中考之圆综合题型

1、6. (2017武汉元调)如图，OA、OB、OC都是。O的半径，ZAOB=ZBOC.(1)求证：ZACB=2ZBAC;(2)若AC平分/OAB,求/AOC的度数.解：(1)证明：在。中，/AOB=2ZACB,ZBOC=2ZBAC,ZAOB=2ZBOC.ZACB=2ZBAG.(2)解：设/BAC=x.AC平分/OAB,.ZOAB=2ZBAC=2x0,.ZAOB=2ZACB,ZACB=2ZBAC,.ZAOB=2ZACB=4ZBAC=4x,在aOAB中，ZAOB+ZOAB+ZOBA=180,4x+2x+2x=180,解得：x=22.5,ZAOC=6x=135编辑版word(1)(2)7. （2017

2、武汉元调）如图，在RtABC中，/BAC=90,BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的。D与AC相交于点E.求证：BC是。D的切线；若AB=5,BC=13,求CE的长.解：（1）证明：过点D作DFXBC于点F,./BAD=90,BD平分/ABC,.AD=DF.AD是。D的半径，DFXBC,BC是OD的切线;(2)解：BAC=90°.，AB与。D相切，BC是。D的切线，AB=FB.,AB=5,BC=13,.CF=8,AC=12.在RtADFC中，设DF=DE=r,则r2+64=(12r)2,解得：r=.，CE=.3313.(2016武汉元调)如图，AB为。O的直径，C为。O上一点，

3、AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D,AD交。O于点E.(1)求证：AC平分/DAB;(2)连接CE,若CE=6,AC=8,直接写出。O直径的长.解:(1)证明：连接OC,CD是。O的切线，CDXOC,又.CDAD,.AD/OC,，/CAD=/ACO,.OA=OC,.CAO=ZACO,.CAD=ZCAO,即AC平分/DAB；(2)解：./CAD=/CAO,CeCb,.CE=BC=6,.AB为直径，ACB=90,由勾股定理得：AB=AC1一疗=、8262=10,即。O直径的长是10.【案例1】圆中的线段【真题呈现】如图，在。O中，弦AB、AC互相垂直，D、E分别为AB、AC的中点，则四边形OEA

4、D为（C）A.正方形B.菱形C.矩形D.直角梯形【真题解读】因为D、E分别为AB、AC的中点，根据平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，得OEAC,ODXAB.-ABXAC,.OEAD为矩形，故填C.【真题变式】1.如图，在OO中，弦AB、CD相交于E,且ABXCD,AE=2,BE=6,CE=4,则。O的半径R=.42x解：过O作OGCD于G,OFXAB于F,设DE=2x,CG=2+x,GE=2+x-2x=2-x,2AF=FB=2X(2+6尸4,，EF=AFAE=42=2,'22+(2+x)2=O内OB2=(2x)2+42,解得x6522.如图，O O的半径R=6,点A、B、C在O O&#

5、177;,/A=60 ,求 AB2+AC2 AB AC 的值.A解：延长CO交。O于D,连DB、CB,过C作CELAB于E,Cb=Cb,D=/A=60,.CD为直径，./CBD=90,.BC=立CD=«X6X2=6百，易得八£=殷，CE=AC,2222.CEXAB,.CE2+BE2=BC2,即(AC+(AB；AC)2=(6石)2,.AB2+AC2-ABAC=108.3.如图，OO的半径R=6,点A、B、C在OO±,/A=60°,ODAB于D,OEAC于E.连DE,求DE的长.OC=OBD。R=6,OF = 3, CF=1OEXAC, ODXAB. /.

6、D. E 分别为 AB、AC 的中点.，DE = -4 .如图，。O的半径R= 6, 连DE,求四边形OEAD点A、B、C在OO上运动，保持/ A=60° 面积的最大值.D, OELAC 于 EOA、OC、OB、BC易知DEAO、DE的长度不变AO ± DE时面积曰1最大 ，S S四边形OEAD = 1DE=qX6x5 .如图E,D O的半径R= 6,点A、B、DE,则下列结论中，错误的是C在G> O上运动，保持/(B)AiA.B.C.弦BC的长为定值四边形OEAD的面积为定值 线段DE的长为定值D.四边形OEAD的面积有最大值案例2切线中常见基本图形真题呈现AD和过

7、C的切线互相垂直，垂足为 D, AD交。O于点E,如图，AB为。O的直径，C为。O上一点,连接AC.(1)求证：AC平分/DAB;(2)若CE=6,AC=8,直接写出。O直径的长.真题解读(1)遇切线连接切点和圆心，故连CO,则CO±CD.CO=AO,CAO=ZACO.COXCD,ADXCD,.AD/CO,.ZACO=ZDAC,.ZDAC=ZCAO,即AC平分/DAB.(2)用(1)的结论：.AC平分/DAB,CE=CB,.AB为直径，/ACB=90°,AB=Jac2cb2G862=10.【真题变式】1.例题中在(2)的前提下：CD=;DE=.解：过C作CF,AB于F,DA

8、C=/CAO,.CD=CF,CF=ABgCB8=4.8,.DE=AB10JCE2CD2J624.82=36;易证CDEACFB,设DE=BF=x,/.62-x2=82-(10-x)2,解得x=3.6.2.在例题条件下，已知CD=a, DE = b.求。O 的半径 R.2.2R=i2b解：连OC、BE相交于F,连CE,易证：DCEAFBC.在OFB中，OB2=OF2+BF2,(Rb)2+a2=R2,解得3 .在例题条件下，已知R=6,CE=2，5,则R=解：R232=(2J5)2=(3)2,解得R=5,R2=-2(舍去)CD=加函22=1.4 .在例题条件下，延长AB,DC相交于F,若/F=%连

9、接AC.(1)如图1,当A30°时，"=；<3AC(2)如图2,当k45°时，AF=；y2+1AO(3)如图3,当k60°时，AF=;2<3+1AO3案例3图中几何变换【真题呈现】如图， ABC是等边三角形,O为BC的中垂线AH上的动点，O O经过B, C两点,D为？C上一点,D,A两点在BC边异侧，连接AD,BD,CD.(1)如图1,若。O经过点A,求证：BD+CD=AD;(2)如图2,圆心O在BD上，若/BAD=45°,求/ADB的度数;(3)如图3,若AH=OH,求证：BD2+CD2=AD2.【真题解读】(1)求证的是两条线段

10、之和等于第三条线段，故考虑截长补短法，结合为等边三角形考虑旋转.方法一：延长BD至IJF,使DF=DC,再证BCFMCD;方法二：在AD上截取DG=DC,连接CG,先证DCG为等边三角形，再证ACGABCD;方法三：此题也可作垂线，构造全等；过C作CMLAD于M,CNXBD于N.先证ACMABCN,再证MCDANCD.【解后反思】ADCD一一一当ABC为等边三角形时，ADCD1,一般化，对于等腰ABC不妨设AB=BC,且/ABC=%BDADCD为多少呢？不妨先特殊化:a=90。，60。，120。，ADCD的值分别为72,173BDBD-(2)几何直观可以猜想，4BCD为等腰直角三角形，但无法证

11、明.看此问题添加了条件/BAD=45,联想到等腰直角三形，故设AD交。O于E,连接BE,则BEXED,/BAE=ZABE=45,则/CAE=/CBE=15,.EC?C,.CBE=/CDA=15,.ZCAE=ZCDA,AC=CD=BC,.BD15° = 30°D 在。0 外，已知/ ADB = 45 , OO为。O的直径，/BCD=90,ZCDB=45,./ADB=45【真题变式】1.如图，AB是。O的直径，C为圆上一点，4ACD为等边三角形，的半径为4,则AD的长为解：/CDB=60-45°=15°/CBD=180°60°90

12、6;15°=15°DC=CB=AC=AD;AD=AC=4<'2.2.如图,AD ABAB是。0的直径，C为圆上一点， ACD为等边三角形,的值为解:D在OO外,已知/ ABD= 30° ,则设BD与。O相交于E,连接AE、EC, 弧AE = M AE,(2)DCEAACE;DE=AE;殷=立AB2【真题解读】第三问：看条件AH=OH,O为BC的中垂线AH上的动点，AO与BC相互垂直且平分，四边形ABOC为菱形./ BOC=/BAC=60要用勾股定理解题, ABDACBE, 【真题变式】3.四边形ABCD而 30° + 60° =

13、90°1,/BDC= /BOC=30 ,看结论：要证 BD2+ CD2 = AD2, 2,故由D为边向外作等边三角形 BED,于是思路找到：先证得到 AD = CE,在 Rt ACED 中，易得 ED2+CD2=CE2, . BD2+ CD2=AD2.中，/ BCD= 30 ,连BD、AABD为等边三角形， BCD的外接圆圆心为 O,若。O的半径为8,则S>AABD=.16734 .四边形ABCD中，/BCD=30,AC=6,AB=BD=AD,求BCD的面积的最大值.解：以CD为边作等边CDE,AD=BD,DC=DE,/ADC=60+ZBDC=ZBOE,.ADCABDE,.AC

14、=BE,在BCE中，BE2=BC2+CE2,即BC2+CD2=AC2=36>2BC-CD,.BCCD<18.5,-119Sabcd=一BC-CDw-x18=-.5 .四边形ABCD中，AB=BC=AC,ACXCD,若/ABD=45°,则/ADB的度数为.【提示】方法一：作AEBD于E,以AD为直径作圆O,则点E、C都在圆O上，;ABC为等边三角形，ZABD=45,.-.ZCBE=15./AEB=90,.ABE为等腰直角三角形，./EAB=45,/EAC=15,/CDE=15,.CBD为等腰三角形，ACD为等腰直角三角形，/ADB=30.方法二：以C为圆心，CA为半径作。C

15、,则。C过A、B两点，若D为。C外，设CD交。C于D',则/ABD'=-ZACD=45°,则D、D'重合，若D在。O内，设CD交。C于2D',连接BD',则/ABD'=1/ACD=45。，则D、D'重合，/.D在OO±,.ZACB2=60,.ADB=1/ACB=30.26 .四边形ABCD中，AB=BC=CA,ACXCD,若/ADB=30,求/ABD的度数.解：过A作AEXBD于E,以AD为直径作圆，则E、C在OO±,设/ABD=x,则/CBE=60x,/EAC=x30,./ADB=30,-/ACE=ZBCE

16、=30,EC=EC.BCEQACE,./CBE=/CAE,.60-x=x-30,.x=45,即ABD=45.7 .四边形ABCD中，AB=AD=BD,ZBCD=30,BCD的面积为12,求线段AC长的最小值.解：以CD为边向外作等边三角形CDE.AD=BD,CD=DE,ZADC=60+ZBDC=/BDE.ADCABDE,.AC=BE,又在BCE中，/BCE=ZBCD+ZDCE=30+60=90,.AC2=BE2+CE2=BC2+CD2.过D作DFBC于F,则2DF=CD.1 11'Sabcd=BCgCD)=BCCD=12,.BCCD=48,AC2=BC2+CD2>2BC-CD=2

17、X48=96,.AO4,6,-AC的最小值为4%6.案例4圆与等腰三角形（1）【真题呈现】如图1,已知。O中，BC是直径，D点为OB上任意一点（异于O,B）,过D点作ADXBC,交OO于A点，AB=AF,连接BF交AD于E点.（1）探究AE与BE的大小关系并证明你的结论；（2）当D为OC上任意一点（异于O,C）,其他条件不变时，（1）中的结论是否仍然成立，画出图形并证明你的结论.【真题解读】第一问：从条件BC为直径，ADLBC可联想到垂径定理，故延长AD交。O于G,则BG=BA,BA=Af,.Bg=BA=Af.从结论看到要探究AE与BE的大小，几何直观看AE=BE,故可连接AB.证/ABE=Z

18、BAE,显然，由AB=AF可得到结论，请规范表述:延长AD交。O于G,连接AB,直径BCXAG,BA=BG又BA=AF,BG=AF.abe=/bae.第二问：能否运用第一问的方法？故仍然延长AD交。于G,连接AB,其实证法与上一问做法模一样，请规范表述：同上.【解后反思】其实第二问作出图形有两种情况，请试一试，如图3,但做法仍与图2一样.（回归双基）【真题变式】1 .(回归双基)如图2,若OD=5,AD=12,则EC=.解：连接OA,则OA=；52+122=13,BD=5+13=18,设BE=AE=a,则DE=a-12,在 RtABDE 中，a2= 182+(01- 12) 2,解得39a=

19、. e EG = 2AD-AE = 2X 12-39 92 .如图3,已知OB=5,CD=2,则EG=.解：CD=2,半径为5,从而OD=3,在RtAODG中，DG=OG2-OD2=4,设CE=x,则DE=4+x,BD=AE+8=8+x,在RtABDE中，82+(4+x)2=(8+x)2,解得x=2.3 .(回归双基)如图1,连AF、AC交BF于M,已知BD=4,DE=3,则(1) AF=;(2) BC=;(3)SkAMF=.1(3)易知 ON =2CF= 10 4 = 6,MF CF 12 3则 BM= BC= 20=5'MF = 3BF= 3X6, 88'11S>aa

20、mf= 2MF - AN = 2* 6X4= 12.解：(1).BD=4,DE=3,.BE=5=AE,AF=AB=45;(2)连接OA交BF于点N,由圆的对称性知OAXBF,则BDEANE;.AN=4,EN=3,设圆的半径为r,(r4)2+82=2,解得r=10,BC=20；.CF=12,BF=16,由AB=AF,.AC平分/BCF,案例5圆与等腰三角形（2）【真题呈现】小明学习了垂径定理，做了下面的探究，根据题目要求帮小明完成探究.(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题.如图1,在。O中，C是AB的中点，直线CD，AB于点E,则AE=BE.请证明此结论；(2)从圆上任意一点出发的两条弦

21、所组成的折线，成为该圆的一条折弦.如图2,PA,PB组成。O的一条折弦.C是劣弧AB的中点，直线CDLPA于点E,则AE=PE+PB.请证明此结论；(3)如图3,PA、PB组成。O的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CDLPA于点E,则AE,PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出并证明你的结论.（图2）（图3）【真题解读】第一问：证4OAEOBE即可;第二问：CA=CB,.AC=BC,CP=CP,ZCAP=/CBP,再从结论AE=PE+PB,可考虑截长法，即在AP上取AF=BP,再证EF=EP即可；第三问：用第二问的方法，可考虑补短法，即在PA的延长线上截取AF=BP,连接CF、AC、CP、

22、CB,先证AFCABPC;再证EF=EP即可.解：(1)略；（2）连接AC,BC.C为AB的中点，.AC=BC,.Cp=Cp,.ZCAP=ZCBP,在AP上截取AF=BP,连接CF、CP,AFCBPC,.CF=CP,.CEXAP,，EF=EP,.AE=AF+EF=BP+EF,即AE=PE+PB;(3) PE=AE+PB.证明：C是AB的中点，AC=BC,延长PA至UF使AF=BP,连CF、CA、CP、CB,./CAP+/B=180,FAC+/CAP=180,./B=/FAC,FACAPBC,CF=CP,.CDXAP,PE=EF,PE=AE+AF=AE+PB.【解后反思】从条件看弧的中点可得到等

23、弧，运用旋转可完成一些图形的变换.在运用旋转时，等角、等边是关键，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角也是常见旋转的工具.【真题变式】1.BC为。内一弦，A为优弧BAC的中点，D为劣弧AB上任意一点，过A作AELBD于E,AFXCD于F,则下列结论正确的有(填序号).CD-BD/ABD=/ACD,/EAF=/BAC,/BAC=2/DEF,-ED=2.【提示】:AD=AD,ABD=/ACD,故对;.AEXBD,AFCD,./AEB=/AFC=90,A为BAC的中点，.AB=AC,ABEQACF,./EAB=/FAC,丁./EAF=ZBAC,故对；.ABEAACF,AE=AF,连AD,则AEDAF

24、D,DE=DF,./DEF=ZDFE,/BDC=ZDEF+/DFE=2/DEF.BC=BC,BAC=ZBDC=2ZDEF,故对；CD-BDED2ED-ED=2,故对;.ABEAACF,.BE=CF.AAEDAAFD,.DE=DF,CF+DF(BE-ED)DF+ED"ED=ED-故填.2.如图，在O O中，直彳仝ABL弦CD,点P是AD上任一点，作AMLDP延长线于PC- PDM，则【提示】连接 AD、AC,过A作AN LCP于N.直径 ABXCD, . . Ac= Ad , AC=AD.Ap= Ap, / acp= /adp, amxmd, an ±cp, AMD ANC

25、, DM = CN , AM = AN, . AP=AP,.AMP-ANP, .MP=PN,PC- PD CN + PN (DM MP) PN+PM 2PM''PM =MP= PM =PM=2'3.如图，已知等边 ABC内接于。O, AB=2,点D为弧AC上一点，/ ABD = 45AELBD 于点 E,则 BDE的周长是A【提示】运用真题结论：BE=ED+CD,BDC的周长=BC+BD+CD=BC+BE+ED+CD=BC+2BE=2+2X申AB=2+25案例6看不见的圆一一路径问题【真题呈现】从点(如图，扇形OAB的圆心角的度数为120°,半彳5长为4,P为

26、AB上的动点，PMXOA,PNXOB,足分另1J为M、N,D是4PMN的外心.当点P运动的过程中，点M、N分别在半径上作相应运动,离开点O时起，到点M到达点O时止，点D运动的路径长为B.兀C. 2【真题解读】当点N与点O重合时，作出当点M与点O重合时，作出PiMiO,外心 P2M2。，外心Di为PiO的中点.D2为P2O的中点.当P在PP让运动时，取OP中点为D,则DM = DO = DP,DN =DO = DP.是 DM= DN = DP,从而点D为乙PMN的外心.点P运动时，OP=4,从而DO=2,点D在以O为圆心半径为2的RD?上运动从而所求得的路径长即为D1D2的长.又D1D2的圆心角

27、为/DiOD2=60,从而弧长为,故选择A.3【真题分解】1 .如图，扇形AOB的半径为R,P为Ab上的动点,PMLOA于M,PN，OB于N,PMN外接圆半径为则L的值R解：连OP,取OP中点Q,由题意可知OQ=QP=QM=QN.从而点M、O、N、P在以Q为圆心，OQ长为半径的圆上.于是PMN的外接圆为。Q,从而r=OQ,R=OP,于PMXOA 于 M, PNXOB2 .如图，扇形AOB的圆心角的度数为120。，半径长为6,P为Ab上的动点,于N.则线段MN的长为解：连OP,由/OMP=90°,/ONP=90知M、N在以OP为直径的圆上，则/MPN=60,设OP的中点为Q,从而/MQ

28、N=120.由于OA=6,从而OP=6,QM=QN=3,有垂径定理可知MN3.33 .如图，扇形AOB的圆心角的度数为120。，半径长为8,P为Ab上的动点，PMLOA于M,PNXOB于N.则四边形PMON的最大值为A解：连OP、MN,运用上一题的方法，由OA= 8,可知 OP= 8.由/ AOB= 120 ,可知 MN 4J3 ,于边形PMON；MNgDP 16 34 .（武汉四调）如图，直径AB、CD的夹角为60°,P为。O上的一个动点（不与点A,B,C,D重合），PM、PN分别垂直于CD,AB,垂足分别为M、N.若。O的半径长为2,则MN的长（B）A.随P点运动而变化，最大值为

29、 73B.等于MC.随P点运动而变化，最小值为 我D.随P点运动而变化，没有最值【真题变式】1.如图，四边形 ABCD为正方形，边长为3金,E在CD边上，CE=76,点P在线段CE上运动，DHL直线BP于H.当点P从C运动到E时，求点H运动的路径长为解：以BD为直径画圆，圆心为O,由BC3",知直径DB=6,从而半径为R=3,连BE,延长后交OO于F,则点H的运动轨迹为弧CF,又BC42加,.-/EBC=300,于是/FOC=2/EBCCE.6= 60。，从而弧CF的长为2 R60 =3602 .已知半圆O的直径AB长为8,点C在Ab上，且Be=2Ac,点P在Cb上运动，Q为弦AP的

30、中点.当点P从B运动到C时，点Q运动的路径长为ED为半径，在解：连AC,取AC中点D,取AO中点E,连DE,则/ADO=90,以E为圆心,直线AB上方画圆，可知点Q的轨迹为弧DO,由于BC=2AC,从而/BOC=120,由DE/OC知/DEO=120°,又AB=8,从而AO=4,于是OE=2,于是弧DO的长为2R皿=221=L360333 .如图所示，AB为。O的直径，弦CDLAB于E,E为OB的中点，BE=J3,点P在Cb上运动，连AP,DFXAPTF,当点P从C运动到点B时，则点F的运动路径的长为解：由BE而知CE芯,OB2石，从而AE373,DETOD_OE73,连AD、AC,

31、从而ADJAE_De6,AC=6,可知ACD为等边三角形，取AD中点为M,AC中点为G,以M为圆心，3为半径作圆M,则点F在M上运动，当P在C点时，F在G点，当P在B时，F在点E;当P在弧CB上运动时，F在弧GE上运动，所求路径长为弧GE的长，又可知/GME=60,从而弧GE的长为2R-60-=3604 .如图所示，OO的半径为6,弦ABCD,且AB=6卮CD=6，3,点P在Cd上运动，连PA、PB,BE，PA于E,AF，PB于F,BE交AF于G,当点P从C运动到D时，求点G运动路径的长.解：有R=6,AB6J3,CD6用,可知圆心角/AOB=120,ZCOD=120,从而/APB=60

32、76;,于是ZAGB=120,当P在C点时，G在A点，当P在D点时，G在B点，做弧AB关于直线AB的对称图形，得弧AOB,当P在弧CD上运动时，G在弧AOB上运动，从而弧AOB的长=弧AB的长=2R=43605 .如图所示，oo的直径ab长为6亚，点c、d在Ab上，Ac=Cd=Db,点p在Cd上运动，连pa、PB,I为4PAB的内心，当点P从C运动到D时，则点I运动路径的长为.解：连AI、IB,则/A旧=135°,取下半圆弧AB的中点Q,Q与P在直线AB异侧，则QA=6,QB=6,QI=6,连QC、QD,则/COD=60,/CQD=30,以Q为圆心，6为半径，作圆Q,设圆Q与QC交于

33、M,与QD交于N,当P在C点时，I在点M,当P在D点时，I在N,当P在弧6.如图所示,CD,I在弧MN,从而点I运动的路径长为2R-60-=360BAC中，/BAC=120,AB=AC,点D在BC边上，BD=2DC.点P在线段BD上运动，APC的外接圆的圆心为O,当点P从B运动到D时，则点O运动路径的长为解：由题意可知,DC-BC2,BD=4,AB26，AC273.作线段AC的垂直平分线l,则43APC外接圆的圆心在直线l上运动，过点A作BC的垂线与l交于M,作AD的垂直平分线交l于N,当P在B点时，O在M点，当P在D点时，O在N点；点P从B运动到D时，点O从M运动到N,所求路径MN的长为4.

34、7.如图所示，平面直角坐标系中，点A(0,2),B(-2,0),C(6,0),点P在x轴正半轴上运动.以AP为直角边作等腰直角三角形，/APQ=90°,M为BQ的中点，点Q与B在直线AP异侧，当点P从原点O出发运动到C时，则点M运动路径的长为.解：设P为(t, 0),则Q为(2+ t, t),从而M为，点M在直线y2 2x上，当P在O点时，t0,M为(0, 0);当P在C时，t = 6, M为(3, 3),从而点M运动路径长为J3232案例7几何定值问题【真题呈现】如图，扇形AOD中，/AOD=90°,OA=6,点P为Ad上任意一点(不与点A和D重合)，PQ±OD

35、于Q,点I为/OPQ的内心，过O,I和D三点的圆的半径为r.则当点P在Ad上运动时，r的值满足(D)A.0r3B.r3C.3r372D.r372【真题解读】分析四个选项，我们看到B和D意味着r为定值，我们作出OID的外接圆。E,又作出直径DF,此时/DOF=90。，由OA=6,知OD=6,从而r为定值等价于/F为定角，由于圆内接四边形OFDI中，ZF+ZOID=180。，这要求/OID为定角，我们注意到OIP和AOID关于OI轴对称，从而要求/OIP为定角，这一点恰好成立，易知/OIP=135。，详细推理过程，请同学们自己给出.由/OQP=90,可知/OIP=135,从而/OID=135,于是

36、/OFD=180/OID=45,从而OFD为等腰直角三角形，于是DF而OD6石，又DF2r,从而r372,故而选择D.【解后反思】如图ABP中，AB为定长线段，P为动点，若保持/APB=为定角），则4APB的外接圆半径R为定值.这个结论，我们称为“定线定角定半径”.【真题分解】1 . ABC 中,I 为内心，/ BAC=a,则/ BIC =（用含a的式子表示）.解：BACABC18090ACB从而2 .如图,IBCBIC四边形ICB1801 ABC2ACBIBCICB18090901一 ,212ABCD,内接于。O,CD为直径,/ BAD= 135,AB= 3夜，AD = 1,则 CD =解：

37、作BE,直线AD于E,连BD,由/ BAD=135 ,知 BEA和 BCD为等腰直角三角形，由 AB=3夜知AE = 3,BE = 3,又 AD = 1 ,从而ED = EA + AD = 4 ,于是 Rt BED 中22BD BE ED5 , RtA BCD 中,CD VBC俞 5& .3. AABC 中，/ A= 90,AB=6, AC = 8, I为ABC的内心，求 旧C的外接圆的半径.解：由题1中结论知，/BIC=135,由AB=6,AC=8,/A=90°,知BCJab2AC210,作出ABIC的外接圆O,又作出直径CD,连BD,从而/BDC=45°,BDC

38、为等腰直角三角形,于是BD.CD_B5T10夜，从而旧C的外接圆的半径为-BD5宓.24 .如图，ABC中，/BAC=60°,AB=2事，AC=褥，I为ABC的内心，则4旧C的外接圆的半径R=解：由/ BAC= 60 知，/ BIC=120 ,作CE±AB于E,又作出旧C的外接圆。O,再作出直径CD,连BD,AAEC中，AC=J3,AE=变,EC=3,从而BE=AB-AE=33,于是BC=TBE_EC2222=3,ABDC中，/D=60,/BCD=30,从而DC=2R,BD=R,于是BC=展R,从而73R=3,5 .如图，扇形AOB中，ZAOA=30,ACOB于C,AAOC

39、的内心为I,以I,O,B为顶点的三角形的外接圆直径为8,则AC的长为.解：由/ACO=90,可知/AIO=135,易知AIOABIO,从而/BIO=135,作出BIO的外接圆。E,又作。E的直径BD,连OD,/D=180°/BIO=45,从而，BOD为等腰直角三角形，于是BD=四BO,从而BO=4我，AOC中，AC=-AO=-BO=2衣.22【真题变式】1 .（回归教材）如图，点P在线段AB上运动，4APM和4PBN为等边三角形，点M,N在直线AB同侧,AN和BM相交于点H,已知AB=36,AAHB外接圆半径为R,求R的值.解：先证APNAMPB,由此可知/AHB=120,作出AAH

40、B的外接圆O,又作出直径BC,连AC,则/ACB=60,AABC=30,从而BC=2R,AC=R,于是ABC中，R2+(36)2=(2R)2,从而R=3.2 .如图，点P在线段AB上运动，APM和PBN为等边三角形，点M,N在直线AB同侧，AN和BM相交于点H,已知AB=6,求AAHB的面积的最大值.HNA解：与上题相同的辅助线，可求出AHB的外接圆半径R=2J3,点H的运动轨迹为劣弧AB（去掉A、B两端点），易知当H为弧AB的中点时，AHB的面积最大，此时SaAHB=1X6X颦=3席.23.如图，线段AB长为8,点P在AB上运动，以AP为直径作。O,BDXAB,且BD=BP,AD交。O于点E,求ABE外接圆半径R的长.E在以PD为直径的圆上，作出此圆,解：连PE、PD,从而/AEP=90,于是B、从而BD=BP,/BPD=ZBDP=45,于是/AEB=135,再彳出AEB的外接圆