力矩转动定律ppt课件

1、第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量1问：在质点问题中，我们将物体所受的力均作用于同一点，并仅考虑力的大小和方向所产生的作问：在质点问题中，我们将物体所受的力均作用于同一点，并仅考虑力的大小和方向所产生的作用；在刚体问题中，我们是否也可以如此处理？力的作用点的位置对物体的运动有影响吗？用；在刚体问题中，我们是否也可以如此处理？力的作用点的位置对物体的运动有影响吗？0,0iiMF圆盘静止不动圆盘静止不动0,0iiMF圆盘绕圆心转动圆盘绕圆心转动FFFF力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响.第

2、四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量2Pz*OMFrdM 刚体绕刚体绕 O z 轴旋转轴旋转 , 力力 作用在刚体上点作用在刚体上点 P , 且且 F一一 力矩力矩 r在转动平面内在转动平面内, 为由点为由点O 到力的作用点到力的作用点 P 的径矢的径矢 . FrM 对转轴对转轴 Z 的力矩的力矩 FFdM d : 力臂力臂sinFr矢量式矢量式第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量3zOFr讨论讨论FFFzsinz rFMzFF 1）若力）若力 不在转动平面内，可把力分解为平行于和垂直于转

3、轴方向的两个分量不在转动平面内，可把力分解为平行于和垂直于转轴方向的两个分量 F或或321MMMM 其中其中 对转轴的力矩为零，故力对转轴的力矩对转轴的力矩为零，故力对转轴的力矩zF一一 力矩力矩 FrM2）合力矩等于各分力矩的矢量和）合力矩等于各分力矩的矢量和FrMz第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量43）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消jiijMMjririjijFjiFdOijMjiM结论：刚体内各质点间的作用力对转轴的合内力矩为零结论：刚体内各质点间的作用力对转轴的合内力矩为零.0ijMM

4、第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量5O Oz zmmi i 刚体可看成由刚体可看成由 n n 个质点组成，刚体绕固定轴个质点组成，刚体绕固定轴OzOz转动，刚体上每一质点都绕转动，刚体上每一质点都绕OzOz轴作圆周运动。轴作圆周运动。iriF讨论外力矩和角加速度之间的关系：讨论外力矩和角加速度之间的关系：if 在刚体上取某一质点在刚体上取某一质点i i，其质量为，其质量为 mmi i，绕，绕OzOz轴作半径为轴作半径为r ri i 的圆周运动。的圆周运动。质点质点i i 受力情况如何？受力情况如何？ 质点质点i i 受两种力作用，一种是外

5、力受两种力作用，一种是外力F Fi i（合外力），另一种是刚体中其它质点作用的内力（合外力），另一种是刚体中其它质点作用的内力 f fi i（合内力）。（合内力）。设：外力设：外力F Fi i 和内力和内力 f fi i 均在与均在与OzOz轴垂直的同一平面内。轴垂直的同一平面内。二二 转动定律转动定律第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量6iiiiamfF 由牛顿第二定律，质点由牛顿第二定律，质点 i i 的动力学方程为：的动力学方程为：以以 F Fit it 和和 f fit it 分别表示外力和合内力在质点轨道切向分别表示外力和合内力在

6、质点轨道切向的分力，那么质点的分力，那么质点i i 的沿切向的动力学方程为：的沿切向的动力学方程为：iiitiititrmamfF两边同乘以两边同乘以 r ri i ，得：，得：2iiitiitirmfrFrO Oz zmmi iiriFifitfitF第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量7式中：式中：F Fit it r ri i 是合外力是合外力F Fi 的对的对OzOz轴的力矩；轴的力矩；对于刚体上所有的质点，可得：对于刚体上所有的质点，可得：f fit it r ri i是内力是内力 f fi 对对OzOz轴的力矩。轴的力矩。故上式

7、左边为作用在质点故上式左边为作用在质点i i 上的外力矩与内力矩之和。上的外力矩与内力矩之和。2iiitiitirmfrFr)()()(2iiiiitiiitirmfrFrO Oz zmmi iiritfitF第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量8由于刚体内各质点间的内力对转轴的合力矩为零，即由于刚体内各质点间的内力对转轴的合力矩为零，即有：有：0)(itifr)(itiFrM)(2iirmM转动定律转动定律)()()(2iiiiitiiitirmfrFr)()(2iiiiitirmFr为刚体内所有质点所受的外力对转轴的力矩的代数和，为刚体

8、内所有质点所受的外力对转轴的力矩的代数和，即合力矩。即合力矩。第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量9得：得：2iirmJ对于绕定轴转动的刚体，对于绕定轴转动的刚体，J J 为一恒量。为一恒量。式中式中)(2iirmJM )(2iirmM转动定律转动定律是只与刚体的形状、质量以及转轴的位置有关，而与运动无关的因子，定义为刚体对轴的转动是只与刚体的形状、质量以及转轴的位置有关，而与运动无关的因子，定义为刚体对轴的转动惯量惯量第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量10JM JM牛顿第二定律是解决

9、质点运动问题的基本定律。牛顿第二定律是解决质点运动问题的基本定律。转动定律与牛顿第二定律的比较：转动定律与牛顿第二定律的比较：转动定律转动定律牛顿第二定律牛顿第二定律mFa 转动定律是解决刚体绕定轴转动问题的基本转动定律是解决刚体绕定轴转动问题的基本方程。方程。它们的形式很相似：外力矩它们的形式很相似：外力矩MM和外力和外力F F相对应，角加速度相对应，角加速度与加速度与加速度a a相对应，转动惯量相对应，转动惯量J J 与质量与质量 m m 相对应。相对应。刚体定轴转动定律：刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比刚体定轴转动定律：刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比 ，与刚

10、体的转动惯量，与刚体的转动惯量成反比成反比 .第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量11 转动惯量物理意义：转动惯性的量度转动惯量物理意义：转动惯性的量度. 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量mrrmJiiid22dm 质量元质量元注意：转动惯量的大小与刚体的密度、几何形状及转轴的位置有关，一般都要通过实验确定，只有注意：转动惯量的大小与刚体的密度、几何形状及转轴的位置有关，一般都要通过实验确定，只有质量分布均匀，形状典型的刚体的转动惯量才可以通过计算求得质量分布均匀，形状典型的刚体的转动惯量才可以通过计算求得.2iirmJ

11、三三 转动惯量转动惯量国际单位：国际单位：kgm2对质量离散分布刚体的转动惯量对质量离散分布刚体的转动惯量2222112rmrmrmJiii第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量122mdJJCO平行轴定理平行轴定理P96 表表4-1列出了一些均匀刚体的转动惯量列出了一些均匀刚体的转动惯量 . 质量为质量为m的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为 Jc，则对任一与该轴平行，相距为则对任一与该轴平行，相距为d 的转轴的转动惯量的转轴的转动惯量dCOm2221mRmRJP例：圆盘对例：圆盘对P 轴的转动惯量轴的转动惯

12、量RmO223mR（证明略）（证明略）P第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量13哪种握法转动惯量大？哪种握法转动惯量大？第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量14竿子长些还是短些较安全？竿子长些还是短些较安全？ 飞轮的质量为什么大都分布于外轮飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？缘？第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量15P96例例1 一个半径为一个半径为 R、质量为、质量为m的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有轻而细绳索，绳的一端固的定滑轮（

13、当作均匀圆盘）上面绕有轻而细绳索，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为定在滑轮边上，另一端挂一质量为m 的物体。忽略轴处摩擦，求物体的物体。忽略轴处摩擦，求物体 m下落时的加速度、绳中的下落时的加速度、绳中的张力和滑轮的角加速度。张力和滑轮的角加速度。Rommy yRoTmPTm解：解：受力分析受力分析运动分析运动分析0a建立坐标系建立坐标系注：转动（顺时针）和平动的坐标取向要注：转动（顺时针）和平动的坐标取向要一致一致.列方程列方程maTmg对物体对物体m，列牛顿方程，列牛顿方程221RmJRT对滑轮对滑轮m，根据转动定律，有，根据转动定律，有第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2

14、 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量16Rommy yRoTmPTm0amaTmg221RmJRT解得解得另有另有Ra TTmmmga22mmmgmT2Rmmmg)2(2第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量17P97例例2 有一半径为有一半径为R质量为质量为 m 匀质圆盘匀质圆盘, 以角速度以角速度0 0绕通过圆心垂直圆盘平面的轴转动绕通过圆心垂直圆盘平面的轴转动. .若有一个若有一个与圆盘大小相同的粗糙平面与圆盘大小相同的粗糙平面( (俗称刹车片俗称刹车片) )挤压此转动圆盘挤压此转动圆盘, ,故而有正压力故而有正压力N N 均

15、匀地作用在盘面上均匀地作用在盘面上, , 从从而使其转速逐渐变慢而使其转速逐渐变慢. .设正压力设正压力N N 和刹车片与圆盘间的摩擦系数和刹车片与圆盘间的摩擦系数均已被实验测出均已被实验测出. .试问经过多长时试问经过多长时间圆盘才停止转动间圆盘才停止转动? ? 在圆盘上取面积微元在圆盘上取面积微元, 面积元所受对转轴的摩擦力面积元所受对转轴的摩擦力矩大小矩大小rlRNrFrMfdddd2rl drdfFd刹车片刹车片解：解：0第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量18面积微元所受摩擦力矩面积微元所受摩擦力矩MMd圆盘所受摩擦力矩圆盘所受摩

16、擦力矩NR32以顺时针方向为正以顺时针方向为正,由转动定律可得圆盘角加速度由转动定律可得圆盘角加速度MRNJM43NmRt0043停止转动需时停止转动需时rlRNrFrMfdddd2rl drdfFd刹车片刹车片0rRlRrNr2002ddRRrNr022d2第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量19mlo P98例例3 一长为一长为 l 质量为质量为 m的匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链的匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动相接，并可绕其转动. 由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在

17、重力作用下由静止由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链开始绕铰链O 转动转动.试计算细杆转动到与竖直线成试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度角时的角加速度和角速度.Jmglsin21NFP2l解：解：NF和铰链对细杆的约束力和铰链对细杆的约束力受力：细杆受重力受力：细杆受重力P由转动定律得由转动定律得式中式中231mlJ 第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量20t dd得得sin23lg00dsin23dlg)cos1 (3lg231sin21mlmglmloNFP2lt

18、dddddd得得第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量21JM 本节小结：本节小结：刚体定轴转动定律：刚体定轴转动的角加速度与刚体定轴转动定律：刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比它所受的合外力矩成正比 ，与刚体的转动惯量成，与刚体的转动惯量成反比反比 .2iirmJ刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量本节结本节结束束FrM一、力矩一、力矩二、转动定律二、转动定律OPdrFM三、转动惯量三、转动惯量四、平行轴定理四、平行轴定理J JJ JC Cmdmd2 2第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转

19、动惯量转动惯量22CgmfFCaNxy* *P98例例4 如图一斜面长如图一斜面长 l = 1.5m, 与水平面的夹角与水平面的夹角= 5o. 有两个物体分别静止地位于斜面的顶端有两个物体分别静止地位于斜面的顶端, 然后由顶端沿斜面向下滚动然后由顶端沿斜面向下滚动, 一个物体是质量一个物体是质量 m1 = 0.65kg、半径为、半径为R1 的实心圆柱体的实心圆柱体, 另一物体是另一物体是质量为质量为 m2 = 0.13 kg 、半径、半径 R2 = R1 = R 的薄壁圆柱筒的薄壁圆柱筒. 它们分别由斜面顶端滚到斜面底部各经历多它们分别由斜面顶端滚到斜面底部各经历多长时间长时间?物体由斜面顶端

20、滚下物体由斜面顶端滚下, 可视为质心的可视为质心的平动和相对质心的滚动两种运动合成平动和相对质心的滚动两种运动合成.解：解：第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量23质心运动方程质心运动方程CmaFmgfsin转动定律转动定律JRFfRaaC角量、线量关系角量、线量关系2sinRJamgmaJmRmgRa22sinCgmfFCaNxy圆柱圆柱2121mRJ 薄壁圆柱筒薄壁圆柱筒22mRJ 第四章第四章 刚体转动刚体转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量24JmRmgRa22sin3sin21ga 2sin2ga )(