第二章一元二次方程学案.

1、、青铜峡市四中“ 314”模式学案执笔人：张兴平审核人：周果梅使用人§2.1.1认识一元二次方程(一)一、学习目标：1.一元二次方程的概念及它的一般形式2 经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型.自学导航:1、青铜峡市四中“ 314”模式学案执笔人：张兴平审核人：周果梅使用人1、 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常 数项。(1) 3x2=5x-1(2) (x+2)(x-1)=6(3) 4-7x 2=02, 一元二次方程的概念：强调三个特征：它是 方程；它只含 知数；方程中未知数的最高次数是.

2、 一元二次方程的一般形式：在任何一个一元二次方程中，必不可少的项.3. 几种不同的表示形式： ax+bx+c=O (a 工 0,b 工 0,c 工 0) (a 工 0,b 工 0,c=0) (a 工 0,b=0,c 工 0) (a 工 0,b=0,c=0),并说明理由。(3)2x+x2=3(4)3x-1=0(6)ax2+bx+c=0(7)k21 x2 k - 2 = 04:判断下列方程是不是一元二次方程2 2(1) x-y=1(2) 1/x-3=22(5x+2)(3x-7)=15x(k 为常数) 三、练习检测1. 下列关于x的方程中，属于一元二次方程的有几个()2 2仅_3)_4+% , ax

3、2+b=0 , x?-(1-2a)x +-3 = 0 m2x2+x-m2=0 ,寸 2x2_5 = x ,(a +1+ax + 2 = 0A. 6个 B . 5个 C . 4个 D . 3个22. 2x -3 =5x化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常项分别为()(A) 2，-5，-3(B) 2，-3，-5(C) 2，5，-3(D) 2，-5，33、一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为 8m，宽为5m如果地毯中央长方形图案的面积为 18吊，那么花边有多宽？-如果设花边的宽为xm那么地毯中央长方形图案的长为 m I -宽为m 根据题意，可得方程 。化成一般形式得。4、求五个

4、连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。5、如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直 距离为8m如果梯子的顶端下滑1m那么梯子的底端滑动多少米？ 列出方程并化简。§ 2.1.1认识一兀一次方程(一)一、学习目标：1 探索一元二次方程的解或近似解.2 培养学生的估算意识和能力.3.经历方程解的探索过程，增进对方解的认识，发展估算意识和能力二、自学导航：1、什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？ 一般形式： 2、指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。(1) 2x2x + 1 = 0(2) x2 + 1 = 0(3)x2x = 0一,3 x2 = 0

5、(5)(8-2x ) (5-2x)=183、P31页地毯问题中方程的一般形式： 你能求出x吗？(1) x可能小于0吗？说说你的理由； (2) x可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？(3) 完成下表x00.511.522.52x2 13x+ 11(4) 你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流三、练习检测1、P34页随堂练习2:用平方根的意义求一元二次方程的准确解(1) x2 =12(2) 81x2 -16 =0(3) x -1彳=123、青铜峡市四中“ 314”模式学案执笔人：张兴平审核人：周果梅使用人#、青铜峡市四中“ 314”模式学案执笔人：张兴平审核人：周果

6、梅使用人(4)81 x -2 $ 刊6(5)3x2 15 = 0#、青铜峡市四中“ 314”模式学案执笔人：张兴平审核人：周果梅使用人、青铜峡市四中“ 314”模式学案§ 2.2 配方法(1)一、学习目标：1、会用开平方法解形如(x + m)2= n (n > 0)的方程；2、理解一元二次方程的解法一一配方法.3、 把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2二n(n 一0)的形式，体会转化的数学思想二、自学导航：1、用直接开平方法解下列方程：2 2 2 2(1) x= 9(2) (x + 2) = 16(3) (x+1) 144=0 (2x+1)=32、配方：填上适当的数，使下列

7、等式成立：(1) x2+ 12x+= (x + 6)2(2) x2 4x += (x )22 2(3) x + 8x += (x +)从上可知：常数项配上.23、x + 8x9= 0分析：先把它变成勺形式再用求解解：移项，得：配方，得：(两边同时加上)即：开平方，得：即：所以：用配方法解一元二次方程的基本思路：将方程转化为 的形式，它的一边日 疋'个，另一边是一个常数。当时，两边便可求出它的根;当时，原方程无解.三、练习检测1、2(1) x 2x+=(x )2(2) x2 + x +=(x +)24 x 2 3 x+=(x )2 x2®'3x +=(x )22、一元二

8、次方程x2 2x m=0用配方法解该方程，配方后的方程为()A.(x 1)2=吊+1 B.(x 1)2=m- 1 C.(x 1)2=1 m D.(x 1) 2=m+13、用配方法解下列方程：2(1)x 一 l0x 十 25= 7;(2)x2-14x = 8(3) x22x 1=03(4) x2 2x 2 =8x 4§ 2.2 配方法（2）一、学习目标：1、利用配方法解数字系数的一般一元二次方程。2、进一步理解配方法的解题思路。二、自学导航：1、把下列各式配成完全平方式(1)1一一 X +22x-x(2) 3x2 -bx(3)a(4) x 十 25= (x -j6、青铜峡市四中“ 31

9、4”模式学案执笔人：张兴平审核人：周果梅使用人#、青铜峡市四中“ 314”模式学案执笔人：张兴平审核人：周果梅使用人2、用配方法解下列方程:2 2(1) x + 4x+ 3= 0(2) x-4x+12=0(3)x2 _ 4 二 5x2(4) x= 0#、青铜峡市四中“ 314”模式学案执笔人：张兴平审核人：周果梅使用人#、青铜峡市四中“ 314”模式学案执笔人：张兴平审核人：周果梅使用人例1、.用配方法解方程2x 4x-仁0方程两边同时除以2得 移项得 配方得 卩: 方程两边开方得 即： X1=,X2=2例2:解方程：3x + 8x 3= 0解：两边都除以，得：移项，得：配方，得：（方程两边都

10、加上 勺平方）开平方，得：所以：练习检测1、用配方法解下列方程时，配方错误的是（A. x2 -2x-80=0，化为（x-疔=81 bC. t2 + 8t +9 =0，化为（t + 4 f = 25 d2、用配方法解下列方程：x2 -5x-3 = 0，化为 '、37/、22 ! 10t + I =3t2 +4t 2 = 0，化为 I 3丿 9#、青铜峡市四中“ 314”模式学案执笔人：张兴平审核人：周果梅使用人7、青铜峡市四中“ 314”模式学案执笔人：张兴平审核人：周果梅使用人2(3) 3x9x 2 = 0#、青铜峡市四中“ 314”模式学案执笔人：张兴平审核人：周果梅使用人一、学习目

11、标：§ 2.3 公式法1一元二次方程的求根公式的推导；2 会用求根公式解一元二次方程。3. 求根公式的条件：b2 4ac 一0。3x2+2x+1=01、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些?2、 用配方法解方程：(1)2x 2+3=7x二、自学导航：1、用配方法解方程：ax2 + bx+ c= 0(a工0)2、 总结(1)、一般地，对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a工0)，当b2 4ac> 0时, 它的根是b土4" 注意：当b2 4ac<0时，一元二次方程无实数根。2a(2) 、公式法：上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。利用求根公式解一元

12、二次方程的方法 叫做公式法。解方程：(1) 2x2+ 7x=4(2) x2- 2 2 x+2=0(3) 2x2-5x+4=0讨论归纳：用公式法解一元二次方程的步骤：1) 化成一般形式；2) 确定a,b,c的数值；3) 求出b2 4ac的数值，并判别其是否是非负数；4) 若b2 4ac>0,用求根公式求出方程的根，若b2 4ac<0,直接写出原方程无解，不要代入求根公式。三、练习检测(4) 9x2+6x+1=01、不解方程判断下列方程是否有解：(1) 2x 2+3=7x(2) x2-7x=18(3) 3x2+2x+1=0总结：根的判别式： 1) 当b2 4ac0时，一元二次方程有两个

13、不相等的实数根；2) 当b2 4ac0时，一元二次方程有两个相等的实数根；3) 当b2 4ac0时，一元二次方程无实数根。2、下列一元二次方程中，有实根的方程是()(1) x2-x+1=0(2) x2-2x+3=0(3) x2+x-1=0(4) x2+4=03、 用公式法解方程：3x2 125(x 18一、 学习目标：§ 2.4 分解因式法1 能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。2 会用分解因式(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程二、自学导航：1、 用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为 勺形式。2、 用公式法解一元二次

14、方程应先将方程化为,再用求根公式求解, 根的判别式：。1) 当b2 4ac0时，一元二次方程有两个实数根；2) 当b2 4ac0时，一元二次方程无实数根。3、选择合适的方法解下列方程：4、分解因式：2(1) 5 x 4x(2) x 2 x(2 x) x-6x=7 10(x + 1) 25(x + 1) + 10= 02 2 2(3) (x+1) 25(4) 4x 12xy+9y5、用分解因式法解下列方程：1)(x+1)=01) 3x(x 1)=0;2) (2x1、分解因式法：利用分解因式来解一兀二次方程的方法叫分解因式法。2、因式分解法的理论根据是：如果 ab=0,则a=0或b=0。 例1:解

15、下列方程：1) 5x2 = 4x 2 ) x 2= x(x 2) 3 ) (x + 1)2 25= 0。4 ) 4(2x-1) 2= 9(x+4) 2;三、练习检测丄2丄C .匕讥=0 d . t = 11、方程t二t的根为()A. t =0 b . 1 =0, t?二4x(2x+1)=3(2x+1)2、解下列方程10、青铜峡市四中“ 314”模式学案执笔人：张兴平审核人：周果梅使用人2(2x + 1) -25=011、青铜峡市四中“ 314”模式学案执笔人：张兴平审核人：周果梅使用人#、青铜峡市四中“ 314”模式学案执笔人：张兴平审核人：周果梅使用人(2) 4 x 3' x 3 x

16、 - 04(x-3)2 -25(x-2)2 =0#、青铜峡市四中“ 314”模式学案执笔人：张兴平审核人：周果梅使用人§ 2.5 元二次方程的根与系数的关系一、学习目标：1、 理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a工0的两根Xi, X2与系数a、b、c之间的关系。2、 能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的 未知数。3、会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差。、自学导航：计算填表方程X1X2X1+X2X1X2x2+3x+4=06x2+x-2=02x2-3x+仁09请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax +bx+c=0 (a工0的根xi

17、, X2与a、b、c之间的关系：。根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积(方程两根为x1, x2、k是常数)2(1) 2x -3x-1=0x i+X2= x 1X2=2(2) 3x +5x=0xi+x2= x 1X2(3) x +7x=-6x 1+X2= x 1X2=2(4) 5x +kx-6=0x1+x 2= x 1X2=例、利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2-3x+5=0的两个根的(1)平方和 (2)倒数和 (3)差 二、练习检测1、已知方程6x2+kx-5=0的一个根为1,求它的另一个根及k的值 2已知方程x2+(2k+1)+k2-2=0的一个根为2,求另一个根及k的值

18、 3、已知三角形的两边长是方程x2-12x+k=0的两个根，三角形的第三条边长为 4,求这个 三角形的周长。4、已知三角形的两边长是方程 x2-12x+k=0的两个根，三角形的第三条边能等于15吗？5、利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的两根为2和3.12、青铜峡市四中“ 314”模式学案执笔人：张兴平审核人：周果梅使用人§ 2.6 元二次方程的应用(1)一、学习目标：1、经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程， 认识方程模型的 重要性。并总结运用方程解决实际问题的一般步骤。2、通过列方程解应用题，进一步提高学生的分析问题、解决问题的意识和能力。二、自

19、学导航：1、 一个两位数，十位数字是a，个位数字是b,则这个两位数是;2、 一个三位数，十位数字是a，个位数字是 b,百位数字是 c，则这个三位数是J3、某工厂2006年总产值是a万元，2007比2006年增长了 10%则2007年的总产值为 元，2008比2007年增长了 10%则2008年的总产值为 万元；若两年的增长率均为 X,则2008年的总产值为 元。4、平均增长(或降低)率问题： 一商店1月份的利润是2000元，3月份的利润达到2420元， 若这两个月的利润的增长率相同，则增长率是多少？5、变式训练：制造一种产品，原来每件的成本价是 100元，由于连续两次降低成本，现 在的成本是8

20、1元，求平均每次降低成本的百分率。6、小结：平均变化率问题的公式为 A=a( 1+x) n 其中a为变化前的基数，x为变化率 (增长时x>0，减小时x<0), n为变化次数，A为变化后的量。三、练习检测21、有一个两位数，两个数字的和为 9,数字的积等于这个两位数的 万，求这个两位数2、一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，设个位数字为X，则列方程为3、若设每年平均增长的百分数为x,分别列出下面几个问题的方程：(1)某工厂用二年时间把总产值增加到原来的 b倍，求每年平均增长的百分率.(2) 某工厂用两年时间把总产值由a万元增加到b

21、万元，求每年平均增长的百分数.4、某商场一月份的营业额为400万元，第一季度营业总额为1600万元，若平均每月增 长率为x，贝卩歹U方程为§ 2.6元二次方程的应用（2）、学习目标：分析几何问题中的数量关系，列出一元二次方程解决问题。 、自学导航：列方程解应用题：1、在一块正方形的钢板上裁下宽为 20cm的一个长条，剩下的长方形钢板的面积为 4800 cm2求原正方形钢板的面积。2、如图所示，某小区规划在一个长为 40 m、宽为26 m的矩形场地ABCDt修建三条同 样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草.若使每一块草坪 的面积为144 m2，求小路的宽度.

22、7/n/i67三、练习检测1、已知甲乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为 7,乙的速度为3。乙一直向东走， 甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇。那么相遇时，甲乙各走多远？2、一个直角三家形的斜边长7cm 一条直角边比另一条直角边长1cm.求两条直角边的长 度。§ 2.6一元二次方程的应用（3）一、学习目标：1、分析具体问题中的数量关系，列出一元二次方程；2、通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。二、自学导航：1、有一面积为150 m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 18 m）,另三边用竹篱笆 围成，如果竹篱笆的长为35 m，求鸡

23、场的长与宽各为多少米？2、苹果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产 量。实验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个。若要使产量增加15.2%, 那么应多种多少棵桃树？14、青铜峡市四中“ 314”模式学案执笔人：张兴平审核人：周果梅使用人3、某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40-60元范围内，这种台灯的售 价每上涨一元，其销售量就减少10个，为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台 灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？例1、利润问题 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为 2500元。市场调

24、研表明：当 销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能 多售出4台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到 5000元，每台冰箱的降价应 为多少元？二、练习检测1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20件，每件盈利40元，为了扩大销售， 增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经试销发现，如果每件衬衫 每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应 降价多少元？2、某服装商场将进货价为30元的内衣以50元售出，平均每月能售出300件。经过试销 发现，每件内衣涨价10元，其销售量就将减少10件。为了实现每

25、月8700元的销售利润, 并减少库存，尽快回笼资金，这种内衣的售价应定为多少元？这是应进内衣多少件？一元二次方程复习(1)1、一元二次方程的概念：练习：(1)已知关于的方程，2 2 2 2 21)ax+bx+c=0; 2)x-4x=8+x ； 3)1+(x-1)(x+1)=0 ； 4)( k +1)x + kx + 1= 0 中， 是一元二次方程的是.(只填序号)(2) 把方程3x(x-1)=2(x+2)+8 化成一般形式，二次项是一次项系数是,常数项是.2 70 (m- 3)xm-72 2 (3) (m2- 16)x+(m+4)x+2m+3=0是关于 x 的一元一次方程，贝U m为x=5是关

26、于x的一元二次方程,2、一元二次方程的解法：(1)直接开方法：方程可化为：2(1)16x -36 = 0贝 U m=；勺形式时可用直接开方法。(2) 2(x + 1)2 _6=0练习:(2) 配方法用配方法解一元二次方程的一般步骤：1)把方程化为； 2)把 数化为1 ；3)移项：把项移到方程的另一边；4)配方：方程两边都加上；原方程变为勺形式;5)开平方：如果右边为 ，就可以用直接开平方法求出方程的解练习：(1)x2-4x-3 = 0(2)3x2-1 6x(3) 公式法当b2 - 4ac时，它的根是x=当b2 - 4ac0时，一元二次方程无实数根。练习： 1 ) 3x2+5(2x+1)=02)

27、 y2+23y+3=0(4) 因式分解法：当方程右边是,而左边是时，我们就用分解因式法解一元二次方程。分解因式法的理论依据是 .练习：1)(x2 -4) (x 2) =02)9x212x 4 二(x-1)23、归纳总结：(1) 直接开方法：缺一次项或形如 a x 2 =c、( x+b) 2=c(c为非负数)(2) 配方法：二次项系数为1且一次项系数为偶数的(3) 公式法：适用于所有的一元二次方程，(号称一元二次方程解法的“万能钥匙”)(4) 因式分解法：方程右边是0,而左边可以分解因式公式法和因式分解法是解一元二次方程最常用的两种方法，要熟练掌握。4、当堂检测(1) 、一元二次方程3x2- 2

28、3= 10x的二次项系数为： ，一次项系数为：，常数项为：。(2) 、已知m是方程x2-x-2=0的一个根，则代数式m2-m的值等于 (3) 、一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是()A、有一个实数根B、有两个相等的实数根C、有两个不相等的实数根 D、没有实数根(4) 、 x2 -6x-18=0 (配方法)(5)、3x2+5(2x+1)=0 (公式法)(6)、x2 2x 99=0 (因式分解法)(7)、7x(5x + 2)= 6(5x+2)(因式分解法)例1：晓鹏准备在一张长20cm宽16cm的风景片的四周(外侧)镶上一条同样宽的金色 纸边。若要使金边的面积是图片面积的 19/80。金边

29、的宽应该是多少？例2、如图，东西方向上有 A、C两地相距10公里，甲以16公里/时的速度从A地出发 向正东方向前进，乙以12公里/时的速度从C地出发向正南方向前进，问最快经过多少 小时后，甲乙两人相距6公里？例3、某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为 384元，如果两次降价的百 分数相同，求每次降价百分之几？例4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克 50元销售，一个月能售出50kg;销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg。针对这种水产品的销售情况，请解 答以下问题： 当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润； 商店想在月销售成本不超

30、过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单 价应定为多少？【巩固练习】_策祟一;P1二1、将方程 3x 若一元二次方程x2+2x+k+2=0没有实数根，则k的取值范围是。 一元二次方程(m-1)x +3mx+(m+3m-4)=0有一根为0，求m的值及另一根。 三个连续整数刚好是一个直角三角形的三边边长，则这三个连续整数分别为，。三个连续偶数刚好是一个直角三角形的三边边长，则这三个连续偶数分别等腰三角形的底和腰是方程x2-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长是 _5、如图在一个长为35米，宽为26米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直道路， 其它部分种花草，要使花草为850

31、川，问道路应为多宽？设道路宽为 X，得方程如下：1)( 35- X)(26- x)= 850;2) 850= 35 X 26- 35x 26x + x 2;3) 35x+ x(26 x) = 35X 26-850 ; 4 ) 35x+ 26 x = 35 X 26-850.你认为符合题意的方程有()6、有一块矩形铁皮，长1m宽0.5m，在它四角各切去一个同样的正方形, 然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方+8x=3转化为(x+ m)2 = n (n 为 常数)的 形式为 盒的底面积为0.24m7、 若方程x -3x m =0有两个相等的实数根，则 m=，两个根分别为

32、 。&若方程kx2 -9x 8 = 0的一个根为1，则k=，另一个根为 。9、 以一3和7为根且二次项系数为 1的一元二次方程是 。2 210、 关于x的一元二次方程 mx x m 3m =0有一个根为零，那 m的值等于。一、选择题（本大题共 8小题，每小题3分，共24分）1、下列方程中，一元二次方程是（），那么铁皮各角应切去多大的正方形?27、一个两位数，十位数字比个位数字大 3,而这两个数字之积等于这个两位数的-，求7 这个两位数。&在厶ABC中，/ B=90°, AB=6cm,BC=12c点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始，沿BC

33、边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q 分别从A、B同时出发，几秒后厶PBQ勺面积等于8平方厘米？一元二次方程测试题填空题：（本大题共 10小题，每小题3分，共30分）1、 已知两个数的差等于 4,积等于45,则这两个数为 和。2、 当 m时，方程 m2 -1 x2 -mx - 5 =0不是一元二次方程，当 m时，上述方程是一元二次方程。2 23、 用配方法解方程 x 4x6=0，则 x 4x+_ = 6 + _，所以捲=_,x2 =°Xj+X2=X1X2=4、 如果x 2 m 1 x 4是一个完全平方公式，则 m= 。5、 当> 0时，一元二次方程 ax2 bx0的求根公式为 。26、如果为、x2是方程 2x-3x-6 =0的两个根，那么 为x2=，为x2 =。2 1 2 2 2(A) x 2 ( B) ax bx (C)x -1 x 2 = 1 (D) 3x - 2xy - 5y = 0x2、方程2x 3 x -1 =1的解的情况是（）（A ）有两个不相等的实数根（B）没有实数根（C）有两个相等的实数根（D）有一个实数根23、 如果一元二次方程 x