2019八年级数学下册专题提升三以特殊平行四边形为背景的计算与证明同步练习新版浙教版1

1、专题提升三 以特殊平行四边形为背景的计算与证明类型一 特殊平行四边形的阅读理解问题1. 阅读下列材料：我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则称这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形如正方形就是和谐四边形.结合阅读材料，完成下列问题：（1）下列哪个四边形一定是和谐四边形（ ） A 平行四边形 B 矩形 C 菱形 D 以上答案都不对（2）如图，等腰RtABD中，BAD=90°. 若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB=BC，请直接写出ABC的度数.2 一张长方形纸片，剪下一个正方形，剩下一个长方形，称为第一次操作；在剩下的矩

2、形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形 如图1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形（1）判断与操作：如图2，矩形ABCD长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由（2）探究与计算：已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a20），且它是3阶奇异矩形，请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值3. 如图，ABC中，已知BAC45°，ADBC于D，BD2，DC3，求AD的长.小萍同学灵活运用轴

3、对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：（1）分别以AB、AC为对称轴，画出ABD、ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，求证：四边形AEGF是正方形；（2）设AD=x，建立关于x的方程模型，求出x的值.类型二 特殊平行四边形的探究性问题4. 如图，ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的外角平分线CF于点F，交ACB内角平分线CE于E（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想ABC的

4、形状并证明你的结论.5. 翻阅第四章同步，我们曾做过以下题目：在此基础上，思考并解答以下新问题：（1）当BAC60°时，四边形ADEF是平行四边形吗？请说明理由；（2）当ABC满足什么条件，四边形ADEF是菱形？请说明理由；（3）当ABC满足什么条件，四边形ADEF是矩形？请说明理由；（4）当ABC满足什么条件，四边形ADEF是正方形？请说明理由.6. （1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DFBE. 求证：CECF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果GCE45°，请你利用（1）的结论证明：GEBEGD

5、；（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在四边形ABCD中，ADBC，（BC>AD），B90°，ABBC，E是AB上一点，且DCE45°，BE4，DE10，求四边形ABCD的面积7 如图，已知在RtABC中，ABC=90°，C=30°，AC=12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0t6），过点D作DFBC于点F（1）试用含t的式子表示AE、AD的长；（2）如图1，在D、E运动的过程中，四边形AEFD是平行四边形，请说明理由；（3）

6、如图2，连结DE，当t为何值时，DEF为直角三角形？（4）如图3，将ADE沿DE翻折得到ADE，试问当t为何值时，四边形AEAD为菱形？ 8. 如图，ABCD，点E，F分别在AB，CD上，连结EF，AEF、CFE的平分线交于点G，BEF、DFE的平分线交于点H.（1）求证：四边形EGFH是矩形；（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过G作MNEF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQEF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框中补全他的证明思路.由ABCD，MNEF，PQEF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证MNQP是菱形，只

7、要证MN=NQ，由已知条件 ，MNEF，故只要证GM=FQ，即证MGEQFH，易证 、 . 故只要证MGE=QFH，易证MGE=GEF，QFH=EFH， ，即可得证.参考答案专题提升三 以特殊平行四边形为背景的计算与证明1. （1）C 【点拨】根据和谐四边形定义，平行四边形，矩形，等腰梯形的对角线不能把四边形分成两个等腰三角形，菱形的一条对角线能把四边形分成两个等腰三角形 故选C.（2）等腰RtABD中，BAD=90°，AB=AD. AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB=BC，分三种情况讨论：若AD=CD，如图1，则凸四边形ABCD是正方形，ABC=90°；若AD=AC，

8、如图2，则AB=AC=BC，ABC是等边三角形，ABC=60°；若AC=DC，如图3，则可求ABC=150°.2. （1）矩形ABCD是3阶奇异矩形，裁剪线的示意图如下：（2）裁剪线的示意图如下： 3. （1）证明：由题意可得：ABDABE，ACDACF DAB=EAB，DAC=FAC，又BAC=45°，EAF=90° 又ADBC，E=ADB=90°，F=ADC=90° 四边形AEGF是矩形，又AE=AD，AF=AD，AE=AF 矩形AEGF是正方形（2）设AD=x，则AE=EG=GF=x BD=2，DC=3，BE=2，CF=3，BG

9、=x-2，CG=x-3，在RtBGC中，BG2+CG2=BC2，（x-2）2+（x-3）2=52 化简得，x2-5x-6=0，解得x1=6，x2=-1（舍去），所以AD=x=64. （1）CE平分ACB，ACE=BCE，MNBC，OEC=ECB，OEC=OCE，OE=OC，同理，OC=OF，OE=OF；（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形 如图AO=CO，EO=FO，四边形AECF为平行四边形，设ABC的外角为ACG，CE平分ACB，ACE=ACB，同理，ACF=ACG，ECF=ACE+ACF=（ACB+ACG）=×180°=90°，四边形AECF

10、是矩形；（3）ABC是直角三角形，四边形AECF是正方形，ACEN，故AOM=90°，MNBC，BCA=AOM，BCA=90°，ABC是直角三角形5. （1）不是，此时FAD180°，四边形FAED将变成一线段；（2）当ABC满足ABAC且BAC60°时，四边形ADEF是菱形，理由略；（3）当ABC满足BAC150°时，四边形ADEF是矩形，理由略；（4）当ABC满足ABAC且BAC150°时，四边形ADEF是正方形，理由略.6. （1）四边形ABCD是正方形，BCCD，BCDF90°，BEDF，CBECDF（SAS） CE

11、CF.（2）证明：如图1，延长AD至F，使DFBE，连结CF. 由（1）知CBECDF，BCEDCF. BCEECDDCFECD，即ECFBCD90°，又GCE45°，GCFGCE45°. CECF，GCGC，ECGFCG.GEGF，GEGFDFGDBEGD.（3）如图2，过C作CGAD，交AD延长线于G. 在四边形ABCD中，ADBC，AB90°，又CGA90°，ABBC，四边形ABCG为正方形 AGBC. DCE45°，根据（1）（2）可知，EDBEDG. 104DG，即DG6. 设ABx，则AEx4，ADx6，在RtAED中，D

12、E2AD2AE2，即102（x6）2（x4）2. 得：x12或x2（舍去） AB12. S梯形ABCD（ADBC）·AB×（612）×12108. 即四边形ABCD的面积为108.7. （1）AE=t，AD=12-2t.（2）DFBC，C=30°，DF=CD=×2t=t. AE=t，DF=AE. ABC=90°，DFBC，DFAE. 四边形AEFD是平行四边形.（3）显然DFE90°. 如图1，当EDF=90°时，四边形EBFD为矩形，此时AE=AD，t（12-2t）. t=3. 如图2，当DEF=90°

13、时，此时ADE=90°，AED=90°-A=30°.AD=AE. 12-2tt. t.综上：当t=3秒或t秒时，DEF为直角三角形.（4）如图3，若四边形AEAD为菱形，则AE=AD. t=12-2t. t=4. 当t=4秒时，四边形AEAD为菱形.8. （1）证明：EH平分BEF，FEH=BEF，FH平分DFE，EFH=DFE，ABCD，BEF+DFE=180°，FEH+EFH=（BEF+DFE）=×180°=90°，FEH+EFH+EHF=180°，EHF=180°-（FEH+EFH）=180°-90°=90，同理可得：EGF=90°，EG平分AEF，GEF=AEF，EH平分BEF，FEH=BEF，点A、E、B在同一条直线上，AEB=180°，FEG+FEH=（AEF+BEF）=