定积分的应用

1、第十章定积分的应用(12 学时 )§1 平面图形的面积教学目的要求 :能熟练的将各种形式表示的曲线所围成的图形抽象成为不定积分，并计算出它们的面积.教学重点难点 :重点是计算由各种形式表示的曲线所围成的图形的面积.难点是参数方程和极坐标方程表示的曲线所围成的图形的面积的计算.学时安排 :2 学时教学过程 :b一、积分f ( x) dx 的几何意义a我们讲过，若 fC a,b 且 f (x) 0b，则定积分f ( x)dx 表示由连线曲线y=f(x) ，以及直线 x=a,b 和ax 轴所围成的曲边梯形的面积。当bbf ( x)dx <0时，定积分表示的是负面积，即f (x)dx

2、表示的是 f 在 a,baa552sin xdx (sin xdxsin xdx321 。若计算 sinx 在上的正负面积代数和。例如22 sin xdx)0025552sin x dx( sin xdx2 sin xdx)325 。0， 上的面积，则变为2sin xdx2002二、 f(x) ， g(x) 在 a,b 上所围的面积由几何意义得 Sbbg( x)dxbaf (x)dx f (x) g ( x)dx ，该式当 f(x) 和 g(x) 可判断大小的情况下aab| f (x)g( x) | dx 。如果 f(x) 和 g(x) 有在积分区域 a,b适合，但 f(x) 和 g(x) 无

3、法判断大小时，要修改为Sa内交点，设为 x1, x2 ，且 x1 x2，则 Sbx2g (x) | dx 。所以此时求 f(x) 和 g(x)a| f (x) g( x) | dx| f ( x)x1在 a,b 上的面积，即为f(x) 和 g(x) 所围成的面积，要先求出交点，作为它们的积分区域。例 1、求 yx2 ， xy2 所围的面积 S。例 2、求 ysin x 、 ycosx 在 0,2 上所围图形的面积。例3 、已知 yax2bx 通过点(1,2) 与 yx22 x 有个交点 x1 0 ，又a<0，求 y ax 2bx 与yx22x 所围的面积S，又问 a,b 为何值时， S

4、取最小值？例 4、求抛物线 y 22x 与直线 xy4 所围成的图形的面积。例 5、有一个椭圆柱形的油灌， 某长度为 l，底面是长轴为a，短轴为 b 的椭圆， 问油灌中油面高为h 时，油量是多少？（已知油的密度为）三、参数方程形式下的面积公式若所给的曲线方程为参数形式：xx(t)t），其中 y(x) 是连续函数， x(t) 是连续可微函y（y(t)数，且 x (t)0 且 x( )a ， x(xx(t )S 的公) b ，那么由，x 轴及直线 xa，x b 所围图形的面积yy(t)式为 S| y | dx(t ) 。（）xa(tsint )例 1、求旋轮线：（ a>0）一个拱与 x 轴所

5、围的图形的面积。y a(1 cost) x a cost例 2、求椭圆（ a>0， b>0 ）的面积S。yb sint四、极坐标下的面积公式设曲线的极坐标方程是： rr () ， r ( )C , ，则由曲线 rr ( ) ，射线及所围的扇形面积S等于 S1r 2 ( )d 。2例 1、求双纽线 r 22a2 cos 2所围图形面积S。例 2、求由 rsin 2 ， 0 3 3例 3、求三叶形成曲线rasin3，所决定的外层曲线和内层曲线之间的面积S。（ a>0）所围图形面积。§2 由平行截面面积求体积教学目的要求: 能熟练计算平行截面面积为已知的立体的体积和旋转体

6、的体积.教学重点难点: 重点是用定积分求体积. 难点把具体问题抽象成定积分 .学时安排 :2 学时教学过程 :一般体积公式：设一几何体夹在x a 和 xb（ a<b）这两个平行平面之间，用垂直于X 轴的平面去截此几何体，设载面与 X 轴交点为（ x，0），可得的截面面积为S（ x），如果 S(x)是 a,b 上的（ R）可积函数，则该几何体的体积V等于：VbS( x)dx 。a例 1、求底面积为S，高为 h 的斜柱体的体积 V 。例 2、求底面积为S，高为 h 的圆锥体的体积 V 。例 3、求由椭球面x2y 2z21 所围的几何体体积。 (a,b,c>0)a2b2c2§

7、3 平面曲线的弧长与曲率教学目的要求 : 能熟练计算平面曲线的弧长 .教学重点难点 : 重点是用定积分平面曲线的弧长. 难点弧长公式的证明 .学时安排 :2 学时教学过程 :一、平面曲线的弧长1、先建立曲线的长度（弧长）的概念一条线段的长度可直接度量，但一条曲线段的 “长度” 一般却不能直接度量， 因此需用不同的方法来求。设平面曲线C由参数方程xx(t)（t）给出，设 P t0 ,t1 ,L, tn 是 , 的一个划分yy(t) t0, tn ， 即t0t1Ltn，它们在曲线 C上所对应的点为 M0( x(t0 ), y(t0 ) ，M 1( x(t1), y(t1 ) ， M n(x(tn

8、), y(tn ) 。从端点 M 0开始用线段一次连接这些分点M 0， M 1 ， M n得到曲线的一条内接折线，用M i1M i 来表示 M i 1M i 的长度，则内接折线总长度为nnx(ti 1 )21) 2SnM i 1 M i( x(ti )( y(ti ) y(tii1i1曲线 C 的弧长 S 定义为内接折线的总长在pmaxVti0 时的极限：nn1) 21) 2SlimM i1M ilim( x(ti ) x(ti( y(ti )y(tip0 i 1p0i 1如果 S 存在且为有限，则称C 为可求长曲线。2、弧长公式设曲线 C：xx(t )（t），且 x(t ) ， y(t )

9、在 , 上可微且导数x (t ) ， y (t ) 在 , 上yy(t )可积，曲线 C 在 , 无自交点，则曲线C的弧长 S为：Sx 2 (t )y 2 (t)dtdx2dy2注：其它形式的弧长公式（ 1）设 yy( x) 在 a,b 上可微且导数y (x) 可积，则曲线 yy( x) （ a x b）的弧长 S 为：Sby ( x) dx1a（ 2）若曲线极坐标方程rr ( ) ，则当 r ( ) 在 ,上可微，且 r( ) 可积时，Sr 2r 2 dxx(t )（ 3）空间曲线yy(t)（tzz(t )），弧长 S 为Sx 2 (t ) y 2 (t ) z 2 (t )dt其中 x(t

10、) ，y(t) ， z(t)在, 上可微，导数 x (t ) ， y (t ) ， z (t ) 在 ,上可积且曲线 C 在 , 上无自交点。例 1、求圆周 xRcost ， yR sin t ， 0t 2的弧长 S。例 2、求抛物线 y1x2 ， 0x 1的弧长 S。例 3、求椭圆 x2y21（ b>a>0）的弧长 S。2a2b23、弧长的微分xx(t )t）是光滑曲线（ x (t ) ， y (t ) 在 ,连续且 x 2 (t ) y 2 (t)0 ）；且设 C：y(t)（y无自交点。若把公式中的积分上限改为 t，就得到曲线C，由端点 M 0 到动点 M ( x(t), y(

11、t ) 的一段弧长。Sty 2 (t )dtx 2 (t )S (t ) 存在， dS(t)22由上限函数的可微性知dxdydSdx2dy2dtdtdt二、曲率1、平面曲线的曲率曲线的弯曲程度不仅与其切线方形的变化角度的大小有关，而且还与所考察的曲线的弧长S 有关，并且曲率与 V成正比，与 VS 成反比。即一般曲线的弯曲程度可用k?，其中 k ：曲线段 AB 的平均变S化率；?：曲线段 AB 上切线方向的角度；S ：曲线段 AB 的弧长。例 半径为 R 的圆： k1 。SSR R对于一般的曲线，如何刻画它在一点处的弯曲程度呢？klim，称为曲线在 A 点的曲率，即dlimkSVs 0SdSVs

12、 02、曲率的计算记 yy( x) 二阶可微，则在点x 处的曲率为：因为 tgy ，arctgy ，所以 dy2dy2 dx ，又因为 dS1 y 2 dx 所以dx1 y1 ykdydS1y 2 3/ 2例 1、求 y1x2 在任一点的曲率。23、曲率圆和曲率半径过点（ x， y(x) ）且与y y（ x）在该点有相同的一阶及二阶导数的圆( xa) 2( yb) 2R2 称为曲率圆。曲率圆的中心和半径分别称为曲率中心和曲率半径。如何求曲线上一点（x， y(x) ）处的曲率圆呢？因为 R1， ky，则（ a,b）在过（ x，y(x) ）的法线上：Yy( x)1( X x) 。ky 2 3/ 2y ( x)1例 求 y1 x2 在点（