中考数学试题分类32圆的有关性质

1、第32章圆的有关性质一、选择题1. （2011广东湛江16,4分）如图，度.【答案】602. （2011安徽，7,4分）如图，O则劣弧BC的长是（）兀2A-5B-5兀庆是。上的三点，BAC30,则BOC.JL1Jjr/。的半径是1,A、B、C是圆周上的三点，/BAC=36°,C.|欠D.4欠B3.（2011福建福州，9,4分）如图2,以。为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点C,若AOB120o,则大圆半径A.RV3rR与小圆半径r之间满足（B.RD.R272r4.（2011山东泰安，10 , 3分）如图，O。的弦AB垂直平分半径oc,若 ab=V6,则。oB.2 .1 216

2、 吟的半径为（A.'2【答案】A5. （2011四川南充市，9,3分）在圆柱形油槽内装有一些油。截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（）（A）6分米（B）8分米（C）10分米（D）12分米【答案】C6. （2011浙江衢州，1,3分）一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m,测得圆周角ACB45,则这个人工湖的直径AD为（）A.50.2mB.100,2mC.150.2mD.200.2m【答案】B7. （2011浙江绍兴，4, 4分）如图,AB为e O的直径，点C在e O上，若 C 16则B

3、OC的度数是（）A. 74B. 48C. 32D. 168. （2011浙江绍兴，6,4分）一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径OB10,截面圆圆心O到水面的距离OC是6,则水面宽人8是（）.109. （2011浙江省，5,3分）如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（）A. 12个单位B. 10个单位 个单位 D. 15个单位10. （2011四川重庆，6,4分）如图，O。是4ABC的外接圆，/OCB=40°则/A的度数等于（）A

4、. 60°B. 50D.30°【答案】B11. （2011浙江省嘉兴,C.406, 4分）如图，半径为 10的。O中，弦AB的长为16,则这条弦的弦心距为（）(A) 6(B) 8(D) 1212. （2011台湾台北，16）如图（六），BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分/BAD且交BD于F点。若/ADE=19，则/AFB的度数为何？A.97B.104C.116D.142【答案】C13. （2011台湾全区，24）如图（六），ABC的外接圆上，AB、BC、CA三弧的度数比为12:13:11.自BC上取一点D,过D分别作直线AC、直线AB的并行线

5、，且交BC于E、F两点，则/EDF的度数为何?D梅1六|B. 60C. 65D. 70【答案】c14.（2011甘肃兰州，12,4分）如图，OO过点B、C,圆心O在等腰RtAABC的内部,/BAC=90,OA=1,BC=6。则。的半径为A. 6B. 1315.（2011四川成都，7,3分）如图，若AB是。的直径，CD是。的弦，/ABD=58°,则/BCD=(B)(A)116°(B)32°(C)58°(D)64【答案】B16.（2011四川内江，9,3分）如图，O。是4ABC的外接圆，/BAC=60°,若。的半径OC为2,则弦BC的长为A.1B.

6、73C.2D,273【答案】D17.（2011江苏南京，6,2分）如图，在平面直角坐标系中，OP的圆心是（2,a）（a>2）,半径为2,函数y=x的图象被。P的弦AB的长为2J3,则a的值是A.273B.22近C.273D.273【答案】B1.18.（2011江苏南通，8,3分）如图，。的弦AB=8,M是AB的中点，且OM=3,则。O的半径等于19.A. 8(2011山东临沂,垂足为B. 2D. 5C. 106, 3分）如图，O O的直径 CD = 5cm, AB是。的弦，AB ± CD ,OD = 3: 5,则AB的长是（D . 2 21 cm20.（2011上海，6,4分）

7、矩形ABCD中，AB=8,BC3J5,点P在边AB上，且BP).（A）点B、C均在圆P外;（B）点B在圆P外、点C在圆P内;=3AP,如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（C）点B在圆P内、点C在圆P外；（D）点B、C均在圆P内.【答案】C21.（2011四川乐山6,3分）如图（3）,CD是。O的弦，直径AB过CD的中点M,若/BOC=40,贝叱ABD=A. 4022. （2011四川凉山州，9, 4分）如图,AOB 100°，点C在e O上，且点C不与A、B重合，则ACB的度数为（）A. 50° B, 80°或 50°C. 13

8、0° D. 50° 或 130°23.（2011广东肇庆，7,3分）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若/BAD=105°,则/DCE的大小是24.25.26.A.115°B.105°（2011内蒙古乌兰察布，93分）如图,C.100°D.95°AB为。O的直径，CD为弦，AB±CD,如果/BOC=700，那么/A的度数为A.70B.35C.30D.20（2011重庆市潼南，3,4分）度数为A.15°B.30如图，AB为。的直径，点C在。上，/A=30°,则/B

9、的（2011浙江省舟山，6,3分）的弦心距为（C.45D.60(A)6(B)8如图，半径为10的。O中，弦AB的长为16,则这条弦(C)10(D)12（第6题）、填空题1. （2011浙江省舟山，15,4分）如图，AB是半圆直径，半径OCLAB于点O,AD平分/CAB交弧BC于点D,连结CD、OD,给出以下四个结论：AC/OD;CEOE；ODEsADO；2CD2CEAB,其中正确结论的序号是C（第16题）【答案】2. （2011安徽，13,5分）如图，O。的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为巳且AB=CD,已知CE=1,ED=3,则。O的半径是【答案】.'53. （2011江苏扬州，15

10、,3分）如图，30的弦CD与直径AB相交，若/BAD=50°,则/ACD=【答案】404. （2011山东日照，14,4分）如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF,则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是【答案】如：x2-%；5x+1=0;5. （2011山东泰安，23,3分）如图，PA与。相切，切点为A,PO交。O于点C,点B是优弧CBA上一点，若/ABC=32°，则/P的度数为。【答案】2606. （2011山东威海，15,3分）如图，OO的直径AB与弦CD相交于点E,若AE=5,BE=1,CD42,则/AED=.A【答案】30°7.

11、 （2011山东烟台，16,4分）如图，ABC的外心坐标是【答案】（2,1）8. （2011浙江杭州，14,4）如图，点A,B,C,D都在。上，的度数等于84°,CA是/OCD的平分线，则/ABD十/CAO=【答案】53°9. （2011浙江温州，14,5分）如图，AB是。的直径，点C,D都在。上，连结CA,CB,DC,DB.已知/D=30°,BC=3,则AB的长是.A-、（第14题图）10. （2011浙江省嘉兴，16,5分）如图，AB是半圆直径，半径OCLAB于点O,AD平分/CAB分别交OC于点E,交弧BC于点D,连结CD、OD,给出以下四个结论：Ssec=

12、2S”eo；AC=2CD;线段OD是DE与DA的比例中项；2CD2CEAB.其中正确结论的序号是【答案】11. （2011福建泉州，16,4分）已知三角形的三边长分别为3,4,5,则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是.（写出符合的一种情况即可）【答案】2（符合答案即可）12. （2011甘肃兰州，16,4分）如图，OB是。的半径，点C、D在OO±,/DCB=27,贝U/OBD=度。【答案】63°13. （2011湖南常德，7,3分）如图2,已知。是ABC的外接圆，且/C=70°,则/OAB【答案】20°14. （2011江苏连云港，15,3

13、分）如图，点D为边AC上一点，点O为边AB上一点，AD=DO.以O为圆心，OD长为半径作半圆，交AC于另一点E,交AB于点F,G,连接EF.若/BAC=22o,贝U/EFG=15. （2011四川广安,19, 3分）如图3所示，若。的半径为13cm,点p是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离为5 cm,则弦AB的长为 cm【答案】2416. ( 2011重庆江津,16, 4分）已知如图，在圆内接四边形 ABCD中,/ B=30o,则/ D=-第16题图【答案】150°17. （2011重庆某江，13,4分）如图，已知AB为。的直径，/CAB=30°,则/D=B【答案】：60&

14、#176;18. （2011江西南昌，13,3分）如图，在ABC中，点P是ABC的内心，则/PBC+/PCA+/PAB=度.【答案】9019. （2011江苏南京，13,2分）如图，海边有两座灯塔A、B,暗礁分布在经过A、B两点的弓形（弓形的弧是。的一部分）区域内，/AOB=80,为了避免触礁，轮船P与A、B的张角/APB的最大值为1【答案】4020. （2011上海，17,4分）如图，AB、AC都是圆O的弦，OMAB,ON±AC,垂足分别为M、N,如果MN=3,那么BC=.C【答案】621. （2011江苏无锡，18,2分）如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半

15、轴于点C,D为第一象限内。O上的一点，若/DAB=20°,则/OCD=CO（第18题）DB XA【答案】6522. （2011湖北黄石，14,3分）如图（5）,AABC内接于圆O,若/B=J3,则。O的直径为。【答案】2,323. （2011湖南衡阳，16,3分）如图，OO的直径CD过弦EF的中点G,/EOD=40°,则/FCD的度数为【答案】2024. （2011湖南永州，8,3分）如图，在OO中，直径CD垂直弦AB于点巳连接OB,CB,已知。O的半径为2,AB=2/3，则/BCD=度.C【答案】3025. （20011江苏镇江，15,2分）如图，DE是。O的直径，弦AB

16、LDE,垂足为C,若AB=6,CE=1,则OC=,CD=答案：4,926. （2011内蒙古乌兰察布，14,4分）如图，BE是半径为6的。D的圆周，C点是Be4上的任意一点，4ABD是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是第14题图【答案】18p186.227. （2011河北，16,3分）如图7,点O为优弧ACB所在圆的圆心，/AOC=108°,点D在AB的延长线上，BD=BC,贝U/D=_.28. （2011湖北荆州，12, 4分）如图,O O是4ABC的外接圆，CD是直径，/ B = 40°,则/ACD的度数是【答案】50°三、解答题1.（2011

17、浙江金华，21,8分）如图，射线PG平分/EPF,O为射线PG上一点，以。为圆心，10为半径作。，分别与/EPF两边相交于A、B和C、D,连结OA,此时有OA/PE.（1）求证：AP=AO;（2）若弦AB=12,求tan/OPB的值；（3）若以图中已标明的点（即P、A、B、C、D、O）构造四边形，则能构成菱形的四个点为,能构成等腰梯形的四个点为或或.证明：（1）PG平分/EPF,./DPO=/BPO1OH1222222OA-xxxAHOHOA(2x10)x10x10x282分2PH2(写对1个、2个、3个得1分，写对4个得2分)2.(2011浙江金华，24,12分)如图，在平面直角坐标系中，点

18、A(10,0),以OA为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上的一动点，连ZOB、AB,并延长AB至点D,使DB=AB,过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F,点E为垂足，连结CF.(1)当/AOB=30°时，求弧AB的长；(2)当DE=8时，求线段EF的长；(3)在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)连结BC,A(10,0),.,.OA=10,CA=5,./AOB=30°,./ACB=2/AOB=60°,弧AB的长二臾180(2)连结OD,OA是。C直径，/

19、OBA=90°,又AB=BD,OB是AD的垂直平分线,oOD=OA=10,在RtAODE中,OE=.OD2DE2102826,.AE=AOOE=10-6=4,由ZAOB=ZADE=90°-ZOAB,/OEF=/DEA,得OEFsDEA,AEEFDEOE(3)设OE=x当交点E在O,EF八，EF=3;4分6C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与AOB相似，有/ECF=/BOA或/ECF=/OAB,当/ECF=/BOA时，此时OCF为等腰三角形，点，r5E为OC中点，即OE=-,Ei(：,0)；当/ECF=ZOAB时，有CE=5-x,AE=10-x,CF/AB,有CF=1A

20、B2，ecfaead,CECF5x一一，即AEAD10xE2(,0)；3110一,解得：x一434当交点E在点C的右侧时,/ECF>ZBOA,要使ECF与BAO相似，只能使/ECF=ZBAO,连结BE,BE为RtAADE斜边上的中线,BE=AB=BD,./BEA=ZBAO,./BEA=ZECF,CF / BE,CFBEPCOE/ECF=ZBAO,ZFEC=ZDEA=RtZ,CFCEADAE而AD=2BE,PCCE2OEAE5x5即2解得X2x10x5.174<0（舍去），''' E3，0)当交点E在点。的左侧时,./BOA=/EOF>ZECF.，要使E

21、CF与BAO相似，只能使/ECF=/BAO1一连结BE,得BE=AD=ab,/BEA=ZBAO2ECF=ZBEA,CF /BE,CFBEOCOE44又./ECF=ZBAO,ZFEC=ZDEA=RtZ,.CEFAAED,CECF而AD=2BE,AEOC2OEAD'CEAE5x+52x10+x解得Xi55.174X255.17人上<0（舍去），4点E在x轴负半轴上，0)55.17,E4(4综上所述:存在以点E、C、F为顶点的三角形与AOB相似，此时点E坐标为:Ei(r0)、E2103c、l55,17c、l5517c、,八0)、E3(,。)、E4(,0).4分3.当a5,当a4,(20

22、11山东德州与.ab的大小关系是b3时，-b4时，ab2b探究证明如图所示,ABC为圆。的内接三角形，AB为直径，过C作CDAB于 D,设 AD aBD=b.(1)分别用a,b表示线段OC,CD；(2)探求OC与CD表达式之间存在的关系(用含a, b的式子表示).叫纳结论根据上面的观察计算、探究证明，你能得出b与jab的大小关系是：2实践应用要制作面积为1平方米的长方形镜框,直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值.【答案】察at算：里也掠，2贷=.ab.探究证明:(1)QABADBD2OC,OCab3分2Qab为。直径,ACB90.QAACD90,ACDBCD90,.ZA=ZBCD.AC

23、DACBD.4分,ADCD.CDBD即CD2ADBDab,.CDTab.5分(2)当ab时,OCCD,-=Vab；2ab时，OCCD,a-b>7ab.6分2吉论3纳：a-bjab.7分2实践应用1设长方形一边长为x米,则另一边长为1米，设镜框周长为l米，则xl2(x-)2.，x-4.9分xIx-1当x,即x1(米)时，镜框周长最小.x此时四边形为正方形时，周长最小为4米.10分4. (2011山东济宁，19,6分)如图，AD为ABC外接圆的直径，ADBC,垂足为点F,ABC的平分线交AD于点E,连接BD,CD.(1)求证：BDCD；(2)请判断B,E,C三点是否在以D为圆心，以DB为半径

24、的圆上？并说明理由.（第19题）【答案】（1）证明：AD为直径，ADBC, ?DC?D.BDCD.3分（2）答：B,E,C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.4分理由：由（1）知：?DCd，.二BADCBD.DBECBDCBE,DEBBADABE,CBEABE, DBEDEB.-DBDE.6分由（1）知：BDCD.DBDEDC. .B,E,C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.7分5. （2011山东烟台，25,12分）已知：AB是。的直径，弦CDLAB于点G,E是直线AB上一动点（不与点A、B、G重合），直线DE交。O于点F,直线CF交直线AB于点P.设。O的半径为r.（1）如图1,当点

25、E在直径AB上时，试证明：OEOP=r2（2）当点E在AB（或BA）的延长线上时，以如图2点E的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由.（图2）（图1）【答案】（1）证明：连接FO并延长交。O于Q,连接DQ. FQ 是。O 直径，FDQ = 90°.QFD +Z Q=90°. CDXAB, P+Z 0 = 90°. / Q = Z 0, QFD = Z P. /FOE = / POF, FOEA POF.OEOFOF./.OE OP=OF2=r2 OP（2）解：（1）中的结论成立理由：如图2,依题意画出图形，连接 FO并延

26、长交。OM,连接0M. FM 是。O 直径， ./ FCM = 90°,，/M + /CFM = . 0DXAB,E+Z D=90°. . / M = / D, CFM = / E.90°. /POF = / FOE,POFA FOE. OP OF ,OE OP = OF2=r2OF OE6. （2011宁波市，25, 10分）阅读下面的情境对话，然后解答问题（1）根据 奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题:等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题?(2)在RtAB0中，/ACB=90°,AB=c,A0=b,B0=a,且b>a,若RtA

27、BC是奇异三角形，求a：b：c;（3）如图，AB是。的直径，C是上一点（不与点A、B重合），D是半圆aBD的中点,CB = CE.CD在直径AB的两侧，若在。O内存在点E使得AE=AD,求证：ACE是奇异三角形；0当ACE是直角三角形时，求/AOC的度数.【答案】解：(1)真命题(2)在RtABC中a2+b2=c2,c>b>a>02c2>a2+b2,2a2<c2+b2若RtABC是奇异三角形，一定有2b2=c2+a2，2b2=a2+(a2+b2)b2=2a2得：b=#ac2=b2+a2=3a2c=.3aa:b：c=1：衣：y/3-.AB是OO的直径ACBADB=9

28、0在RtABC中，AC2+BC2=AB2在RtADB中，AD2+BD2=AB2点D是半圆aBD的中点 AD=BDAD=BD.AB2=AD2+BD2=2AD2.AC2+CB2=2AD2又CB=CE,AE=ADAC2=CE2=2AE2 ACE是奇异三角形射1可得ACE是奇异三角形AC2=CE2=2AE2当ACE是直角三角形时由(2)可得AC:AE:CE=1:嫄：/或AC:AE:CE=0.早:1(I)当AC:AE:CE=1:W：V3时AC:CE=1:V3即AC:CB=1:V3 ./ACB=90°ABC=30°AOC=2/ABC=60°(n)当AC:AE:ce=V3：21

29、.1时AC:CE=3:1IPAC:CB=V3:1 ./ACB=90° ./ABC=60°AOC=2/ABC=120°AOC=2/ABC=120°，/AOC的度数为60°或120°7.(2011浙江丽水，21,8分)如图，射线PG平分/EPF,O为射线PG上一点，以。为圆心，10为半径作。O,分别与/EPF两边相交于A、B和C、D,连ZOA,此时有OA/PE.(1)求证：AP=AO;(2)若弦AB=12,求tan/OPB的值；(3)若以图中已标明的点(即P、A、B、C、D、O)构造四边形，则能构成菱形的四个点为,能构成等腰梯形的四个点为

30、或或.【解】(1)PG平分/EPF,DPO = /BPO如图7,。0中AB是直径，C是。上一点，/ ABC=45°,等腰直角三角形 DCE中 / DCE是直角，点 D在线段AC上.(1)证明：B、C、E三点共线；(2)若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=42OM;(3)将DCE绕点C逆时针旋转a(0°<“V90°)后，记为DiCEi(图8),若Mi是线段BEi的中点，Ni是线段ADi的中点，MiNi=U2OMi是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由.【答案】(i)AB为。O直径/ACB=90.DCE为等腰直角三角形/ACE=90 ./BC

31、E=90+90°=i80° B、C、E三点共线.(2)连接BD,AE,ON. /ACB=90,/ABC=45°AB=ACDC=DE/ACB=/ACE=90.BCDACEAE=BD,/DBE=/EAC /DBE+/BEA=90BD±AE.O,N为中点1 .ON/BD,ON=2bd同理OM/AE,OM=1AE2一 OMLON,OM=ONMN=2OM(3)成立证明：同(2)旋转后/BCDi=ZBCE1=900-ZACD1所以仍有BCDiAACEi,所以AACEi是由BCDi绕点C顺时针旋转90°而得到的，故BDi±AEi其余证明过程与(2)

32、完全相同.9.(20ii浙江丽水，24,i2分)如图，在平面直角坐标系中，点A(i0,0),以OA为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB,并延长AB至点D,使DB=AB,过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F,点E为垂足，连结CF.(i)当/AOB=30°时，求弧AB的长；(2)当DE=8时，求线段EF的长；(3)在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.【解】（1）连结BC,A(10, 0),OA=10, CA=5,. / AOB=30 °, ./ ACB

33、=2 / AOB=60 °,c，一.AB的长=60 X兀X5兀(2)连结OD, OA 是。C 的直径，/ OBA=90° ,又 AB= BD,.OB是AD的垂直平分线，.OD= OA=10, 在 RtAODE 中， OE=.OD2- DE2 =102- 82 =6, .AE= AO-OE =10-6=4,由/ AOB=/ADE= 90 -Z OAB,ZOEF=Z DEA,得 OEFs DEA,AE EF 4 EFDE=5E，即 8元EF=3;设OE=x,当交点E在O, C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与 AOB相似,有/ ECF = Z BOA 或 / ECF =

34、/OAB,当/ECF=/BOA时，此时OCF为等腰三角一，5形，点E为OC的中点，即OE=2,n5.Ei（2，0）；当/ECF=/OAB时，有CE=5-x,AE=10-.CFDDAc如图，已知。O的半径为10. (2011 江西，21, 8 分)2,弦BC的长为2J3，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B,C两点除外）。求/ BAC的度数;求 ABC面积的最大值（参考数据:sin60 =23, 3cos30 =, tan30 =.)【答案】（1）过点。作OD，BC于点D,连接OA.因为BC=2点，所以CD=1bC=T3.2又OC=2,所以sin/DOC=CD,即sin/DOC=3,OC2所以/D

35、OC=60°.又ODLBC,所以/BAC=ZDOC=60°.（2）因为ABC中的边BC的长不变，所以底边上的高最大时，ABC面积的最大值，即点A是BAC的中点时，ABC面积的最大值.因为/BAC=60°,所以ABC是等边三角形,在RtADC中，AC=273,DC=#,所以AD=ac2-dC2=(23)2-32=3.所以ABC面积的最大值为2察><3x1=373.11.(2011湖南常德，25,10分)已知ABC,分别以AC和BC为直径作半圆Oi、O2,P是AB的中点.(1)如图8,若ABC是等腰三角形，且AC=BC,在Ac,?c上分别取点E、F,使AO

36、1EBO2F,则有结论VPO1EVFO2P,四边形PO1co2是菱形.请给出结论的证明；(2)如图9,若(1)中4ABC是任意三角形，其它条件不变，则(1)中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明；(3)如图10,若PC是eO1的切线，求证：AB2BC23AC2【答案】(1)证明：.BC是。02直径，则02是BC的中点又P是AB的中点.P02是4ABC的中位线.P02=1AC2又AC是。01直径P02=01C=1AC2同理P01=02C=1BC2.AC=BCP02=01C=P01=02C，四边形P01co2是菱形(2)结论VP01E VF02P,成立，结论不成立1 1证明：在（1）中已证P02

37、=-AC,又01E=AC2 2P02=01E同理可得P01=02F P02是4ABC的中位线P02/AC ./P02B=ZACB同理/P01A=ZACB ZP02B=ZP01A .ZA01E=ZB02F ./P01A+ZA01E=ZP02B+ZB02F即/P01E=ZF02P（3）证明：延长AC交。02于点D,连接BD.BC是。02的直径，则/D=90°,又PC是e的切线，则/ACP=90°,ZACP=ZD又/PAC=ZBAD,/.AAPCABAD又P是AB的中点.ACAP1ADAB2AC=CD 在RtBCD中，BC2CD2BD2AC2BD2在RtABD中，AB2AD2BD

38、2 AB24AC2BD2AC2BD23AC2222 ABBC3AC12. （2011江苏苏州，26,8分）如图，已知AB是。O的弦，OB=2,/B=30°,C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交OO于点D,连接AD.(1)弦长AB=(结果保留根号)；(2)当/D=20时，求/BOD的度数；O为顶点的三(3)当AC的长度为多少时，以点A、C、D为顶点的三角形与以B、C、角形相似？请写出解答过程.【答案】解：(1) 2遍.(2)解法一：.一/ BOD是BOC的外角，/ BCO是 ACD的外角, / BOD= / B+ / BCO , / BCO= / A+ / D

39、. ./ BOD= ZB+ ZA+ Z D.又. / BOD=2 / A, / B=30° , / D=20 , -2ZA= ZB+ZA+ZD=ZA+50° , Z A=50° , ./ BOD=2 ZA=100° .解法二：如图，连接 OA. OA=OB , OA=OD ,/ BAO= ZB, Z DAO= / D,/ DAB= / BAO+ / DAO= / B+ / D.又. / B=30° , / D=20 , . DAB=50 , ./BOD=2 / DAB=100 .(3) ./BCO=ZA+ZD,，/BCO>/A,ZBCO&

40、gt;ZD.要使DAC与BOC相似，只能/DCA=/BCO=90.此时，/BOC=60,/BOD=120,，DAC=60.DACBOC./BCO=90,即OCAB,.AC=1AB=V3213. （2011江苏苏州，27,8分）已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD.（1）如图，当PA的长度等于时，/PAB=60;当PA的长度等于时，PAD是等腰三角形；（2）如图，以AB边所在的直线为x轴，AD边所在的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O）,把APAD、PAB>PBC的面积分别记为

41、S1、S2、S3.设P点坐标为（a,b）,试求2S1S3-S22的最大值，并求出此时a、b的值.【答案】解：（1）2; 2夜或半（2）如图，过点P分别作PE±AB,PFXAD,垂足分别为E、F,延长FP交BC于点G,贝UPGXBC.P点坐标为(a,b),PE=b,PF=a,PG=4-a.在PAD、PAB改匕PBC中,S1=2a,S2=2b,S3=8-2a, AB是直径，./APB=90PE2=AEBE,即b2=a(4-a). 2S1S3-S22=4a(8-2a)-4b2=-4a2+16a=-4(a-2)2+16. 当a=2时，b=2,2S1S3-S22有最大值16.y14. (201

42、1江苏泰州，26,10分)如图，以点。为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为大圆的弦，边 AD与小圆相切于点M , OM的延长线与 BC相交于点N.(1)点N是线段BC的中点吗？为什么?BC=10cm,求小圆的半径.【答案】解：(1)N是BC的中点。原因：: AD与小圆相切于点 M,OMLAD,又AD/BC,，ON，BC,，在大圆。中，由垂径定理可得N是BC的中与八、(2)连接OB,设小圆半径为r,则有ON=r+5,OB=r+6,BN=5cm,在RtAOBN中，由勾股定理得OB2=BN2+ON2,即：(r+6)2=(r+5)2+52,解得r=7cm.，小圆的半径为7cm.15. (201

43、1四川成者B,27,10分)已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点。为圆心，OA长为半彳5作。0,。经过B、D两点，过点B作BKLAC,垂足为K.过D作DH/KB,DH分另I与 AC、AB、。及CB的延长线相交于点 E、F、G、H.(1)求证：AE=CK;(2)如果AB=a,AD=；a(a为大于零的常数)，求BKDFOKBC的长；(3)若F是EG的中点，且DE=6,求。O的半径和GH的长.【答案】解：(1).DH/KB,BKXAC,DEXAC,.四边形ABCD是矩形，AD/BC,AD=BC,./EAD=/KCB,RtAADERtACBK,.AE=CK.RtA ABCAB= aAD=BC=

44、 - a3，. AC . AB2 BC22/ 1 、a (3®,10a- Saabc =AB XBC=ACXBKAB BCBK=AC10a. 10=a.10(3)连线 OG, ACXDG,AC 是。的直接，DE=6, DE=EG=6,又EF = FG , EF=3 ;. RtAADERtACBK , DE = BK=6 ,AE=CK,在 ABK 中，EF=3, BK=6,EF/BK, ，EF 是ABK 的中位线，. . AF=BF, AE=EK = KC;在 RtA OEG 中，设 OG=r ,1-1则 OE=AC 2r66-r, EG=6, OE2 EG2 OG2, 31222 (

45、-r)6r，r3在 RtAADFRtA BHF 中,AF=BF, AD=BC,BF/CD,HF=DF, FG=EF,HF-FG=DF-EF,.HG=DE=6.16.(2011四川宜宾，23,10分)已知：在ABC中，以AC边为直径的。O交BC于点D,在劣弧AD上到一点E使/EBC=/DEC,延长BE依次交AC于G,交。于H.(1)求证：AC±BH;(2)若/ABC=45,OO的直径等于10,BD=8,求CE的长.【答案】证明：连接AD/DAC=/DEC/EBC=/DEC/DAC=/EBC又AC是。O的直径/ADC=90 /DCA+/DAC=90 /EBC+/DCA=90/BGC=18

46、0-(/EBC+/DCA)=180-90=90°AC±BH./BDA=180-ZADC=90/ABC=45/BAD=45BD=AD BD=8AD=8又./ADC=90AC=10，由勾股定理，得DCAC2AD2102826.BC=BD+DC=8+6=14又. / BGC= / ADC=90/ BCG= / ACD.BCGsacdCGBCDCACCG 14610CG425连接 AE , AC 是直径 / AEC=90又 EG，AC.-.CEGACAE-CE- CGCE2 AC CG 至 10 84AC CE5CE ,84 2.21.17.弦（2011江西南昌，21, 8分）如图

47、，已知。的半径为2,弦BC的长为2J3,点A为BC所对优弧上任意一点（B, C两点除外）。求/ BAC的度数；求 ABC面积的最大值（参考数据:sin60 =,。3。3cos30 =, tan30 =.)【答案】（1）过点。作OD，BC于点D,连接OA.因为bc=2T3,所以cd=1bc=V3.2又OC=2,所以sin/DOC=CD,即sin/DOC=,OC2所以/DOC=60°.又ODBC,所以/BAC=ZDOC=60°.（2）因为ABC中的边BC的长不变，所以底边上的高最大时，ABC面积的最大值即点A是BAC的中点时，ABC面积的最大值因为/BAC=60°,所

48、以ABC是等边三角形，在RtMDC中，AC=273,DC=73,所以AD=AC2-DC2=.(23)2-32=3.所以ABC面积的最大值为2察X3X1=3用.18. (2011上海，21,10分)如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上,且OA=3,AC=2,CD平行于AB,并与弧AB相交于点M、N.(1)求线段OD的长；1(2)右tanC一，求弦MN的长.2【答案】(1)CD/AB, ./OAB=ZC,/OBA=ZD.OA=OB, ./OAB=/OBA. ./C=ZD.OC=OD.,.OA=3,AC=2, .OC=5.OD=5.(2)过点。作OECD,E为垂足，连接OM.,.

49、一1。在RtOCE中，OC=5,tanC,设OE=x，则CE=2x.由勾股定理得x2（2x）252,2解得xi=45,x2=«5（舍去）.OE=J5.在RtOME中，OM=OA=3,ME=JOM2OE2=j32函2=2。.MN=2ME=4.19. （2011湖北黄冈，22,8分）在圆内接四边形ABCD中，CD为/BCA外角的平分线，F为弧AD上一点，BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E.求证ABD为等腰三角形.求证AC?AF=DF?FE【答案】由圆的性质知/MCD=/DAB、/DCA=/DBA,而/MCD=/DCA,所以/DBA=/DAB,故ABD为等腰三角形./DBA=/DAB

50、,弧AD=MBD又BC=AF,弧BC=MAF、/CDB=/FDA:弧CD=MDFCD=DF再由圆的内接四边形外角等于它的内对角”知/AFE=/DBA=/DCA，/FAE=/BDE/CDA=/CDB+/BDA=/FDA+/BDA=/BDE=/FAE由得DCAAFAEAC:FE=CD:AFAC?AF=CD?FE而CD=DF,AC?AF=DF?FE20. (2011广东茂名，24,8分)如图，OP与y轴相切于坐标原点O(0,0),与X轴相交于点A(5,0),过点A的直线AB与y轴的正半轴交于点B,与。P交于点C.(1)已知AC=3,求点B的坐标;（4分）16(2)若AC=a,D是OB的中点.问：点O、P、C、D四点是否在同一圆上？请说明理由.如k果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为Q,函数y的图象经过点Oi,求k的值(用含a的代数式表示).备用图OA 是。P 的直径，OCXAB,在RtAOC中，OCVOA2AC2J2594在RtAOC和RtAABO中，/CAO=ZOABRtAAOCRtAABOACAOCOOBOB， OB2020 B（0,y）解法二：连接OC,因为OA是。P的直径, ./ ACO=90°在 RtAAOC 中，AO = 5,AC= 3,OC = 4