定积分知识点总结

1、定积分知识点总结北京航空航天大学李权州一、定积分定义与基本性质1. 定积分定义 设有一函数 f(x) 给定在某一区间 a,b 上 .我们在 a 与 b 之间插入一些分点 a x 0 x1 x2 . x n b . 而 将 该 区 间 任 意 分 为 若 干 段 . 以 | | 表 示 差 数 xi xi 1 xi (i 0,1,.,n 1) 中最大者.在每个分区间xi,xi 1 中各取一个任意的点x i .xiixi 1 (i0,1,.,n 1)而做成总和n1f ( i) x ii0然后建立这个总和的极限概念：lim| 0另用 ""语言进行定义：0，0，在 | |时，恒有I

2、|则称该总和0 时有极限 I.总和0 时的极限即f(x) 在区间 a 到 b 上的定积分，符号表示为bI f (x)dxa2?性质 设 f(x) ，g(x) 在a,b 上可积，贝卩有下列性质(1) 积分的保序性bb如果任意x a,b, f (x),g(x) ，贝 f (x)dx g(x)dx, 特别地，如果任意x a,b , f(x) 0, 则 f(x)dx 0aaa(2) 积分的线性性质bbb(f (x) g(x)dx f(x)dx g(x)dxaaabb特别地，有cf (x)dx c f (x) .aa设 f(x) 在a,b 上可积，且连续，(1) 设 c 为a,b 区间中的一个常数，则满

3、足bcbf(x)dx f(x)dx f(x)dxaac实际上，将 a,b,c 三点互换位置，等式仍然成立(4) 存在 a,b ，使得f (x)dx (b a) f ()a二、达布定理1.达布和分别以 mi 和 Mi 表示函数 f(x) 在区间心人里的下确界及上确界并且做总和_nnS( , f)Mi(X i Xi 1),S( , f)mi (X i x 1)i 1i 1S( ,f) 称为 f(x) 相应于分割n 的达布上和， S( ,f) 称为 f(x) 相应于分割 n 的达布下和特别地，当 f(x) 连续时，这些和就直接是相应于任意分割法的积分和的最小者和最大者，因为在这种情形下 f(x) 在

4、没一个区间上都可以达到其上下确界.回到一般情况，有上下界定义知道mi f( i) M i将这些不等式逐项各乘以Xi( Xi 是正数 )并依 i 求其总和，可以得到S( , f) S( ,f)推论 1 设 f(x) 在a,b上有界 .设有两个分割，'，'是在的基础上的加密分割,欢迎下载2多加了k 个新分店，则S(, f)S( ', f)S( , f)kIIII,S(,f)S( ', f)S( , f)k|,这里M m,M,m 分别为 f 在a,b 上的上、下确界 .推论 2 设 f(x) 在a,b上有界 .对于任意两个分割 ，有m(b a) S( , f)S( ,

5、 F) M (b a)2. 达布定理定义 设 f(x) 在a,b 上有界，定义I inf S( , f) |为a,b 上一个分割 ，L supS( , f)|为a,b 上一个分割 。称 I 为 f(x) 在a,b 上的上积分， I 为 f(x) 在a,b 上的下积分 .定理 对于 f(x) 在a,b 上的有界函数，贝卩有lim S( , f) I, lim S( , f) I.|0|0一3?函数可积分条件设 f(x) 在a,b 上有界，下列命题等价：(1) f(x) 在 a,b可积；(2) I I;n(3)对于a,b 上的任何一个分害 V,|lim0i(xi xi 1)0 ;(4)任给0，存在

6、 0，对于 a,b 上的任何分割，当 | ，有ni(x X i 1 )成立 ;(5)任给0，在a,b 存在一个分割，当 | 时有ni(Xi Xi 1 )i 1欢迎下载3成立 ?这里i Mi mi 为 f(x) 在区间 xi,xi 1 上的振幅 .三、微积分基本定理定理 ( Newton-Leibniz公式 )设 f(x) 在a,b上可积，且在 a,b上有原函数 F(x) ，贝卩bf (x)dx F(b) F(a)a注： 1.f(x) 是 f' x)的原函数，故当f' R( a,b )时，该公式可写为bf'(x)dx f (b) f (a)a2?上述定理并不是说可积函数一

7、定有圆环数，而是说如果存在原函数，那么可用来计算定积分的值 .Newt on-Leib niz公式把原先在复杂的定积分中的定义的积分值计算化为求原函数的问题，为普及微积分打开了大门.四、定积分的计算除了利用 Newton-Leibniz公式计算微积分外，还可以使用换元公式和分部积分计算微积分.b1 定积分中变量替换公式设要计算积分f(x)dx ，这里 f(x) 是在区间 a,b内连续的 .a令 x (t) ，函数 ( t)具备下列条件：欢迎下载41)函数 ( t)在某一区间 ,内有定义且连续，而其值当t 在 ,内变化时恒不越出区间a,b 的范围 ;2) ( ) a, ( ) b;3) 在区间

8、,有一连续函数 '(t) .于是成立公式bf(x)dx f( (t) '(t)dta由于被积函数假设是连续的，不但这些定积分存在，同时其相应不定积分也存在，并且在两情形都可以用基本公式.2 定积分的分部积分法在不定积分部分曾经讨论过公式udv uv vdu,这里假设以 x 为自变量的函数u,v 以及其导函数u' v 都是在考虑区间 a,b 里连续的 .则我们有b uvudvavduaa五、定积分中值定理微分中值公式F(b) F(a) F'( )(b a),(a,b)说明，函数值的差可以通过其导数值来表达和估算.如果从微分运算的逆运算来认识积分运算，那么就有相应的

9、积分的中值公式：记F(x) 二 f(x) ，即把 F(x) 看作是可积函数f(x) 的原函数，则上述公式化为f(x)dxf( )(b a),(a,b)这一类公式称之为积分中值公式，它显示出一个函数的定积分可以通过其自身进行表达和估算 .欢迎下载5上述公式的几何意义可以从面积的意义来考察：设f(x) 是 a,b 上的正值连续函数，则公式左边的面积与右边表达式所代表的举矩形面积相等，而矩形的高f()正是 f(x) 在a,b 上的积分平均值 :1 bf()af(x)dx1 定积分第一中值公式设 g R( a,b ), 且函数值不变号 ( 即对一切x a,b, g(x) 0 或 g(x) 0 ).(1

10、) 若 f R(a,b) ，且记Msupu (x) , minff( x)，则存在 ：m M,x a,b ,a,b使得bba f(x)g(x)dxa g(x)dxa 若 f C( a,b )，则存在a,b ，使得bf(ba f (x)g(x)dx) g(x)dxaaa2 定积分第二中值公式k2.记 Aa? k 1,2 ， ,n)，则引理 (Abel) 设有两组数 aa, ,a , db, ,0i 1b l) A nbn推论若有 mAkM(k 1,2,.,n) ，且 00 . bn 0，则有nmb 1aMb 1i 1定理 (Bonnet 型) 设 g R(a,b) .(1) 若 f(x) 是a,

11、b上非负递减函数，贝 y 存 a,b ，使得在bf(a) g(x)dxaf (x)g(x)dx(2) 若 f(x) 是a,b 上非负递增函数，贝 S a,b ，使得存在6f(x)g(x)dx f(a) g(x)dxaa3 定积分第三中值公式定理 (Weierstrassz型) 设 f(x) 在a,b 上是单调函数， g R( a,b )，则存在a,b ，使bbf (x)g(x)dx f (a) g(x)dx f (b) g(x)dxa a六、函数可积分的勒贝格定理定义 设 A 是实数集合，若，对任意0，存在至多可数的系列开区间In,n N *，它是 A 的一个开覆盖，并且|In| ，则称 A 为零测度集或者零测集n 1定理零