解得.函数在和上单调递增；在上单调递减. （3）当时，由，得对任意的恒成立.，在恒成立. 设，则，令，则，由，解得. 由，解得；由，解得.导函数在区间上单调递增；在区间上单调递减， ，在上单调递减，. 故所求实数的取值范围.本题主要考查导数的几何意义以及利用导数求函数的单调性、最值，考查了不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； 数形结合( 图象在

12、 上方即可)； 讨论最值或恒成立； 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.易错点6 极值的概念理解不透彻已知在处有极值，则_.【错解】或由题得，由已知得解得或，所以等于或.【错因分析】极值点的导数值为0，但导数值为0的点不一定为极值点，错解忽视了“是f(x)的极值点”的情况【试题解析】由题得，由已知得解得或，所以等于或.当时，在x=1两侧的符号相反，符合题意.当时，在x=1两侧的符号相同，所以不合题意，舍去.综上可知，所以.【参考答案】对于给出函数极大(小)值的条件，一定既要考虑，又要考虑在两侧的导数值符号不同，否则容易产生增根1函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断

13、导数为0的点的左、右两侧的导数符号2求函数极值的方法：确定函数的定义域求导函数求方程的根检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点如果左正右负，那么在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么在这个根处取得极小值，如果在这个根的左右两侧符号不变，则在这个根处没有极值3利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.6若是函数的极值点，则的值为A2B3C2或3D3或2【答案】B【解析】，由题意可知，或，当时，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，显然是函数的极值点；当时，所以函数是上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，

14、舍去，故选B.【名师点睛】本题考查了已知函数的极值，求参数的问题.本题易错的地方是求出的值，没有通过单调性来验证是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点.（1）在处有极值时，一定有，可能为极大值，也可能为极小值，应检验在两侧的符号后才可下结论；（2）若，则未必在处取得极值，只有确认时，才可确定在处取得极值（3）在本题中，不要遗漏掉这种特殊情况.一、导数的概念及计算1导数的定义：.2导数的几何意义：函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即.求曲线的切线方程的类型及方法（1）已知切点，求过点P的切线方程：求出切线的斜率f (x0)，由点斜式写出方程；（2）已知切线

15、的斜率为k，求的切线方程：设切点，通过方程解得x0，再由点斜式写出方程；（3）已知切线上一点(非切点)，求的切线方程：设切点，利用导数求得切线斜率，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由求出切点坐标，最后写出切线方程（5）在点处的切线即是以为切点的切线，一定在曲线上.过点的切线即切线过点，不一定是切点因此在求过点的切线方程时，应首先检验点是否在已知曲线上3基本初等函数的导数公式函数导数f (x)=C(C为常数)=f (x)=sin xf (x)=cos xf

16、(x)=ln x4导数的运算法则（1）.（2）.（3）.5复合函数的导数复合函数的导数和函数的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积二、导数的应用1函数的单调性与导数的关系一般地，在某个区间(a,b)内：如果，函数f (x)在这个区间内单调递增;如果，函数f (x)在这个区间内单调递减;如果，函数f (x)在这个区间内是常数函数（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；（2）在某个区间内，()是函数f (x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但.（3）函数在(a,b)内单调递增(减)的充要条件是

17、()在(a,b)内恒成立，且在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有,不影响函数在区间内的单调性.2函数的极值与导数的关系一般地，对于函数，若在点x= a处有f (a)= 0，且在点x= a附近的左侧，右侧，则称x= a为f(x)的极小值点；叫做函数f (x)的极小值.若在点x=b处有=0，且在点x=b附近的左侧，右侧，则称x= b为f(x)的极大值点，叫做函数f (x)的极大值极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.3函数的最值与极值的关系极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个

18、（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.求函数在a,b上的最大值与最小值的步骤求函数在(a,b)内的极值；将函数的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值1【2019年高考全国卷文数】已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则A Ba=e，b=1C D，【答案】D【解析】切线的斜率，将代入，得.故选D【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a，b的等式，从而求解，

19、属于常考题型.2【2018年高考全国卷文数】设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为ABCD【答案】D【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得.故选D.【名师点睛】该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.3【2019年高考全国卷文数】已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则A Ba=e，b=1C D，【答案】D【解析】切线

20、的斜率，将代入，得.故选D【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a，b的等式，从而求解，属于常考题型.4设曲线上任一点处的切线斜率为，则函数的部分图象可以为A BC D【答案】D【解析】由函数的解析式可得，则，该函数为奇函数，选项B、C错误；又当时，当时，选项A错误；本题选择D选项.【名师点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象 5函数的最小值为ABCD【答案】C【解析】由题得，

21、令，解得，则当时，为减函数，当时，为增函数，所以处的函数值为最小值，且.故选C.【名师点睛】本题考查用导数求函数最值，解此类题首先确定函数的定义域，其次判断函数的单调性，确定最值点，最后代回原函数求得最值.6定义在上的函数满足，则关于x的不等式的解集为A BC D【答案】B【解析】令，则，函数在上单调递增又，结合题意，不等式可转化为，即，解得，原不等式的解集为故选B【名师点睛】对于含有导函数的不等式的问题，在求解过程中一般要根据不等式的形式构造出相应的函数，然后根据所给的不等式得到导函数的符号，进而得到构造的函数的单调性，再根据所构造的函数的单调性进行解题，其中根据题意构造符合题意的函数是解题

22、的关键由构造函数，则有，从而得到函数在上单调递增又，所以不等式可化为，根据函数的单调性可得，于是可得所求结果7已知定义在上的函数，设两曲线与在公共点处的切线相同，则值等于A3 B1C3 D5【答案】D【解析】设函数在公共点（a,b）（a0）处的切线相同，由题得所以，解之得a=1,b=4,m=5.故答案为D.【名师点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义，考查曲线的切线问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是根据已知得到方程组.8若函数在上为增函数，则的取值范围为A BC D【答案】B【解析】依题意可得对x恒成立， 即对x恒成立.设g(x)= a，x.当a0时，

23、解得.当a1，因此函数在0,1上单调递减，在1,2上单调递增，又x=1时，；x=2时，y=2；x= 0，y= 0，函数，x0,2的值域是，故，故选A.10函数的图像大致为【答案】D【解析】函数图象过定点，排除A，B；令，则，由得，得或，此时函数单调递增，由得，得或，此时函数单调递减，排除C.故选D.【名师点睛】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象过的定点及由导数判断函数的单调性是解决本题的关键.11已知函数，若在区间内存在极值点，则实数的取值范围是A BC D【答案】C【解析】令,则x=a或x=2a1.若,则,函数在R上单调递增，所以没有极值点;若,则, 由于f(x)在区间内存在极

24、值点,所以；若,则,由于f(x)在区间内存在极值点,所以.综上所述,故选C.【名师点睛】本题考查导数在求函数极值中的应用，比较的大小，进行讨论.12【2019年高考全国卷文数】曲线在点处的切线方程为_【答案】【解析】所以切线的斜率，则曲线在点处的切线方程为，即【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求13【2018年高考全国卷文数】曲线在点处的切线方程为_【答案】y=2x2【解析】由，得.则曲线在点处的切线的斜率为，则所求切线方程为，即.【名师点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：求出函数在该点处的

25、导数值即为切线斜率；写出切线的点斜式方程；化简整理.14已知函数，则的最小值是_【答案】【解析】，所以当时函数单调递减，当时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为，函数的递增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.15已知函数若方程恰有两个不同的实数根，则的最大值是_【答案】【解析】作出函数的图象如图所示，由，可得， 即，不妨设

26、，则，令，则，令，则，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，当时，取得最大值，为.故答案为.【名师点睛】本题主要考查方程的根与图象交点的关系，考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的极值与最值，属于难题.求函数的极值与最值的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解方程求出函数定义域内的所有根；（4）判断在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该点处取得极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点处的函数值与极值的大小.16【2019年高考全国卷文数】已知函数f（x）=

27、2sinx-xcosx-x，f （x）为f（x）的导数（1）证明：f （x）在区间（0，）存在唯一零点；（2）若x0，时，f（x）ax，求a的取值范围【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）设，则.当时，；当时，所以在单调递增，在单调递减.又，故在存在唯一零点.所以在存在唯一零点.（2）由题设知，可得a0.由（1）知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，所以在单调递增，在单调递减.又，所以，当时，.又当时，ax0，故.因此，a的取值范围是.【名师点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.17【2019年高考全国卷文数】已知函数证明：（1）存在唯一的极值点；（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）的定义域为（0，+）.因为单调递增，单调递减，所以单调递增，又，故存在唯一，使得.又当时，单调递减；当时，单调递增.因此，存在唯一的极值点.（2）由