韩山师范学院专升本插班生考试样卷

1、韩山师范学院2011年专升本插班生考试样卷数学与应用数学专业数学分析一、填空题（每小题2分，共30分）:1.设函数 f(x)连续，则在a,b 上f(t)dt=2f(2x)dx 12.2 si nx 彳1 s in2xdxI x3.设函数f(x)Je, 0兰x"在0, 2上连续，则a= e_1 q + x, 1 v x 兰 2,4-判别非正常积分1：xvn1xdx的敛散性：二（收敛、发散）5. y =2x3-9x2 12X-3的单调递减区间为(1,2).6. 函数f (x) 空仪0)的极值点为x".1 + x丄127. 函数 z = 1 -X2. 1 - y2 定义域为 C(

2、x, y) -仁 x“-仁 y18.二重积分 iixydxdy (其中 D:0_y_x2,0_x_1)的值为D9. 设 f (x, y) = Jxy+，则 fy(2,1)=01 11 -10. lim(1)n =1.n2 3n则 E 的 内 部11. 设 E ='(x, y)1 ：x2 y2 乞 2?:i En二 f(x, y) 1 < x2 y2 : 2 .12.nx设 fn(x)1 +n x,X （-：，：）.则 ”m_ fn（x）二1,x 07,X = 0-1, X ： 0x 二 ar sin cos13.广义球坐标变换八brsinsin,的雅可比行列式z = cr cos

3、14.幕级数(x -1)n的收敛域为0, 2)15.设 E =-xx R?,则 supE设 a .0, &n 满足:X。 0 ,1xn 12(Xn), n =0,1,2 ,证明:议?收敛,Xn证:三、证:1)续,并求 lim Xn . ( 10 分)ncXn 1 Xn =1(旦 Xn)2 Xna,xn 二1 “ a、 x“2(xn 讣一(n?10)，(n?10),二数列 单调递减且有下界、 1设 nim：Xn 二 b，则有 nimxn2nim(xn.a，从而CxJ收敛.证明不等式：当0c 时,2a+Xn即有吨(吒)，解得bra .2x1 -cosx .(8 分)2 -JI已知，当0 *

4、2时，有不等式J牛,.2设 f(xf-1 cosx,有 f (x) = x - sin x .JT当 0 ：. x 时，f (x) 0 ,2从而f(x)在()严格增加且在巧连又f(0) =0 ,于是当0，：X，匸22时，有 f (x)二专 T cosx f (0) = 0 , 即-cosx2x兀22)设 g(x) =1 -cosx -= sin xn当0：y：2时，g(x) 0,从而g(x)在(0,-)严格增加且在0,2】连续,2又 g(0) =0 ,于是当 0 ： x 时，有 g(x)二 1 -cosx g(0) = 0 ,即 2兀21 - C 0爲31四、计算题(每小题6分，共12分)1.

5、设 f(x)二x2 1 -1 n(x.x2 1)，求 f (x);解:f(X)- £ 二x21X12.解:*2x21说 dx_i?x2 x 1由定义,dx1(x )23243dx=pm 32x 123arcta n -0 dx:x2x 1n 2.3占-n；3269= 3arctan32x 1-QCI4、3T n；于是，dx-£.?x2x 1dxdxx2x 1-£.?x2x 12”3n .3五、应用柯西准则判别级数cd d呼的敛散性.(8分)n证:si n3nUn2 sin 3n41 si n3n*+ +sin3n p2 2(n 1) (n 2)(n P)21-2

6、+ 1 1 2(n 1)2 (n 2)2 (n p)2<n(n 1) (n 1)( n 2) (n P1)( n p)n (n p) n '于是，- ；0 , N 二1 1 N .,-n N , - p N .，都有Un 1 Un 2Un 亠p2xy由柯西准则，级数Sin3收敛.(X, y)二(0,0)六、证明函数f(x, y) = q X2+y2 ' (x, y)厂(0,0)在点(0,0)的偏导数存在，但在此点 I0,不可微.(8分)证：由定义，f(x, y)点(0,0)的两个偏导数分别是fx(0,0)罰fy(0,0)=趴込f-lim =0."y绢假设f(x,

7、y)在点(0,0)可微,则有df 二 fx(0,0) xfy(0,0) ：y = 0,又 f = f (0：x,0：y) - f(0,0)=：x( y)222 5(X)(：y)特别取y,有 毅笃匚蚂畐厂产0,与可微定义矛盾.故f(x,y)在原点(0,0)不可微.七、设g(x)在a,b上连续，f(x)在a,b上可积，且f(x) 0，则在a,b上至少存在点 ，使得 f(x)g(x)dx = g( ) f(x)dx.(8 分)心au a证：由于g(x)在a,b上连续，因此存在最大值M与最小值m ,使得m< g(x)空 M , xw a,b又f (x)在a,b上可积，且f(x) 0，于是有mf

8、(x) _ g (x) f (x) _ Mf (x)， x a,b且 mf (x)， g(x) f (x)， Mf (x)都在a,b上可积.由积分的不等式性质，有bbm f(x)dx ： f(x)g(x)dx 乞 M f (x)dx .aaa若 f(x)dx=O，则由上式知，f(x)g(x)dx = O，从而 e a,b，都有a' aa-bbJ f(x)g(x)dx = g(© J f (x)dx .aa若 bf(x)dx = O，则有aba f(x)g(x)dxJM ,a f(x)dx由连续函数的介值性，至少存在一点 a,b,使得bf (x)g(x)dxg()二b，即f f

9、 (x)dxabba f (x g x (x cd - a f(x )x.2 2 2 2八求由曲面zl6 25和-16 25所围成的立体的体积.(8分)2 2 2 2解：所围成的立体V的上下曲面分别是z喘士与zj：6：5，这两个曲面的交2 2线是z =1，16 25，于是V在xy平面上的投影区域是椭圆域:1625lx = 4r cos作广义柱面坐标变换y二5r sin，有仝归=20r，则曲面方Ic(r/P,z)程和椭圆2 2x_丄1625=1的方程分别是:z = r2， z = r 禾口 r2 = 1 .于是，r2 <z<r , 0_r_1, 0_2二，所求立体V的体积+)dr332兀1r111 idxdydz =20 ° d ° rdr 2dz = 40二 o (r2V九、证明：若f(x)为a,b上的连续函数，则f(x)在a,b上可积.(8分) 证：已知函数f(x)在a,b上连续，则f(x)在a,b上一致连续，即V© >0 , 3d >0 , V n，x2 引a,b:为x2£§，有f(xj - f(X2) VE .对a,b任意分法T ,要求l(T) r ,函数f(x)在每一个小区间Xk,Xk 连续，于是f(x)在每一个小区间兀公订取到最小