基于图形计算器的教学设计案例

1、基于图形计算器的教学设计案例借助图形计算器 研究函数的图像与性质执教：杨一奋（江苏省常州市第五中学）【教学内容及解析】函数既是高中数学中的重要内容也是一条纽带，函数的观点和方法贯穿整个高中数学的全过程又把中学数学的各个分支紧紧连在一起。近几年高考试题中，函数部分占有相当大比重，所考察内容主要有函数定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、以及函数图像的变换等。对于函数这些性质，学生除了牢固掌握外还必须会灵活应用，并通过它们研究函数性质。普通高中课程标准实验教科书数学的编排也基本是按照这几个方面直线编排，但学生学习后总觉得各部分是孤立的，对其整体理解很欠缺，因此有必要设置一个载体，实现知识点间的横向

2、联系，让学生自主研究。本课教学重点：函数图像的猜想、验证，函数单调性、值域的归纳及验证，让学生掌握研究方法也是这节课的重点内容。在系统学习过必修一中的指数函数、对数函数及幂函数后，学生的函数知识掌握情况及函数的意识如何，需要通过新的函数研究加以检验；本课例选用对勾函数作为研究对象，一是因为对勾函数作为一种常见而又特殊的函数，其单调性较基本初等函数复杂，同时涉及到多种类型（本课时限定为研究），对学生而言有一定难度和挑战，却也是检测学生函数意识的较好载体。通过对函数图像的猜想，利用图形计算器验证图像，实现从数到形，从形到数的完美结合，让学生充分感觉数形结合思想的重要性；运用类比思想，找到研究方案，

3、结合图像，归纳新函数性质，再用代数方法证明性质考虑到学生缺少基本不等式及导数的知识准备，在考察对勾函数的极值点（本文称为“转折点”）时会遇到一定的困难，因此选用了图形计算器作为研究工具。【教学目标及解析】 (一)教学目标1、技术操作层面：掌握图形计算器中“表格”、“图形”、“动态图形”等模块的基本操作命令，能利用函数分析等命令自行进行数学观察和思考。2、知识和能力层面：拓宽学生的函数视野，结合基本函数的学习类比得出对勾函数的研究方案；在直观观察和理性论证中认识数学学科的两个侧面，从而提升数学研究能力特别是以技术为工具来研究数学。3、学习信念和方式层面：在应用技术工具的过程中，从向书本学数学走向

4、应用技术工具研究数学；在合作交流分享中形成思维的碰撞，在质疑、验证中提升数学思维水平的层次。 (二)目标解析1、正确理解信息技术的作用，合理恰到好处地使用技术；研究过程中不是仅依赖于图形计算器，也注意合情推理，充分用技术手段帮助探究或验证并与逻辑论证有机融合。2、学生通过自己的分析掌握了一个新函数的性质和图像，体会并掌握研究一个新函数的一般程序和方法。通过回顾已有的知识和解决问题的经验，用类比、联想、特殊化等展开研究。3、学生共同探讨解决新问题的教学方式在一定程度上增强了自主学习的积极性，问题的解决帮助学生树立了信心。【教学问题诊断分析】本课例授课对象为高一学生，在普通高中课程标准实验教科书数

5、学必修一中他们已经系统研究过指数函数、对数函数及幂函数，对函数研究的一般范式比较清楚，但学生缺少必修四中三角函数、必修五中基本不等式以及选修模块中导数的知识准备，在考察对勾函数的极值点时会遇到一定的困难，需要作好一定的铺垫和准备；此外课例的顺利进行对学生的图形计算器素养有一定的依赖性，前提是学生能象应用纸笔一样熟练地利用技术工具开展研究性学习，需要在课前通过具体案例的方式对学生作半小时以上的技术应用操作培训。按教材编排和高考要求分别讲完函数定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、周期性等，对于各知识点的单独考察，学生已具备一定能力，能解比较直观地解题，但高考考察越来越偏向于思维的灵活性，而不仅仅

6、是对于基础知识点的考察，学生缺乏的就是这方面的能力，缺乏知识点间的横向联系，因此有必要在课堂上时时给学生渗透这种意识，教他们将各支节有机的结合起来的思路和方法，逐渐养成自我独立思考问题解决问题的能力。学生感受了从特殊到一般的，提炼规律的整个过程，并体验到独立解决问题的成就感和自豪感。通过对问题的探讨与研究，学生克服畏难情绪，培养数学研究的信心。教学难点：函数单调性的归纳及验证，特别是图像“转折点”的认识。充分用技术手段，借助CASIO fx-CG20帮助探究或验证。【教学策略分析】从教学策略上来讲，需将教师的示范演示讲解与学生的操作交流相结合，其重点在于学生的操作和交流分享，引导学生结合图像的

7、观察归纳出函数的性质。需特别关注学生研究思路的构建，即：分析实际问题建立函数模型图像直观获得性质（具体经历了“从简单、熟悉的情况入手想象图像叠加效果，猜想变化趋势用图形计算器作图并观察抓住关键点（图像的转折点），由图像说性质”的过程）代数方法证明性质；在研究对象上，安排了从特殊（等）到一般（）的概括过程。通过设计恰时恰点的问题引导学生从特殊到一般地展开函数性质的研究；教学过程中安排学生充分、有效活动，提高思维参与程度；学生在研究过程中学会了用已学知识解决实际问题，极大地增强学生学习的主动性、思维的自主性和对思考过程进行调控的自觉性。【教学支持条件分析】1、掌握CASIO fx-CG20图形计算

8、器中“表格”、“图形”等模块的基本操作命令，作函数的图像并找极小值点，能利用函数分析等命令自行进行数学观察和思考。2、 掌握CASIO fx-CG20图形计算器中“动态图形”模块的基本操作命令，发现函数、的图像交点即为的“转折点”；3、动态演示a的不同取值下的图像，以强化学生对函数图像与性质的整体认知。运用图形计算器的动态作图功能，我们可以较形象地对一族的函数来加以研究（其他类型作类似研究），这是图形计算器的优势所在。【教学过程设计】一、情境创设，引出课题问题：学校准备建造一个长方形花坛，面积为16平方米，由于周围环境的限制，每边的长度均不能超过8米，也不能少于2米，求花坛的长与宽两边之和的最

9、小值与最大值。生1：设花坛一边长为米，则另一边为米长与宽之和为.师：如何求的最大最小值？生1：可以视为一新的函数，即.师：你熟悉这个函数吗？面对一新的函数模型，我们如何开展研究？生2：画出函数图像，结合图像研究性质。师：回顾前面指数函数、对数函数及幂函数的研究过程，可以发现从图形到性质是函数学习的基本模式，那么如何画出函数图像呢？生3：列表、描点、连线。师：这个思路是研究函数我们采取的一般思路，图1但操作费时、费力，有更简便的方法吗？生4：用图形计算器。赞同！【设计意图】由学生发现、提出用图形计算器来研究函数。师：从形式上看，这个函数与你熟悉的哪些函数有关？能不能先大致想象一下图像的形状？我们

10、应该注意到的解析式是由我们熟知的两个函数构成的（不妨称为和的叠加），那么我们是否可以对叠加效果进行预测，由此入手研究新函数的图像呢？教师在同一坐标系中作出函数和图像，在让学生想象函数的图像的叠加效果时，做这样的引导：当x0时，随着x的无限增大，怎样变化？怎样变化？对图像的变化趋势你有什么想法？类似地，当x无限地趋近于0时，你又有什么想法？引导学生分析：轴右侧开始递减速度快于递增速度，故新函数的变化趋势开始为递减；但后来却是递减速度慢于递增速度，这样的变化趋势从递减变为递增。轴左侧可作同样的探讨，于是猜想的图像如图1中虚线所示。师：通过以上分析我们猜测出函数图像的变化趋势（实际上就是函数的单调性

11、的锥形），那么我们的猜测是否正确呢？有什么方式加以检测呢？学生（皆不约而同地举起手中的图形计算器）：用工具。图2【设计意图】培养猜想能力，为后续猜想极值点铺垫；这样的引导可以让学生发现直线y=x的作用（渐近线），对于学生把握函数的变化趋势非常有利。二、操作实验，归纳性质1、操作活动：在图形计算器环境中研究函数的图像及性质如图2，在“图形”模块中画出函数的图像，借助于“图解”菜单中的“追踪”命令感受函数值的变化趋势，并利用“极大极小值”命令锁定函数图像变化的“转折点”。师：图形计算器帮助我们画出了的准确图像，也验证了我们前面猜测的正确性；那么由图像如何归纳函数的性质呢？一般情况我们从哪几方面加以

12、思考呢？生：类比先前函数的研究过程，可以从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性几方面展开。【设计意图】具体操作，演示作图步骤，教师引导学生用类比思想回顾必修一中所研究的具体函数，明确课题研究任务在于借助图像研究函数性质，即完成下表。师生一起读图，列表、填表：性质分类函数的性质定义域值域奇偶性奇函数，图像关于原点中心对称单调性函数在上递增，上递减；在上递减，在上递增【设计意图】此环节一方面让学生明确所学知识的有用性，明确课题研究的方向，同时通过师生的共同操作，熟悉数学研究环境。2、推广研究：从的研究经验出发，迁移到类似函数的认识，研究过程为：从、的叠加角度猜测的图像图形计算器中绘制的图像归纳的性

13、质（在前表基础上用彩色笔修改填表）。师：比较和的性质，它们有何异同？生1：定义域、奇偶性相同。生2：图像变化趋势相似，只是区间的端点值不一致。生3：值域也不一样，但与单调性有直接关联。师：单调区间的端点我们不妨称之为“转折点”，“转折点”与函数解析式的关系如何，我们需要进一步深入研究。【设计意图】让学生发现填表中最关键的信息是：单调区间端点值。3、 深入探讨：首先学生以小组合作的方式进行数学实验，一位同学负责图形计算器操作（输入不同的函数解析式，如、等，操作确认相应的“转折点”），另一位同学负责记录（完成表格的填写，不失一般性仅限于轴右侧的“转折点”），通过丰富案例的列举归纳函数“转折点”与函

14、数解析式的关联规律。 【设计意图】为学生后继活动作一个样式：抓住转折点（极小值点）进行研究，使学生做有方向。填表：函数转折点【设计意图】具体操作时，要求学生尽可能多罗列具体函数事例，这样一方面方便归纳比较，更多的作用在于让学生脑海里有更多的数学现实。图3其次通过班级层面的共享交流，得出结论：函数的“转折点”为。从而进一步确认相应函数的单调性及值域。【设计意图】结合图形计算器作出的图像，在联系旧知识的过程中揭示课题，并在图形计算器中的动态图中进一步加强图像意识。（投影图像与性质）再次回到函数叠加的角度思考的图像，发现函数、的图像交点处即为的“转折点”（如图3）。【设计意图】叠加函数的观察重点是思

15、考图像的变化，可考虑分步完成，先想象后验证。三、揭示课题，理论建构师：上述研究形如的函数，我们通常称之为对勾函数，由图像得名，又被称为“双勾函数”、或“耐克函数”等。师生一起归纳函数性质，并投影下表：性质分类函数性质定义域值域奇偶性奇函数，图像关于原点中心对称单调性函数在上递增，上递减；在上递减，在上递增图4教师通过动态图的演示进一步强化学生对对勾函数图像与性质的整体认知，如图4，图形计算器显示屏不但可以清晰呈现函数图像，而且依稀可见渐近线的影子，而函数图像是双曲线也“呼之欲出”，为课堂研究的拓展留下余地。师：我们通过图像的观察得出了函数的性质，但图像的性质正确与否还需要得到数学的验证。学生简

16、述奇偶性、单调性的证明思路后，教师板演值域的证明过程如下：【设计意图】考虑到数学思维的严密性、连续性，决定不解题，而是进行理论证明。方法一、（利用单调性）在上递减，在上递增时，时，由奇函数的性质可知，方法二、（利用不等式性质）等号成立当且仅当 时由奇函数的性质可知：四、学以致用、解决问题学生应用所学知识解决情境设计中的现实问题，教师巡视以纠正学生可能存在的不规范书写格式。【设计意图】注重应用题规范书写。五、课时小结、提炼方法1、今天研究了的图像与性质，你认为还会有哪些其他形式的类似函数？【设计意图】引导学生进一步地思考：一般函数的性质（提示：按的符号不同进行分类，亦可从的角度进行思考）；2、如何进行研究？大量举例，作图、归纳共性。用“归纳猜想验证”的方法【设计意图】类比本课的研究过程，阐述方法。六、布置作业、拓展提升教师引导学生回顾研究进程，揭示从猜想到验证、从模糊走向清晰的过程中图形计算器的工具作用，并引导学生思考进一步的研究方向：的图像与性质；一般对勾函数的性质，一方