【课件】极坐标系

1、从这向北从这向北2000米。米。请问：去请问：去?中学怎么走？中学怎么走？请分析上面这句话，他告诉了问路人请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？什么？从 这 向 北 走从 这 向 北 走 2 0 0 0 米 ！米 ！出发点出发点方向方向距离距离 在生活中人们经常用方向和距离来在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用表示一点的位置。这种用方向方向和和距离距离表表示平面上一点的位置的思想，就是极坐示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。标的基本思想。（1）极坐标系的建立：）极坐标系的建立：在平面内取一个定点在平面内取一个定点O，叫做，叫做极点极点。引一条射线引一条射线OX，叫做

2、，叫做极轴极轴。再选定一个长度单位再选定一个长度单位和和角度单位角度单位及及它的正它的正方向方向（通常取逆时针（通常取逆时针方向）。方向）。这样就建立了一个这样就建立了一个极坐标系极坐标系。XO（2）极坐标系内一点的极坐标的规定）极坐标系内一点的极坐标的规定XOM 对于平面上任意一点对于平面上任意一点MM，用，用 表示线段表示线段OMOM的的长度，用长度，用 表示从表示从OXOX到到OM OM 的角度，的角度， 叫做点叫做点MM的的极径极径， 叫做点叫做点MM的的极极角角，有序数对，有序数对（ ， ）就就叫做叫做MM的极坐标。的极坐标。特别强调：特别强调： 表示线段表示线段OM的长度，即点的长

3、度，即点M到到极点极点O的距离；的距离； 表示从表示从OX到到OM的角度，即的角度，即以以OX（极轴）为始边，（极轴）为始边，OM 为终边的角。为终边的角。题组一题组一：说出下图中各点的极坐标：说出下图中各点的极坐标ABCDEFGOX46535342 平面上一点的极坐标是否唯一？平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一，那有多少种表示方法？若不唯一，那有多少种表示方法？坐标不唯一是由谁引起的？坐标不唯一是由谁引起的？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？ 特别规定：特别规定： 当当M在极点时，它的在极点时，它的极坐标极坐标 =0， 可以取任意值。可以取任意值。想一

4、想？想一想？（3）点的极坐标的表达式的研究）点的极坐标的表达式的研究XOM 如图：如图：OM的长度为的长度为4，4请说出点请说出点M的极坐标的其的极坐标的其他表达式。他表达式。思：这些极坐标之间有何异同？思：这些极坐标之间有何异同？思考：这些极角有何关系？思考：这些极角有何关系？这些极角的始边相同，终边也相同。也这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。就是说它们是终边相同的角。本题点本题点M的极坐标统一表达式：的极坐标统一表达式：4 2k+4 ，极径相同，不同的是极角极径相同，不同的是极角(3,0)(6,2 )(3,)245(5,)(3,)(4, )365(6,)3ABCD

5、EFG 题组二：在极坐标系里描出下列各点题组二：在极坐标系里描出下列各点46535342 ABCDEFGOX（4）极坐标系下点与它的极坐标的）极坐标系下点与它的极坐标的对应情况对应情况1给定给定（ , ）,就可以在就可以在极坐标极坐标平面内确定唯一的平面内确定唯一的一点一点M。2给定平面上一点给定平面上一点M，但，但却有无数个极坐标与之对却有无数个极坐标与之对应。应。原因在于：极角有无数个。原因在于：极角有无数个。OXPM(,)如果如果限定限定0,02那么除极点外那么除极点外,平面内的点和极坐标就平面内的点和极坐标就可以可以一一对应一一对应了了.3一点的极坐标有否统一的表达式？一点的极坐标有否

6、统一的表达式？小结小结1建立一个极坐标系需要哪些要素建立一个极坐标系需要哪些要素极点；极轴；长度单位；角度单位和极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。它的正方向。2极坐标系内一点的极坐标有多少种极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？表达式？无数，极角有无数个。无数，极角有无数个。有。（有。（，2k+）2.极坐标和直角坐标的互化极坐标和直角坐标的互化平面内的一个点的既可以用直角坐标表示，平面内的一个点的既可以用直角坐标表示，也可以用极坐标表示，那么，也可以用极坐标表示，那么，这两种坐标之间有什么关系呢？这两种坐标之间有什么关系呢？在直角坐标系中在直角坐标系中, 以原点作为极点以原点作为极点

7、,x轴的正半轴作为极轴轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相同的长度单位，并且两种坐标系中取相同的长度单位，那么那么极坐标与直角坐标的互化关系式极坐标与直角坐标的互化关系式:设点设点M的直角坐标是的直角坐标是 (x, y) 极坐标是极坐标是 (,)x=cos, y=sin ) 0(tan,222 xxyyx 互化公式的三个前提条件：互化公式的三个前提条件：1. 极点与直角坐标系的原点重合极点与直角坐标系的原点重合;2. 极轴与直角坐标系的极轴与直角坐标系的x轴的正半轴的正半 轴重合轴重合;3. 两种坐标系的单位长度相同两种坐标系的单位长度相同.例例1. 将点将点M的极坐标的极坐标 化成直角坐标化成直角坐标.2(5,)3解解: 2532cos5 x23532sin5 y所以所以, 点点M的直角坐标为的直角坐标为)235,25( 已知下列点的极坐标，求它们的直已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。角坐标。)6, 3( A)2, 2( B)2, 1( C)4,23( D)43, 2( E例例2. 将点将点M的直角坐标的直角坐标 化成极坐标化成极坐标.(3, 1)解解: 21)3(22 ）（ 3331tan 因为点在第三象限因为点在第三象限, 所以所以67 因此因此, 点点M的极坐标为的极坐标为)67, 2( 练习练习: 已知点的直角坐标已知点的直角坐标, 求它们求它们的极坐标